Logistisches Wachstum - beschränktes Wachstum

Als logistische Gleichung wird eine Differenzengleichung der Form $x_{n+1}=r\cdot x_{n}\cdot(1-x_{n})$ bezeichnet. Sie wird verwendet, um ein Wachstum mit Schranke zu modellieren. Die $\,x_{i}$ liegen im Intervall zwischen $\,0$ und $\,1$ und beschreiben die Größe einer Population prozentuell. In der Konstanten $r$ sind Parameter wie Wachstumsrate, Sterblichkeit und Ähnliches zusammengefasst. Die zugehörige Differentialgleichung (DGLG) sieht folgendermaßen aus:

$f'(t)=r\cdot f(t)\cdot(1-f(t))$ Diese DGLG kann analytisch gelöst werden, zur Vereinfachung wird statt $\,f(t)$ $\,f$geschrieben:

$\frac{df}{dt}=r\cdot f\cdot (1-f)$

$\frac{df}{f\cdot (1-f)}=r \cdot dt$

$\int \frac{df}{f\cdot (1-f)}=\int r \cdot dt$

$\int \frac{A}{f}+\frac{B}{1-f} \cdot df=\int r \cdot dt$

Mittels Partialbruchzerlegung ermittelt man für $\,A$ und $\,B$ jeweils den Wert $\,1$.

$\int \frac{1}{f}+\frac{1}{1-f} \cdot df=\int r \cdot dt$

$ln f - ln(1-f) = r\cdot t + C$

$ln \frac{f}{1-f} = r\cdot t + C$

$\frac{f}{1-f} = e^{r\cdot t + C}$

$f = e^{r\cdot t + C}(1-f)=e^{r\cdot t + C}-e^{r\cdot t + C}\cdot f$

$f+e^{r\cdot t + C}\cdot f = e^{r\cdot t + C}$

$f\cdot(e^{r\cdot t + C}+1) = e^{r\cdot t + C}$

$f = \frac{e^{r\cdot t + C}}{(e^{r\cdot t + C}+1)}=\frac{1}{1+\frac{1}{e^{r\cdot t + C}}}$

Die Lösungsfunktion der logistischen DGLG lautet nun:

$f(t)=\frac{1}{1+e^{-r\cdot t +C}}$

Graph der Funktion in besserer Auflösung!

Graph der logistischen Funktion

Die Integrationskonstante $\,C$ kann mittels der Anfangsbedingung $\,A(0/f_{0})$ ermittelt werden.

$f_{0}=\frac{1}{1+e^{-r\cdot 0 +C}}=\frac{1}{1+e^{C}}$

$f_{0}\cdot(1+e^{C})=1$

$1+e^{C}=\frac{1}{f_{0}}$

$e^{C}=\frac{1}{f_{0}}-1$

$C=ln(\frac{1}{f_{0}}-1)$

mit $\,f_{0}<0$, da die maximale Population auf $\,1$ normiert ist.

Die komplette Lösung lautet nun:

$f(t)=\frac{1}{1+e^{-r\cdot t +ln(\frac{1}{f_{0}}-1)}}$

Link:

• Chr. Bruns, Logistisches Wachstum, Facharbeit

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