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(Begriffsbildung)
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== Differentialgleichungen ==
 
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=== Begriffsbildung ===
 
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Als (gewöhnliche) Differenzialgleichung (DGLG) wird eine Gleichung bezeichnet, die neben einer Unbekannten <math>\,x<\math> auch deren Ableitung(en) <math>\,x'<\math> enthält. Gelöst wird eine DGLG mittels Integralrechnung.  
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Als (gewöhnliche) Differenzialgleichung (DGLG) wird eine Gleichung bezeichnet, die neben einer Unbekannten <math>\,x</math> auch deren Ableitung(en) <math>\,x'</math> enthält. Gelöst wird eine DGLG mittels Integralrechnung.  
 
Die Lösung einer DGLG ist nicht wie bei einer herkömmlichen Gleichung eine Zahl, sondern eine Funktion, genauer eine Funktionenschar, die aus unendlich vielen Funktionen besteht. Da beim unbestimmten Integrieren immer eine Integrationskonstante auftritt, muss eine Zusatzinformation (Anfangsbedingung) gegeben sein, um die Konstante zu bestimmen. Erst durch die Anfangsbedingung, die einem Punkt auf dem Graphen der Lösungsfunktion entspricht, kann die Lösungsfunktion exakt bestimmt werden. Die Lösung ist nun eine spezielle Funktion!
 
Die Lösung einer DGLG ist nicht wie bei einer herkömmlichen Gleichung eine Zahl, sondern eine Funktion, genauer eine Funktionenschar, die aus unendlich vielen Funktionen besteht. Da beim unbestimmten Integrieren immer eine Integrationskonstante auftritt, muss eine Zusatzinformation (Anfangsbedingung) gegeben sein, um die Konstante zu bestimmen. Erst durch die Anfangsbedingung, die einem Punkt auf dem Graphen der Lösungsfunktion entspricht, kann die Lösungsfunktion exakt bestimmt werden. Die Lösung ist nun eine spezielle Funktion!
  

Version vom 28. März 2009, 16:56 Uhr

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Über diesen Lernpfad

Schüler/innen sollen sich mit der Beschreibung von dynamischen Vorgängen beschäftigen und den Unterschied zwischen diskreten Vorgängen (Beschreibung über Differenzengleichungen) und kontinuierlichen Vorgängen (Beschreibung über Differentialgleichungen) kennen lernen.

Kompetenzen

Das kannst du schon

  • Darstellungsformen von Funktionen
  • Kenntnis der Auswirkung von Variationen in verschiedenen Darstellungsformen (lineare, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen u.a.)

Das kannst du lernen

  • Wie beschreibt man diskrete dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differenzengleichungen - Lösungsmöglichkeiten und Visualisierung an verschiedenen Beispielen
  • Wie beschreibt man kontinuierliche dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differentialgleichungen - Visualisierung und Lösungsansätze mit Hilfe verschiedener Technologieunterstützungen an verschiedenen Beispielen
  Pfeil.gif Didaktischer Kommentar

Inhaltsverzeichnis

Rekursive Beschreibung von Veränderungen

Numerische Näherung - Heronverfahren

Radioaktiver Zerfall

Räuber-Beute-Modell

Differenzengleichung

Begriffsbildung

Eine Differenzengleichung ist eine Möglichkeit, dynamische Systeme abzubilden. Dabei wird eine Folge von diskreten (einzeln betrachtbaren - "abzählbaren") Ereignissen rekursiv definiert. Jedes Folgenglied ist daher eine Funktion der vorhergehenden Folgenglieder.

Form: x_{n} = f(x_{n-1},x_{n-2},...,x_{1},x_{0})
für natürliche Zahlen n.

Die Veränderung wird durch den Differenzenquotienten angegeben: \frac{\Delta y}{\Delta n}
mit n \inN

Dabei entspricht:
\Delta y_{n} \Longleftrightarrow y_{n+1}-y_{n} und damit beispielsweise \Delta y_{n}=5 \Longleftrightarrow y_{n+1}-y_{n}=5 \Longleftrightarrow y_{n+1}=y_{n}+5

Links:

Marktgleichgewicht - Cobweb-DIagramm

Cobweb / Spinnwebdiagramme stellen eine gute Möglichkeit dar, Rekursionen darzustellen. Links:

Von der diskreten zur kontinuierlichen Veränderung

Exponentielles Wachstum - Lebensmittelkontrolle

Radioaktiver Zerfall - analytische Herleitung

Die Gleichung N(t)=N_{0} \cdot e^{-\lambda \cdot x} ist eine der bekanntesten der Mathematik und wird in der zehnten Schulstufe eingeführt. In der zwölften ist es nun mit Hilfe der Integralrechung möglich, ausgehen vom Ansatz N(t)'=-N(t) \cdot \lambda obige Relationen per Differentiagleichung analytisch herzuleiten. Unter Rad_zerfall_analytisch.pdf ist diese Schritt für Schritt nachvollziehbar. Zuerst wird der allgemeine Fall besprochen und sich dann auf die Anwendung beim radioaktiven Zerfall bezogen.

Zusätzlich sind drei Standardaufgaben angegeben, um die Verwendung der Gleichung zu wiederholen.

Beispiele zum radioaktiven Zerfall

Halbwertszeit

Der Zeitraum, in dem eine (meist exponentiell) abfallende Größe auf die Hälfte ihres Anfangswertes abgesunken ist. Die physikalische Halbwertszeit ist die für jedes Isotop eines radioaktiven Elementes charakteristische Zeitdauer, in der von einer ursprünglichen vorhandenen Anzahl radioaktiver Kerne bzw. instabilen Elementarteilchen die Hälfte zerfallen ist (entnommen aus Brockhaus in 5 Bänden, zweiter Band).

  Aufgabe 1  Stift.gif

Jod-131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Berechne den Parameter λ (Basiszeiteinheit 1 Tag und 1 Jahr) in der Zerfallsgleichung auf 6 gültige Nachkommastellen!


  Aufgabe 2  Stift.gif

Von Kobalt-60 ist nach 3,88 Jahren 40% des Ausgangsmaterials zerfallen. Wie groß ist die Halbwertszeit dieses Isotops?


  Aufgabe 3  Stift.gif

Von 24000 Cäsium-137-Kernen sind nach einer bestimmten Zeit \,t 21771 Kerne zerfallen. Die Halbwertszeit des Isotops beträgt 2,1 Jahre. Berechne \,t!


Aufgaben im pdf-Format


Die Angaben zu den Aufgaben findet man unter Bsp_rad_zerfall.pdf (43 kb).


Lösungen im pdf-Format


Die Lösungen zu diesen Aufgaben findet man unter Lösungen zu Bsp_rad_zerfall.pdf (59 kb).

Abbau von Giftstoffen

Logistisches Wachstum - beschränktes Wachstum

Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst

Differentialgleichungen

Begriffsbildung

Als (gewöhnliche) Differenzialgleichung (DGLG) wird eine Gleichung bezeichnet, die neben einer Unbekannten \,x auch deren Ableitung(en) \,x' enthält. Gelöst wird eine DGLG mittels Integralrechnung. Die Lösung einer DGLG ist nicht wie bei einer herkömmlichen Gleichung eine Zahl, sondern eine Funktion, genauer eine Funktionenschar, die aus unendlich vielen Funktionen besteht. Da beim unbestimmten Integrieren immer eine Integrationskonstante auftritt, muss eine Zusatzinformation (Anfangsbedingung) gegeben sein, um die Konstante zu bestimmen. Erst durch die Anfangsbedingung, die einem Punkt auf dem Graphen der Lösungsfunktion entspricht, kann die Lösungsfunktion exakt bestimmt werden. Die Lösung ist nun eine spezielle Funktion!

Links:

Lösung einfacher Differentialgleichungen

Ausblick

Visualisierung über Richtungsfelder

Näherungsverfahren