Zinseszins: Unterschied zwischen den Versionen

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© Medienvielfalt und Mathematik-digital 2008, erstellt mit GeoGebra
 
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Die beiden Formel für die Zunahme des Kapitals sind eigentlich nur für ganze Jahre (n ∈ N) anwendbar, da die Bank jährlich verzinst. Für Teile eines ganzen Jahres wird einfach verzinst.
 
Der Graph für das Kapital nach n ganzen Jahren besteht deshalb aus einzelnen Punkten.
 
  
Näherungsweise kannst du aber auch mit einem Exponenten x ∈ R arbeiten, und das Kapital beispielsweise zum Zeitpunkt x = 1,75 Jahre berechnen.
 
Der Graph für das Kapital nach einer beliebigen Zeitspanne x besteht in diesem Fall aus einer durchgehenden Kurve.
 
  
Diese kontinuierliche Entwicklung kannst du über das Kontrollkästchen ein- bzw. ausschalten.
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Es sind einzelne Punkte eingezeichnet, da Zinsen normalerweise jährlich ausgezahlt werden. Falls dich ein Wert dazwischen wie beispielsweise 1,5 interessiert, kannst du über das '''Kontrollkästchen''' die kontinuierliche Entwicklung ein- bzw. ausschalten.
Aufgabe:
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a) Beschreibe das Anwachsen des Kapitals in beiden Fällen mit eigenen Worten.
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b) Berechne den Kapitalstand nach 20 Jahren bei einer Verzinsung von p = 4,5 %  für
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{{Arbeit|ARBEIT=
    (1) einfache Verzinsung und   (2) mit Zinseszins.
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# Beschreibe das Anwachsen des Kapitals in beiden Fällen mit eigenen Worten.
Lösung  einblenden  
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# Berechne den Kapitalstand nach 20 Jahren bei einer Verzinsung von p = 4,5 %  für
Das Anwachsen eines Kapitals nach der Formel K(x) = K0·(1+p/100)x beschreibt die Funktionsgleichung für einen neuen Funktionstyp. Bei dieser Art von Funktion steht die unabhängige Variable x im Exponenten und wird deshalb Exponentialfunktion genannt.
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#: a, einfache Verzinsung   und     b, mit Zinseszins.}}
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Das Anwachsen eines Kapitals nach der Formel K(x) = K<sub>0</sub>·(1+p/100)x beschreibt die Funktionsgleichung für einen neuen Funktionstyp. Bei dieser Art von Funktion steht die unabhängige Variable x im Exponenten und wird deshalb Exponentialfunktion genannt.
 
   
 
   
Definition:
 
  
Die Funktion f: R → R, f(x) = c·ax (c ∈ R+\{0}, a ∈ R+)  heißt Exponentialfunktion zur Basis a.
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{{Merksatz|MERK=Die Funktion f: R → R, f(x) = a<sup>x</sup> (a ∈ R<sup>+</sup>)  heißt Exponentialfunktion zur Basis a.}}

Aktuelle Version vom 13. Januar 2010, 16:12 Uhr

Einfache Verzinsung und Zinseszins

Einfache Verzinsung Zinseszins

Bei einer einfachen Verzinsung werden in jedem Jahr nur die einfachen Zinsen in der Höhe von K0·p/100 zum Anfangskapital K0 hinzugerechnet. Die Zinsen der weiteren Jahre werden immer nur vom Anfangskapital K0 berechnet.

Bei einer Verzinsung mit Zinseszinsrechnung werden jedes Jahr die Zinsen des vorangegangenen Jahren wiederum verzinst, d. h. das Kapital K0 wird in jedem Jahr mit (1+ p/100) multipliziert. Aufgabe


  Aufgabe   Stift.gif

Verändere die Zinssätze p bei beiden Verzinsungsformen und beobachte die jeweilige Veränderung des Kapitals in den folgenden n Jahren. Welche Form der Anlage ist für den Kunden einer Bank verbünfitger? Notiere deine Ergebnisse.


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Es sind einzelne Punkte eingezeichnet, da Zinsen normalerweise jährlich ausgezahlt werden. Falls dich ein Wert dazwischen wie beispielsweise 1,5 interessiert, kannst du über das Kontrollkästchen die kontinuierliche Entwicklung ein- bzw. ausschalten.


  Aufgabe   Stift.gif
  1. Beschreibe das Anwachsen des Kapitals in beiden Fällen mit eigenen Worten.
  2. Berechne den Kapitalstand nach 20 Jahren bei einer Verzinsung von p = 4,5 % für
    a, einfache Verzinsung und b, mit Zinseszins.


Das Anwachsen eines Kapitals nach der Formel K(x) = K0·(1+p/100)x beschreibt die Funktionsgleichung für einen neuen Funktionstyp. Bei dieser Art von Funktion steht die unabhängige Variable x im Exponenten und wird deshalb Exponentialfunktion genannt.


Maehnrot.jpg
Merke:

Die Funktion f: R → R, f(x) = ax (a ∈ R+) heißt Exponentialfunktion zur Basis a.