Diskret - kontinuierlich: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 3. Juli 2016, 14:00 Uhr

Willkommen zum Lernpfad

Diskret - kontinuierlich

erstellt von

Matthias Kittel und Walter Wegscheider

im Rahmen eines internationalen Projektes von
Medienvielfalt im Mathematikunterricht
(Stand August 2011)

Du erwirbst / stärkst in diesem Lernpfad folgende Kompetenzen [Anzeigen][Verstecken]

Das kennst Du schon

Darstellungsformen von Funktionen
Kenntnis der Auswirkung von Variationen in verschiedenen Darstellungsformen (lineare, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen u.a.)

Das lernst Du

Wie beschreibt man diskrete dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differenzengleichungen - Lösungsmöglichkeiten und Visualisierung an verschiedenen Beispielen
Wie beschreibt man kontinuierliche dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differentialgleichungen - Visualisierung und Lösungsansätze mit Hilfe verschiedener Technologieunterstützungen an verschiedenen Beispiele

Du stärkst diese Kompetenzen:

Darstellen, Modellieren (Heronverfahren, Radioaktiver Zerfall, Räuber-Beute-Modell, Rekursionsmodelle und Differenzengleichungen Differentialgleichung)
Rechnen, Operieren (Radioaktiver Zerfall - analytische Herleitung sowie weiterführende Aufgaben, Herleitung der logistischen Gleichung, Lösen von Differentialgleichungen)
Interpretieren (exponentielles Wachstum - Lebensmittelkontrolle, exponentielle Abnahme - radioaktiver Zerfall)
Argumentieren, Begründen (Unterschied zwischen Differenzen- und Differentialgleichung)n
Problemlösen (Erkennen der Einsatzgebiete von Differenzen- und Differentialgleichung)

Informationen zum Einsatz des Lernpfads im Unterricht: Didaktischer Kommentar

Der Lernpfad besteht aus vier Kapiteln, die Du in beliebiger Reihenfolge bearbeiten kannst.

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+Der Lernpfad besteht aus vier Kapiteln, die Du in beliebiger Reihenfolge bearbeiten kannst.
 <center>[[Bild:Logos_1.jpg]]</center>
-= [[Rekursive Beschreibung von Veränderungen]] =
+== [[Rekursive Beschreibung von Veränderungen]] ==
-= Von der diskreten zur kontinuierlichen Veränderung =
+== [[Von der diskreten zur kontinuierlichen Veränderung]] ==
-Wie Du Dir sicher vorstellen kannst, gibt es in der Realität kaum diskrete, das heißt abzählbare, Ereignisse. Die untersuchten Vorgänge laufen vielmehr kontinuierlich (stetig - ohne Sprünge) ab. Diese Kontinuität kannst Du erreichen, indem Du den Zeitschritt bei Differenzengleichungen immer kleiner machst oder die dem Problem zugeordnete Differentialgleichung analytisch (durch Ausrechnen löst).
-Zu diesem Thema sind hier fünf Gebiete für Dich aufgelistet, in denen auf Dich Aufgaben, Übungen und Beispiele warten.
-==Themengebiete==
+== [[Differentialgleichungen]] ==
-Unter folgenden vier Themengebieten kannst Du mehr über die Verwendung und den Einsatz von rekursiven Verfahren lernen und mittels Aufgaben, Beispielen und Erläuterungen Dein Wissen vertiefen.
-=== [[Exponentielles Wachstum - Lebensmittelkontrolle]] ===
+== [[Ausblick]] ==
-=== [[Radioaktiver Zerfall - analytische Herleitung und Beispiele]] ===
-=== [[Abbau von Giftstoffen]] ===
-=== [[Logistisches Wachstum - beschränktes Wachstum]] ===
-=== [[Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst]] ===
-=== Weitere Beispiele ===
-* [http://www.lehrer-online.de/fallschirmsprung.php?show_complete_article=1&sid=42192409855723623321494729472670 Bernd Huhn, Sonja Woltzen, Lehrer-Online, Fall mit Reibung - Ein Sprung aus 40.000m Höhe, 2005]
-* [http://www.acdca.ac.at/material/kl8/ffall.htm Josef Lechner, Freier Fall mit Luftwiderstand, ACDCA 1998]
-= Differentialgleichungen =
-== Begriffsbildung ==
-Als (gewöhnliche) DGLG wird eine Gleichung bezeichnet, die neben einer Unbekannten <math>\,x</math> auch deren Ableitung(en) <math>\,x'</math> (<math>\,x''</math>, ...) enthält. Gelöst wird eine DGLG mittels Integralrechnung.
-Die Lösung einer DGLG ist nicht wie bei einer herkömmlichen Gleichung eine Zahl, sondern eine Funktion, genauer eine Funktionenschar, die aus unendlich vielen Funktionen besteht. Da beim unbestimmten Integrieren immer eine Integrationskonstante auftritt, muss eine Zusatzinformation (Anfangsbedingung) gegeben sein, um die Konstante zu bestimmen.
-Erst durch die Anfangsbedingung, die einem Punkt auf dem Graphen der Lösungsfunktion entspricht, kann die Lösungsfunktion exakt bestimmt werden. Die Lösung ist nun eine spezielle Funktion!
-DGLG können in allen Bereichen des Lebens angetroffen werden, besonders in den Naturwissenschaften oder der Wirtschaft und dem Sport. In allen Zusammenhängen, bei denenen es um <b>Veränderungen</b> geht, kommen DGLG zur Anwendung.
-Eine Übersicht über die Klassifikation von DGLG findet man unter [http://people.fh-landshut.de/~wlf/emat/Vorlesung/Einteilung_DGL.pdf Einteilung von Differentialgleichungen], T. Wolf, Fachhochschule Landshut (pdf-Datei, 14 kB)
-Links:
-* [http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node175.html Differentialgleichungen], Josef Leydold, Abt. f. angewandte Statistik und Datenverarbeitung, 1997
-* [http://www.acdca.ac.at/material/kl8/diffequ.htm http://www.acdca.ac.at/material/kl8/diffequ.htm], Josef Böhm, Differentialgleichungen mit CAS, ACDCA 2004
-=== [[Lösung einfacher Differentialgleichungen]] ===
-= Ausblick =
-Oftmals ist bei realitätsnahen Modellen nicht möglich die gegebenen Differentialgleichung(en) exakt zu lösen. Aus diesem Grund ist es zielführend manchmal Näherungsverfahren zu verwenden.
-=== [[Näherungsverfahren]] ===

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Inhaltsverzeichnis

Rekursive Beschreibung von Veränderungen

Von der diskreten zur kontinuierlichen Veränderung

Differentialgleichungen

Ausblick

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