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Du erwirbst / stärkst in diesem Lernpfad folgende Kompetenzen  {{versteckt|
 
Du erwirbst / stärkst in diesem Lernpfad folgende Kompetenzen  {{versteckt|
'''Das kennst du schon'''
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'''Das kennst Du schon'''
  
 
*Darstellungsformen von Funktionen
 
*Darstellungsformen von Funktionen
 
*Kenntnis der Auswirkung von Variationen in verschiedenen Darstellungsformen (lineare, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen u.a.)
 
*Kenntnis der Auswirkung von Variationen in verschiedenen Darstellungsformen (lineare, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen u.a.)
  
'''Das lernst du'''
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'''Das lernst Du'''
  
 
*Wie beschreibt man diskrete dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differenzengleichungen - Lösungsmöglichkeiten und Visualisierung an verschiedenen Beispielen
 
*Wie beschreibt man diskrete dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differenzengleichungen - Lösungsmöglichkeiten und Visualisierung an verschiedenen Beispielen
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Informationen zum Einsatz des Lernpfads im Unterricht: [[Diskret - kontinuierlich/Didaktischer Kommentar|Didaktischer Kommentar]]
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Informationen zum Einsatz des Lernpfads im Unterricht: {{pdf|Didaktischer_kommentar_diskret_kontinuierlich.pdf|Didaktischer Kommentar}}
  
Der didaktische Kommentar als [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/6/68/Didaktischer_kommentar_diskret_kontinuierlich.pdf pdf].
 
  
 +
Der Lernpfad besteht aus vier Kapiteln, die Du in beliebiger Reihenfolge bearbeiten kannst.
  
 
<center>[[Bild:Logos_1.jpg]]</center>
 
<center>[[Bild:Logos_1.jpg]]</center>
  
  
 +
== [[Rekursive Beschreibung von Veränderungen]] ==
  
  
= Rekursive Beschreibung von Veränderungen =
+
== [[Von der diskreten zur kontinuierlichen Veränderung]] ==
  
Unter [[http://de.wikipedia.org/wiki/Rekursion rekursiven Verfahren]] kannst Du Dir Verfahren vorstellen, die errechnete Ergebnisse einer Formel wieder als Anfangswerte in die Formel einsetzen. ''Rekursion'' ist lateinisch und bedeutet ''zurücklaufen''.
 
  
Rekursive Verfahren sind im Allgemeinen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Iteratives_Verfahren schrittweise (iterative) Verfahren]]. Das beudeutet, dass Du kein Ergebnis einfach ausrechnest, sonder Dich (langsam) an ein Ergebnis herantastest. Du näherst Dich Schritt für Schritt einem (richtigen) Ergebnis. Die Ergebnisse aus der Rekursionsformel sind die schrittweisen Zwischenergebnisse, die zum (korrekten) Endergebnis führen.
+
== [[Differentialgleichungen]] ==
  
Da Differentialgleichungen schwierig zu lösen sind, ist es oft einfacher diese Art von Gleichungen in eine Differenzengleichung umzuwandeln und dann diese zu lösen. Differenzengleichungen sind rekursive Verfahren und können entsprechend gelöst werden. 
 
  
== Differenzengleichung ==
+
== [[Ausblick]] ==
=== Begriffsbildung ===
+
Eine Differenzengleichung ist eine Möglichkeit, dynamische Systeme abzubilden. Dabei wird eine Folge von diskreten (einzeln betrachtbaren, ''abzählbaren'') Ereignissen rekursiv definiert. Jedes Folgenglied ist daher eine Funktion der vorhergehenden Folgenglieder.
+
  
Form: <math>\,x_{n} = f(x_{n-1},x_{n-2},...,x_{1},x_{0})</math> für natürliche Zahlen <math> \,n </math>.
 
  
Die Veränderung wird durch den '''Differenzenquotienten''' angegeben:
 
<math>\frac{\Delta y}{\Delta n}</math> mit <math>n \in N</math>
 
  
Dabei entspricht:<br />
 
<math>\Delta y_{n} \Longleftrightarrow y_{n+1}-y_{n}</math> und damit beispielsweise <math>\Delta y_{n}=5 \Longleftrightarrow y_{n+1}-y_{n}=5 \Longleftrightarrow y_{n+1}=y_{n}+5</math>
 
 
Weiterführende Links:
 
* [http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node187.html http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node187.html], Josef Leydold, Differenzengleichungen, Abt. f. angewandte Statistik und Datenverarbeitung, 1997
 
* [http://noebis.pi-noe.ac.at/zierler/ http://noebis.pi-noe.ac.at/zierler/], Peter Zierler, Systemdynamik - Querverbindung zwischen Math. und Informatik, NOEBIS
 
 
==Themengebiete==
 
 
Unter folgenden vier Themengebieten kannst Du mehr über die Verwendung und den Einsatz von rekursiven Verfahren lernen und mittels Aufgaben, Beispielen und Erläuterungen Dein Wissen vertiefen.
 
 
===[[Numerische Näherung - Heronverfahren]]===
 
 
===[[Radioaktiver Zerfall]]===
 
 
===[[Räuber-Beute-Modell]]===
 
 
===[[Cobweb/Spinnweben-Diagramm]]===
 
 
= Von der diskreten zur kontinuierlichen Veränderung =
 
=== [[Exponentielles Wachstum - Lebensmittelkontrolle]] ===
 
 
 
=== [[Radioaktiver Zerfall - analytische Herleitung und Beispiele]] ===
 
 
 
 
 
 
=== [[Abbau von Giftstoffen]] ===
 
 
 
=== Logistisches Wachstum - beschränktes Wachstum ===
 
 
Als <b>logistische Gleichung</b> wird eine Differenzengleichung der Form <math>x_{n+1}=r\cdot x_{n}\cdot(1-x_{n})</math> bezeichnet. Sie wird verwendet, um ein Wachstum mit Schranke zu modellieren. Die <math>\,x_{i}</math> liegen im Intervall zwischen <math>\,0</math> und <math>\,1</math> und beschreiben die Größe einer Population prozentuell. In der Konstanten <math>r</math> sind Parameter wie Wachstumsrate, Sterblichkeit und Ähnliches zusammengefasst. Die zugehörige Differentialgleichung (DGLG) sieht folgendermaßen aus: <br><br> <math>f'(t)=r\cdot f(t)\cdot(1-f(t))</math>
 
Diese DGLG kann analytisch gelöst werden, zur Vereinfachung wird statt <math>\,f(t) </math> <math>\,f</math>geschrieben: <br><br>
 
 
<math>
 
\frac{df}{dt}=r\cdot f\cdot (1-f)
 
</math>
 
 
<math>
 
\frac{df}{f\cdot (1-f)}=r \cdot dt
 
</math>
 
 
<math>
 
\int \frac{df}{f\cdot (1-f)}=\int r \cdot dt
 
</math>
 
 
<math>
 
\int \frac{A}{f}+\frac{B}{1-f} \cdot df=\int r \cdot dt
 
</math>
 
 
Mittels Partialbruchzerlegung ermittelt man für <math>\,A </math> und <math>\,B </math> jeweils den Wert <math>\,1 </math>.
 
 
<math>
 
\int \frac{1}{f}+\frac{1}{1-f} \cdot df=\int r \cdot dt
 
</math> 
 
 
<math>
 
ln f - ln(1-f) = r\cdot t + C
 
</math>
 
 
<math>
 
ln \frac{f}{1-f} = r\cdot t + C
 
</math>
 
 
<math>
 
\frac{f}{1-f} = e^{r\cdot t + C}
 
</math>
 
 
<math>
 
f = e^{r\cdot t + C}(1-f)=e^{r\cdot t + C}-e^{r\cdot t + C}\cdot f
 
</math>
 
 
 
<math>
 
f+e^{r\cdot t + C}\cdot f = e^{r\cdot t + C}
 
</math>
 
 
<math>
 
f\cdot(e^{r\cdot t + C}+1) = e^{r\cdot t + C}
 
</math>
 
 
<math>
 
f = \frac{e^{r\cdot t + C}}{(e^{r\cdot t + C}+1)}=\frac{1}{1+\frac{1}{e^{r\cdot t + C}}}
 
</math>
 
 
Die Lösungsfunktion der logistischen DGLG lautet nun:
 
 
<math>
 
f(t)=\frac{1}{1+e^{-r\cdot t +C}}
 
</math>
 
<br><br>
 
[[:Bild:Logistisches_wachstum.png|<b>Graph der Funktion in besserer Auflösung!</b>]]<br>
 
[[Datei:Logistisches wachstum.png|miniatur|x150px|Graph der logistischen Funktion]]
 
<br>
 
Die Integrationskonstante <math>\,C </math> kann mittels der Anfangsbedingung <math>\,A(0/f_{0})</math> ermittelt werden.
 
 
<math>
 
f_{0}=\frac{1}{1+e^{-r\cdot 0 +C}}=\frac{1}{1+e^{C}}
 
</math>
 
 
<math>
 
f_{0}\cdot(1+e^{C})=1
 
</math>
 
 
<math>
 
1+e^{C}=\frac{1}{f_{0}}
 
</math>
 
 
<math>
 
e^{C}=\frac{1}{f_{0}}-1
 
</math>
 
 
<math>
 
C=ln(\frac{1}{f_{0}}-1)
 
</math>
 
 
mit <math>\,f_{0}<0</math>, da die maximale Population auf <math>\,1 </math> normiert ist. <br><br>
 
 
Die komplette Lösung lautet nun:
 
 
<math>
 
f(t)=\frac{1}{1+e^{-r\cdot t +ln(\frac{1}{f_{0}}-1)}}
 
</math>
 
 
Link:
 
* [http://www.emath.de/Referate/Logistisches-Wachstum.pdf Chr. Bruns, Logistisches Wachstum, Facharbeit]
 
 
=== Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst ===
 
 
Erläuterungen, Informationen und Aufgaben zum Ein-Lebewesen-Modell findet man [[Sek2Uni/Pool_1#Logistische_Abbildung.2FGleichung_-_Ein-Lebewesen-Modell_nach_Verhulst|<b>hier</b>]].
 
 
=== Weitere Beispiele ===
 
* [http://www.lehrer-online.de/fallschirmsprung.php?show_complete_article=1&sid=42192409855723623321494729472670 Bernd Huhn, Sonja Woltzen, Lehrer-Online, Fall mit Reibung - Ein Sprung aus 40.000m Höhe, 2005]
 
* [http://www.acdca.ac.at/material/kl8/ffall.htm Josef Lechner, Freier Fall mit Luftwiderstand, ACDCA 1998]
 
 
= Differentialgleichungen =
 
=== Begriffsbildung ===
 
Als (gewöhnliche) DGLG wird eine Gleichung bezeichnet, die neben einer Unbekannten <math>\,x</math> auch deren Ableitung(en) <math>\,x'</math> (<math>\,x''</math>, ...) enthält. Gelöst wird eine DGLG mittels Integralrechnung.
 
 
Die Lösung einer DGLG ist nicht wie bei einer herkömmlichen Gleichung eine Zahl, sondern eine Funktion, genauer eine Funktionenschar, die aus unendlich vielen Funktionen besteht. Da beim unbestimmten Integrieren immer eine Integrationskonstante auftritt, muss eine Zusatzinformation (Anfangsbedingung) gegeben sein, um die Konstante zu bestimmen.
 
 
Erst durch die Anfangsbedingung, die einem Punkt auf dem Graphen der Lösungsfunktion entspricht, kann die Lösungsfunktion exakt bestimmt werden. Die Lösung ist nun eine spezielle Funktion!
 
 
DGLG können in allen Bereichen des Lebens angetroffen werden, besonders in den Naturwissenschaften oder der Wirtschaft und dem Sport. In allen Zusammenhängen, bei denenen es um <b>Veränderungen</b> geht, kommen DGLG zur Anwendung.
 
 
Eine Übersicht über die Klassifikation von DGLG findet man unter [http://www.math.tu-berlin.de/geometrie/Lehre/SS05/GDglmA/skriptKlassif.pdf http://www.math.tu-berlin.de/geometrie/Lehre/SS05/GDglmA/skriptKlassif.pdf]
 
 
Links:
 
* [http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node175.html http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node175.html], Josef Leydold, Abt. f. angewandte Statistik und Datenverarbeitung, 1997
 
* [http://www.acdca.ac.at/material/kl8/diffequ.htm http://www.acdca.ac.at/material/kl8/diffequ.htm], Josef Böhm, Differentialgleichungen mit CAS, ACDCA 2004
 
 
=== Lösung einfacher Differentialgleichungen ===
 
 
{{Arbeiten|NUMMER=1|
 
ARBEIT=
 
Löse die Differenzialgleichung <math>y'\cdot y^2=-x</math> mit der Anfangsbedingung <math>\,A(2/2)</math>!
 
}}
 
 
Lösung der Aufgabe 1: {{versteckt|*
 
<math>\frac{dy}{dx}\cdot y^2=-x</math>
 
 
<math>\,y^2 \cdot dy=-x \cdot dx</math>
 
 
<math>\int y^2 \cdot dy=\int-x \cdot dx</math>
 
 
<math>\frac{y^3}{3}=-\frac{x^2}{2}+C</math>
 
 
<math>y^3=-\frac{3x^2}{2}+3C</math>
 
 
<math>y=\sqrt[3]{-\frac{3x^2}{2}+3C}</math>
 
 
Einsetzen der Anfangsbedingung:
 
 
<math>2=\sqrt[3]{-\frac{3\cdot 2^2}{2}+3C}</math>
 
 
<math>2=\sqrt[3]{-6+3C}</math>
 
 
<math>\,8=-6+3C</math>
 
 
<math>\,14=3C</math>
 
 
<math>\,C=\frac{14}{3}</math>
 
 
Lösung: <math>y=\sqrt[3]{-\frac{3x^2}{2}+14}</math>
 
}}
 
 
{{Arbeiten|NUMMER=2|
 
ARBEIT=
 
Löse die Differenzialgleichung <math>y'\cdot x^2=3y</math> mit der Anfangsbedingung <math>\,A(1/3)</math>!
 
}}
 
 
Lösung der Aufgabe 2: {{versteckt|*
 
<math>\frac{dy}{dx}\cdot x^2=3y</math>
 
 
<math>\,\frac{1}{y}dy=\frac{3}{x^2}dx</math>
 
 
<math>\,\int \frac{1}{y}dy=\int \frac{3}{x^2}dx</math>
 
 
<math>ln y=-\frac{3}{x}+C</math>
 
 
<math>y=e^{-\frac{3}{x}+C}</math>
 
 
<math>y=e^{-\frac{3}{x}}\cdot K</math>
 
 
Einsetzen der Anfangsbedingung:
 
 
<math>3=e^{-\frac{3}{1}}\cdot K</math>
 
 
<math>3\cdot e^{3}= K</math>
 
 
Lösung: <math>y=e^{-\frac{3}{x}}\cdot 3\cdot e^{3}=3\cdot e^{-\frac{3}{x}+3}</math>
 
}}
 
 
= Ausblick =
 
=== Näherungsverfahren ===
 
Bisher wurde die Lösung der betrachteten Differentialgleichungen über '''Integration''' vorgestellt. Man versucht dabei, eine mathematisch '''exakte''' (und bis auf die Integrationskonstante eindeutige) '''Lösung''' formal zu bestimmen. Die gefundene Lösungsfunktion liefert eine vollständige Beschreibung des betrachteten Problems über den gesamten definierten Verlauf. In den meisten Fällen sind diese gefundenen Lösungsfunktionen auch stetig und bieten daher eine kontinuierliche Problemlösung.<br />
 
Es gibt aber viele Integrale und damit Differentialgleichungen, die man nur äußerst '''mühselig''' oder in vielen Fällen '''überhaupt nicht''' exakt lösen kann!<br />
 
Man geht daher oft den - nebenbei auch bei der Automatisation der Lösungsalgorithmen mit dem Computer meist schnelleren - Weg, die Probleme '''näherungsweise''' zu lösen. Man setzt also auf Näherungsverfahren, die das vorliegende Problem für eine diskrete (endliche) Zahl von Punkten möglichst genau lösen. Man ersetzt also die vollständige Integration einer Funktion durch die näherungsweise Berechnung (des bestimmten Integrals) in einem bestimmten Bereich, für den man sich interessiert. Für diese Näherung / Diskretisierung gibt es verschiedene, unterschiedlich genaue - unterschiedlich komplexe Verfahren.
 
 
Grundsatz:
 
Der '''Differentialquotient''' wird näherungsweise durch den dazugehörigen '''Differenzenquotienten''' beschrieben.
 
 
<math>\frac {dy(x)}{dx}</math> beschrieben durch
 
<math>\frac {\Delta y}{\Delta x}
 
=
 
\frac {y(x_{n+1})-y(x_{n})}{x_{n+1}-x_{n}}</math>
 
 
Die bekanntesten Näherungsverfahren
 
* Euler-Cauchy-Verfahren
 
* Runge-Kutta-Verfahren
 
 
Eine Beschreibung der Verfahren finden Sie bei [http://ifgivor.uni-muenster.de/vorlesungen/Num_Modellierung/Populat_Modelle/RungeKutta.html Ulrich Streit, Skript zur Übung "Werkzeuge zur numerischen Modellierung", 1999]
 
 
'''Beispiele:'''
 
* [[:Bild:Wachstum_exponentiell.wxm|<b>Exponentielles Wachstum - mit MAXIMA gelöst</b>]]
 
* [[:Bild:Wachstum_logistisch.wxm|<b>Logistisches Wachstum - mit MAXIMA gelöst</b>]]
 
 
Links:<br />
 
* [http://www.acdca.ac.at/material/kl8/numerik.htm Josef Lechner, Von Euler-Cauchy zu Runge-Kutta, ACDCA 1998]
 
* [http://education.ti.com/sites/DEUTSCHLAND/downloads/pdf/TI_Nachrichten_2_04.pdf Urs Oswald, H.R. Schneebeli, Kugelstoßen mit Luftwiderstand, TI-Nachrichten 2/04]
 
* [http://www.kohorst-lemgo.de/modell/modlist.htm H. Kohorst, Ph. Portscheller, P. Goldkuhle, Modellbildung und Simulation - NRW-Bildungsserver learn:line]
 
  
  
 
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&copy; 2009, Projekt "Medienvielfalt im Mathematikunterricht"
 
&copy; 2009, Projekt "Medienvielfalt im Mathematikunterricht"

Aktuelle Version vom 3. Juli 2016, 13:00 Uhr

Willkommen zum Lernpfad


Logistisches wachstum.png Bsp rad zerfall.png Wert quadratwurzel.png


Diskret - kontinuierlich


erstellt von

Matthias Kittel und Walter Wegscheider

im Rahmen eines internationalen Projektes von
Medienvielfalt im Mathematikunterricht
(Stand August 2011)



Du erwirbst / stärkst in diesem Lernpfad folgende Kompetenzen  

Das kennst Du schon

  • Darstellungsformen von Funktionen
  • Kenntnis der Auswirkung von Variationen in verschiedenen Darstellungsformen (lineare, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen u.a.)

Das lernst Du

  • Wie beschreibt man diskrete dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differenzengleichungen - Lösungsmöglichkeiten und Visualisierung an verschiedenen Beispielen
  • Wie beschreibt man kontinuierliche dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differentialgleichungen - Visualisierung und Lösungsansätze mit Hilfe verschiedener Technologieunterstützungen an verschiedenen Beispiele

Du stärkst diese Kompetenzen:

  • Darstellen, Modellieren (Heronverfahren, Radioaktiver Zerfall, Räuber-Beute-Modell, Rekursionsmodelle und Differenzengleichungen Differentialgleichung)
  • Rechnen, Operieren (Radioaktiver Zerfall - analytische Herleitung sowie weiterführende Aufgaben, Herleitung der logistischen Gleichung, Lösen von Differentialgleichungen)
  • Interpretieren (exponentielles Wachstum - Lebensmittelkontrolle, exponentielle Abnahme - radioaktiver Zerfall)
  • Argumentieren, Begründen (Unterschied zwischen Differenzen- und Differentialgleichung)n
  • Problemlösen (Erkennen der Einsatzgebiete von Differenzen- und Differentialgleichung)




Informationen zum Einsatz des Lernpfads im Unterricht: Pdf20.gif Didaktischer Kommentar


Der Lernpfad besteht aus vier Kapiteln, die Du in beliebiger Reihenfolge bearbeiten kannst.

Logos 1.jpg


Inhaltsverzeichnis

Rekursive Beschreibung von Veränderungen

Von der diskreten zur kontinuierlichen Veränderung

Differentialgleichungen

Ausblick


© 2009, Projekt "Medienvielfalt im Mathematikunterricht"