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Jod-131 hat eine  Halbwertszeit von 8 Tagen. Berechne den Parameter λ (Basiszeiteinheit 1 Tag und 1 Jahr) in der Zerfallsgleichung auf 4 gültige Nachkommastellen!
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Jod-131 hat eine  Halbwertszeit von 8 Tagen. Berechne den Parameter λ (Basiszeiteinheit 1 Tag und 1 Jahr) in der Zerfallsgleichung auf 6 gültige Nachkommastellen!
 
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Von 24000 Cäsium-137-Kernen sind nach einer bestimmten Zeit t 21771 Kerne zerfallen. Die Halbwertszeit des Isotops beträgt 2,1 Jahre. Berechne t!
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Version vom 28. März 2009, 16:14 Uhr

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Über diesen Lernpfad

Schüler/innen sollen sich mit der Beschreibung von dynamischen Vorgängen beschäftigen und den Unterschied zwischen diskreten Vorgängen (Beschreibung über Differenzengleichungen) und kontinuierlichen Vorgängen (Beschreibung über Differentialgleichungen) kennen lernen.

Kompetenzen

Das kannst du schon

  • Darstellungsformen von Funktionen
  • Kenntnis der Auswirkung von Variationen in verschiedenen Darstellungsformen (lineare, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen u.a.)

Das kannst du lernen

  • Wie beschreibt man diskrete dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differenzengleichungen - Lösungsmöglichkeiten und Visualisierung an verschiedenen Beispielen
  • Wie beschreibt man kontinuierliche dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differentialgleichungen - Visualisierung und Lösungsansätze mit Hilfe verschiedener Technologieunterstützungen an verschiedenen Beispielen
  Pfeil.gif Didaktischer Kommentar

Inhaltsverzeichnis

Rekursive Beschreibung von Veränderungen

Numerische Näherung - Heronverfahren

Radioaktiver Zerfall

Räuber-Beute-Modell

Differenzengleichung

Begriffsbildung

Eine Differenzengleichung ist eine Möglichkeit, dynamische Systeme abzubilden. Dabei wird eine Folge von diskreten (einzeln betrachtbaren - "abzählbaren") Ereignissen rekursiv definiert. Jedes Folgenglied ist daher eine Funktion der vorhergehenden Folgenglieder.

Form: x_{n} = f(x_{n-1},x_{n-2},...,x_{1},x_{0})
für natürliche Zahlen n.

Die Veränderung wird durch den Differenzenquotienten angegeben: \frac{\Delta y}{\Delta n}
mit n \inN

Dabei entspricht:
\Delta y_{n} \Longleftrightarrow y_{n+1}-y_{n} und damit beispielsweise \Delta y_{n}=5 \Longleftrightarrow y_{n+1}-y_{n}=5 \Longleftrightarrow y_{n+1}=y_{n}+5

Links:

Marktgleichgewicht - Cobweb-DIagramm

Cobweb / Spinnwebdiagramme stellen eine gute Möglichkeit dar, Rekursionen darzustellen. Links:

Von der diskreten zur kontinuierlichen Veränderung

Exponentielles Wachstum - Lebensmittelkontrolle

Radioaktiver Zerfall - analytische Herleitung

test


  Aufgabe   Stift.gif

Gegeben ist die Funktion  f(x)=x \cdot \ln x . Es gilt \int_{1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=0,636294261 FE.


Beispiele zum radioaktiven Zerfall

Halbwertszeit

Der Zeitraum, in dem eine (meist exponentiell) abfallende Größe auf die Hälfte ihres Anfangswertes abgesunken ist. Die physikalische Halbwertszeit ist die für jedes Isotop eines radioaktiven Elementes charakteristische Zeitdauer, in der von einer ursprünglichen vorhandenen Anzahl radioaktiver Kerne bzw. instabilen Elementarteilchen die Hälfte zerfallen ist (entnommen aus Brockhaus in 5 Bänden, zweiter Band).

  Aufgabe 1  Stift.gif

Jod-131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Berechne den Parameter λ (Basiszeiteinheit 1 Tag und 1 Jahr) in der Zerfallsgleichung auf 6 gültige Nachkommastellen!


  Aufgabe 2  Stift.gif

Von Kobalt-60 ist nach 3,88 Jahren 40% des Ausgangsmaterials zerfallen. Wie groß ist die Halbwertszeit dieses Isotops?


{{Arbeiten|NUMMER=3| ARBEIT= Von 24000 Cäsium-137-Kernen sind nach einer bestimmten Zeit Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\t“): \t<\math> 21771 Kerne zerfallen. Die Halbwertszeit des Isotops beträgt 2,1 Jahre. Berechne t! }} === '''Aufgaben im pdf-Format''' === ---- Die Angaben zu den Aufgaben findet man unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/7/7a/Integrationsmethoden_mv.pdf Integrationsmethoden_mv.pdf] (41 kb). ---- === '''Lösungen im pdf-Format''' === ---- Die Lösungen zu diesen Aufgaben findet man unter [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/1/1f/Integrationsmethoden_loes_mv.pdf Lösungen zu Integrationsmethoden_mv.pdf] (117 kb). === Abbau von Giftstoffen === === Logistisches Wachstum - beschränktes Wachstum === === Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst === == Differentialgleichungen == === Begriffsbildung === Links: * [http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node175.html http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node175.html], Josef Leydold, Abt. f. angewandte Statistik und Datenverarbeitung, 1997 === Lösung einfacher Differentialgleichungen === == Ausblick == === Visualisierung über Richtungsfelder === === Näherungsverfahren === ----