Einfluss von b: Unterschied zwischen den Versionen

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Man erhält den Graph der Funktion  
 
Man erhält den Graph der Funktion  
:<math> x \rightarrow a\cdot \sin x </math>
+
:<math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math>
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der <math>\ y</math>-Achse. Man sagt, die Amplitude der Funktion wird vergrößert oder verkleinert. Genauer:
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aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der <math>\ x</math>-Achse. Man sagt, die Frequenz der Funktion wird verkleinert oder vergrößert. Genauer:
* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>\ a</math> größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>\ y</math>-Richtung um den Faktor Betrag von <math> \ a </math> gestreckt.  
+
* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>\ b</math> größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>\ x</math>-Richtung um den Faktor Betrag von <math> \ b </math> gestaucht.  
* Ist der Betrag von <math>\ a</math> kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>\ y</math>-Richtung um den Faktor Betrag von <math> \ a </math> gestaucht.  
+
* Ist der Betrag von <math>\ b</math> kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>\ x</math>-Richtung um den Faktor Betrag von <math> \ b </math> gestreckt.  
* Falls <math> \ a </math> negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der <math>\ x</math>-Achse gespiegelt.}}  
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* Falls <math> \ b </math> negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der <math>\ y</math>-Achse gespiegelt.}}  
 
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digraph G {
 
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rankdir=LR;
 
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"Start"-> "|a| > 1";
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"|a| > 1"->"Streckung in y-Richtung \n um den Faktor a";
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"|b| > 1"->"Stauchung in x-Richtung \n um den Faktor b";
"Streckung in y-Richtung \n um den Faktor a" -> "a > 0";
+
"Stauchung in x-Richtung \n um den Faktor b" -> "b > 0";
"a > 0" -> "Ziel";
+
"b > 0" -> "Ziel";
"Streckung in y-Richtung \n um den Faktor a" -> "a < 0";
+
"Stauchung in x-Richtung \n um den Faktor b" -> "b < 0";
"a < 0" -> "Spiegelung an \n der x-Achse";
+
"b < 0" -> "Spiegelung an \n der y-Achse";
"Spiegelung an \n der x-Achse"-> "Ziel";
+
"Spiegelung an \n der y-Achse"-> "Ziel";
"|a| < 1"-> "Stauchung in y-Richtung \n um den Faktor a";
+
"|b| < 1"-> "Streckung in x-Richtung \n um den Faktor b";
"Stauchung in y-Richtung \n um den Faktor a" -> "a > 0";
+
"Streckung in x-Richtung \n um den Faktor b" -> "b > 0";
"Stauchung in y-Richtung \n um den Faktor a" -> "a < 0";
+
"Streckung in x-Richtung \n um den Faktor b" -> "b < 0";
 
}
 
}
 
</graphviz>
 
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Version vom 7. November 2008, 20:30 Uhr

Wir betrachten nun den Einfluss von  \ b in

 x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) .


  Aufgabe   Stift.gif


  1. Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von  \ b ändern.
  2. Stelle den Schieberegler auf  \ b = 2 ein. Wie ändert sich der Graph?
  3. Überlege Dir, wie sich die Werte  \ b = 3  und  \ b = -1 sowie  \ b = 0,5 auf den Graphen auswirken und überprüfe Deine Vermutung.
  4. Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.

Lösung:

b

Lösung:


Maehnrot.jpg
Merke:

Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(bx) aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch

b > 1: Stauchung in x-Richtung

0 < b < 1 Streckung in x-Richtung


Hinweis: Bei negativem b (b < 0) ist wegen sin(-x) = - sin(x) der Einfluss von a als Spiegeln an der y-Achse zu berücksichtigen!


N sin b.jpg
  Aufgabe   Stift.gif

Teste Dich! Klicke auf die richtigen Zuordnungen!

1.

\ b<-1;  -1<\ b<0;  0<\ b<1;  1<\ b
Verschiebung nach oben
Verschiebung nach unten
Verschiebung nach rechts
Verschiebung nach links
Streckung in  \ x - Richtung / Verkleinerung der Frequenz
Stauchung in  \ x - Richtung / Vergrößerung der Frequenz
Streckung in  \ y - Richtung / Vergrößerung der Amplitude
Stauchung in  \ y - -Richtung / Verkleinerung der Amplitude
Spiegelung an  \ x - Achse
Spiegelung an  \ y - Achse

Punkte: 0 / 0


Nun betrachten wir den Einfluss von  \ b in

 x \rightarrow \cos ( b\cdot x ) .
  Aufgabe   Stift.gif


Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit obige Aufgaben eins bis vier nochmals.




Hefteintrag

N cos b.jpg

Man erhält den Graph der Funktion f: x---> cos(bx) aus dem Graph der Kosinusfunktion cos durch

b > 1: Stauchung in x-Richtung

0 < b < 1 Streckung in x-Richtung