Zugang zur Poissonverteilung

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Kompetenzen

Das kannst du schon:

  • Werte einer Tabelle grafisch darstellen und interpretieren
  • statistische Zentral - und Streuungsmaße berechnen und ihre Bedeutung kennen
  • Treppenfunktionen zeichnen und ihren Graph interpretieren
  • Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben

Das kannst du lernen:

  • Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell
  • grafische Darstellung diskreter Zufallsvariable erkennen
  • Treppenfunktionen als Graphen von diskreten Verteilungsfunktionen identifizieren
  • charakteristische Merkmale einer poissonverteilten Zufallsvariable kennenlernen
  • Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben

Inhaltsverzeichnis

Es gibt nur gute Autofahrer, oder?

Die Behauptung

Die meisten Autofahrer behaupten von sich, dass ihre Fahrkünste nicht schlechter als durchschnittlich sind. Ist das möglich oder handelt es sich um Selbstüberschätzung? Wie kann man die Fahrkünste überhaupt bewerten? Als Maß der Sicherheit soll die Anzahl der Unfälle gelten, in die ein(e) Fahrer(in) im Laufe des Lebens verwickelt ist.


Statistische Auswertung

Da als Maß der Sicherheit die Anzahl der Unfälle gilt, in die ein(e) Fahrer(in) im Laufe des Lebens verwickelt ist, legen wir unserer Analyse eine Unfallstatistik zugrunde. Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat: Stichprobe: 100 Fahrer


Unfallstatistik
Anzahl der Unfälle 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Personen 6 17 23 20 14 9 4 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0


  Aufgabe   Stift.gif
  1. Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem dar.
  2. In wie viele Unfälle ist ein "durchschnittlicher" Autofahrer verwickelt? Berechne wichtige statistische Zentral- und Streuungsmaße und interpretiere deine Ergebnisse!
  3. Berechne, wie viele Autofahrer der Stichprobe nicht schlechter als der Durchschnitt sind, wenn man die Anzahl der Unfälle als Maß nimmt!


Lösung:

Mittelwert: 3,22
Anzahl der Autofahrer mit höchstens 3 Unfällen: 66 von 100, also 66%.

Lösung als Excel-Datei

Der Begriff der Wahrscheinlichkeitsfunktion

Natürlich wirst du sofort als Beurteilung der Sicherheit eines Autofahrers bzw. einer Autofahrerin die Anzahl der Unfälle, in welche die Person im Laufe ihres Lebens verwickelt war, heranziehen.

Die Zufallsvariable

Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperimentes verschiedenene, nicht vorhersagbare Zahlen x zu.

In diesem Beispiel ist die Zufallsvariable X das Maß der Sicherheit eines Autofahrers, es werden hier entsprechend die Anzahlen der Unfälle, also die Zahlen 0 bis 20 zugeordnet.

diskrete Zufallsvariable
Wenn dabei die zugeordneten Werte abzählbar sind, also einem Zählprozess zugrunde liegen, spricht man von "diskreten Zufallsvariablen".
  Aufgabe   Stift.gif

Finde eigenständig weitere Beispiele für diskrete Zufallsvariable!


Wir wollen nun versuchen, aus der vorliegenden Stichprobe der Polizei etwas allgemeinere Aussagen treffen zu können. Da es sich um eine Stichprobe mittlerer Größe handelt, ist es sinnvoll, sich die relativen Häufigkeiten genauer anzusehen.


  Aufgabe   Stift.gif
  1. Recherchiere eigenständig, was man unter der "statistischen Definition von Wahrscheinlichkeit" versteht.
  2. Stelle die Wahrscheinlichkeitsfunktion dieses Beispiels mit Hilfe relativer Häufigkeiten sowohl in einer Tabelle als auch grafisch dar!


Unfallstatistik
Zufallsvariable (Anzahl der Unfälle) X=x x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6 x=7 x=8 x=9 x=10 x=11 x=12 x=13 x=14 x=15 x=16 x=17 x=18 x=19 x=20
relative Häufigkeiten 0.06 0,17 0,23 0,20


Lösung zu 1:

Approximation der (statistischen) Wahrscheinlichkeit mit Hilfe von relativen Häufigkeiten: Nähern sich bei wachsendem Stichprobenumfang die relativen Häufigkeiten des Eintretens eines Ereignisses E einer bestimmten Zahl p(E) so bezeichnet man p(E) als Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignises E. Man schreibt p(E)\approx h_n für sehr großes n.

Diese statistische Definition der Wahrscheinlichkeit findet vor allem dann Anwendung, wenn man kein mathematisches Modell zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit findet. Es handelt sich um eine empirische Größe, die eine große Versuchsreihe voraussetzt, um einen guten „Schätzwert“ liefern zu können.

Lösung zu 2:

Lösung als Excel-Datei

Die Darstellung mittels relativer Häufigkeiten

Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariable
Unter einer Wahrscheinlichkeitsfunktion f der diskreten Zufallsvariablen X versteht man die Funktion, die den Funktionswerten von X, also den zugeordneten Werten x die Wahrscheinlichkeit p ihres Eintretens zuordnet.

In diesem Beispiel entspricht die grafische Darstellung der relativen Häufigkeiten also einer Wahrscheinlichkeitsfunktion.

  Aufgabe   Stift.gif

Beschreibe den Verlauf der Funktionswerte. Macht es Sinn, die einzelnen Werte miteinander zu verbinden?


Lösung:

Die Verteilung ist deutlich asymmetrisch, da der Erwartungswert bei 3 Unfällen liegt und die meisten Personen eher in wenige Unfälle verwickelt sind. Größere Unfallanzahlen treten hingegen viel seltener auf.

Da Unfälle nur ganzzahlige auftreten können (du kannst nicht 0,3 Unfälle haben) ist es nicht sinnvoll, die einzelnen Werte zu verbinden. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist deshalb nur für ganzzahlige nicht negative Werte definiert.

Die Poissonverteilung

Poisson-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsfunktionen mit einer grafischen Darstellung wie jener des Autofahrerbeispiels, wurden nach dem französischen Mathematiker Simeón Denis Poisson (1781–1840) benannt und treten bei sehr seltenen Ereignissen und einer großen Stichprobe auf. Poisson hat erkannt, dass der Verlauf der relativen Häufigkeiten eine Form hat, die an den Graphen folgender Funktion erinnert:
f(x)={{e^{{-p\cdot n}}}\cdot (p\cdot n)^x \over x!} , wobei p die Wahrscheinlichkeit darstellt, mit welcher das Ereignis eintritt; n ist die Anzahl der Stichprobengröße
  Aufgabe   Stift.gif

Finde durch Probieren mit Hilfe von EXCEL eine POISSONVERTEILUNG, die der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Autounfälle möglichst nahe kommt. Variiere dabei die Parameter p und n durch Einsetzen der Schieberegler.


Lösung:

Lösung als Excel-Datei


Der Begriff der Verteilungsfunktion

In der ursprünglichen Aufgabenstellung interessiert uns nicht die Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Autofahrer im Laufe seines Lebens eine bestimmte Anzahl von Unfällen hat. Vielmehr interessiert uns die Wahrscheinlichkeit, mit welcher Zufallsvariable Werte annehmen, die nicht größer als ein fest vorgegebener Wert sind, also ein Autofahrer nicht mehr als vier Unfälle im Laufe seines Lebens hat.

  Aufgabe   Stift.gif
  1. Berechne die summierten Häufigkeiten und stelle diese sowohl in einer Tabelle als auch grafisch dar!
  2. Überlege, warum sich die Funktionswerte bei größer werdenden x-Werten der Zahl 1 annähern müssen, sie jedoch nie überschreiten!
  3. Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Autofahrer höchstens 3 Unfälle hat? Berechne die Lösung sowohl mit Hilfe der Werte der Stichprobe als auch annähernd durch die POISSONVERTEILUNG.
  4. Formuliere allgemein die Verteilungsfunktion der POISSONVERTEILUNG.


Lösung zu 1:

Lösung als Excel-Datei

Lösung zu 2:

Die Wahrscheinlichkeit \lehöchste Anzahl ist ein sicheres Ereignis und liegt bei 100% bzw. 1.

Lösung zu 3:

P(X\le3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=66%; POISSONVERTEILUNG: zB. bei n=4500, p=0,00062: 69%

Lösung zu 4:

F(x)=f(X=0)+f(X=1)+f(X=2)+f(X=3), Formulierung als Summe: F(x)=\sum_{k=0}^x f(k)

Da es bei dieser Darstellung Sprungstellen bei den jeweils ganzzahligen Werten gibt, handelt es sich bei der grafischen Darstellung solcher Verteilungsfunktionen um Treppenfunktionen.

Zum Schluss noch weitere Aufgaben, um die neuerlernte Poissonverteilung selbständig anzuwenden:

  Aufgabe   Stift.gif

Ein deutscher Statistiker namens Bortkiewicz führte zu Beginn des 20. Jahrhunderts eine versicherungsmathematisch interessante Untersuchung durch: Zu wie vielen tödlichen Unfällen durch Pferdehufschlag kam es in der preußischen Armee? Die folgende Tabelle enthält die Statistik der Unfallopfer von 10 Kavallerieregimentern für einen Zeitraum von 20 Jahren (dies entspricht 200 "Regimentsjahren"). Berechne das arithmetische Mittel und setzte diese Zahl als Parameter \lambda ein´. (Erwartungswert \lambda=p\cdot n). Vergleiche mit Hilfe einer Tabelle die Werte der relativen Häufigkeiten und der possionverteilten Wahrscheinlichkeitsfunktion!


Unfallstatistik
Zahl der Todesopfer 0 1 2 3 4 >4
Zahl der Regimentsjahre 109 65 22 3 1 0

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Dieser Lernpfad wurde erstellt von:

Peter Hofbauer, Heidi Metzger-Schuhäker, Gabi Bleier

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