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(Differentialgleichungen)
(Lösung einfacher Differentialgleichungen)
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* [http://www.acdca.ac.at/material/kl8/diffequ.htm http://www.acdca.ac.at/material/kl8/diffequ.htm], Josef Böhm, Differentialgleichungen mit CAS, ACDCA 2004
 
* [http://www.acdca.ac.at/material/kl8/diffequ.htm http://www.acdca.ac.at/material/kl8/diffequ.htm], Josef Böhm, Differentialgleichungen mit CAS, ACDCA 2004
  
=== Lösung einfacher Differentialgleichungen ===
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=== [[Lösung einfacher Differentialgleichungen]] ===
 
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Lösung der Aufgabe 2: {{versteckt|*
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Lösung: <math>y=e^{-\frac{3}{x}}\cdot 3\cdot e^{3}=3\cdot e^{-\frac{3}{x}+3}</math>
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Version vom 22. August 2011, 11:51 Uhr

Willkommen zum Lernpfad


Logistisches wachstum.png Bsp rad zerfall.png Wert quadratwurzel.png


Diskret - kontinuierlich


erstellt von

Matthias Kittel und Walter Wegscheider

im Rahmen eines internationalen Projektes von
Medienvielfalt im Mathematikunterricht
(Stand August 2011)



Du erwirbst / stärkst in diesem Lernpfad folgende Kompetenzen  

Das kennst du schon

  • Darstellungsformen von Funktionen
  • Kenntnis der Auswirkung von Variationen in verschiedenen Darstellungsformen (lineare, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen u.a.)

Das lernst du

  • Wie beschreibt man diskrete dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differenzengleichungen - Lösungsmöglichkeiten und Visualisierung an verschiedenen Beispielen
  • Wie beschreibt man kontinuierliche dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differentialgleichungen - Visualisierung und Lösungsansätze mit Hilfe verschiedener Technologieunterstützungen an verschiedenen Beispiele

Du stärkst diese Kompetenzen:

  • Darstellen, Modellieren (Heronverfahren, Radioaktiver Zerfall, Räuber-Beute-Modell, Rekursionsmodelle und Differenzengleichungen Differentialgleichung)
  • Rechnen, Operieren (Radioaktiver Zerfall - analytische Herleitung sowie weiterführende Aufgaben, Herleitung der logistischen Gleichung, Lösen von Differentialgleichungen)
  • Interpretieren (exponentielles Wachstum - Lebensmittelkontrolle, exponentielle Abnahme - radioaktiver Zerfall)
  • Argumentieren, Begründen (Unterschied zwischen Differenzen- und Differentialgleichung)n
  • Problemlösen (Erkennen der Einsatzgebiete von Differenzen- und Differentialgleichung)




Informationen zum Einsatz des Lernpfads im Unterricht: Didaktischer Kommentar

Der didaktische Kommentar als pdf.


Logos 1.jpg



Inhaltsverzeichnis

Rekursive Beschreibung von Veränderungen

Unter rekursiven Verfahren kannst Du Dir Verfahren vorstellen, die errechnete Ergebnisse einer Formel wieder als Anfangswerte in die Formel einsetzen. Rekursion ist lateinisch und bedeutet zurücklaufen.

Rekursive Verfahren sind im Allgemeinen schrittweise (iterative) Verfahren. Das beudeutet, dass Du kein Ergebnis einfach ausrechnest, sonder Dich (langsam) an ein Ergebnis herantastest. Du näherst Dich Schritt für Schritt einem (richtigen) Ergebnis. Die Ergebnisse aus der Rekursionsformel sind die schrittweisen Zwischenergebnisse, die zum (korrekten) Endergebnis führen.

Da Differentialgleichungen schwierig zu lösen sind, ist es oft einfacher diese Art von Gleichungen in eine Differenzengleichung umzuwandeln und dann diese zu lösen. Differenzengleichungen sind rekursive Verfahren und können entsprechend gelöst werden.

Differenzengleichung

Begriffsbildung

Eine Differenzengleichung ist eine Möglichkeit, dynamische Systeme abzubilden. Dabei wird eine Folge von diskreten (einzeln betrachtbaren, abzählbaren) Ereignissen rekursiv definiert. Jedes Folgenglied ist daher eine Funktion der vorhergehenden Folgenglieder.

Form: \,x_{n} = f(x_{n-1},x_{n-2},...,x_{1},x_{0}) für natürliche Zahlen  \,n .

Die Veränderung wird durch den Differenzenquotienten angegeben: \frac{\Delta y}{\Delta n} mit n \in N

Dabei entspricht:
\Delta y_{n} \Longleftrightarrow y_{n+1}-y_{n} und damit beispielsweise \Delta y_{n}=5 \Longleftrightarrow y_{n+1}-y_{n}=5 \Longleftrightarrow y_{n+1}=y_{n}+5

Weiterführende Links:

Themengebiete

Numerische Näherung - Heronverfahren

Radioaktiver Zerfall

Räuber-Beute-Modell

Cobweb/Spinnweben-Diagramm

Von der diskreten zur kontinuierlichen Veränderung

Themengebiete

Unter folgenden vier Themengebieten kannst Du mehr über die Verwendung und den Einsatz von rekursiven Verfahren lernen und mittels Aufgaben, Beispielen und Erläuterungen Dein Wissen vertiefen.

Exponentielles Wachstum - Lebensmittelkontrolle

Radioaktiver Zerfall - analytische Herleitung und Beispiele

Abbau von Giftstoffen

Logistisches Wachstum - beschränktes Wachstum

Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst

Weitere Beispiele

Differentialgleichungen

Begriffsbildung

Als (gewöhnliche) DGLG wird eine Gleichung bezeichnet, die neben einer Unbekannten \,x auch deren Ableitung(en) \,x' (\,x'', ...) enthält. Gelöst wird eine DGLG mittels Integralrechnung.

Die Lösung einer DGLG ist nicht wie bei einer herkömmlichen Gleichung eine Zahl, sondern eine Funktion, genauer eine Funktionenschar, die aus unendlich vielen Funktionen besteht. Da beim unbestimmten Integrieren immer eine Integrationskonstante auftritt, muss eine Zusatzinformation (Anfangsbedingung) gegeben sein, um die Konstante zu bestimmen.

Erst durch die Anfangsbedingung, die einem Punkt auf dem Graphen der Lösungsfunktion entspricht, kann die Lösungsfunktion exakt bestimmt werden. Die Lösung ist nun eine spezielle Funktion!

DGLG können in allen Bereichen des Lebens angetroffen werden, besonders in den Naturwissenschaften oder der Wirtschaft und dem Sport. In allen Zusammenhängen, bei denenen es um Veränderungen geht, kommen DGLG zur Anwendung.

Eine Übersicht über die Klassifikation von DGLG findet man unter http://www.math.tu-berlin.de/geometrie/Lehre/SS05/GDglmA/skriptKlassif.pdf

Links:

Lösung einfacher Differentialgleichungen

Ausblick

Näherungsverfahren

Bisher wurde die Lösung der betrachteten Differentialgleichungen über Integration vorgestellt. Man versucht dabei, eine mathematisch exakte (und bis auf die Integrationskonstante eindeutige) Lösung formal zu bestimmen. Die gefundene Lösungsfunktion liefert eine vollständige Beschreibung des betrachteten Problems über den gesamten definierten Verlauf. In den meisten Fällen sind diese gefundenen Lösungsfunktionen auch stetig und bieten daher eine kontinuierliche Problemlösung.
Es gibt aber viele Integrale und damit Differentialgleichungen, die man nur äußerst mühselig oder in vielen Fällen überhaupt nicht exakt lösen kann!
Man geht daher oft den - nebenbei auch bei der Automatisation der Lösungsalgorithmen mit dem Computer meist schnelleren - Weg, die Probleme näherungsweise zu lösen. Man setzt also auf Näherungsverfahren, die das vorliegende Problem für eine diskrete (endliche) Zahl von Punkten möglichst genau lösen. Man ersetzt also die vollständige Integration einer Funktion durch die näherungsweise Berechnung (des bestimmten Integrals) in einem bestimmten Bereich, für den man sich interessiert. Für diese Näherung / Diskretisierung gibt es verschiedene, unterschiedlich genaue - unterschiedlich komplexe Verfahren.

Grundsatz: Der Differentialquotient wird näherungsweise durch den dazugehörigen Differenzenquotienten beschrieben.

\frac {dy(x)}{dx} beschrieben durch \frac {\Delta y}{\Delta x}
=
\frac {y(x_{n+1})-y(x_{n})}{x_{n+1}-x_{n}}

Die bekanntesten Näherungsverfahren

  • Euler-Cauchy-Verfahren
  • Runge-Kutta-Verfahren

Eine Beschreibung der Verfahren finden Sie bei Ulrich Streit, Skript zur Übung "Werkzeuge zur numerischen Modellierung", 1999

Beispiele:

Links:



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