Beispiele zum Funktionsbegriff: Unterschied zwischen den Versionen
| Zeile 14: | Zeile 14: | ||
Ein wesentlicher Gesichtspunkt bei Funktionen ist der Funktionsgraph.<br> | Ein wesentlicher Gesichtspunkt bei Funktionen ist der Funktionsgraph.<br> | ||
| − | {{ | + | {{Arbeiten|Nummer=1| |
| − | 1. Wiederhole wie man [http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/zuordnung_graph/index.html von der Zuordnung zum Funktionsgraph] gelangt. | + | ARBEIT=1. Wiederhole wie man [http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/zuordnung_graph/index.html von der Zuordnung zum Funktionsgraph] gelangt. |
2. Mache die [http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/aufgaben_zu_funktionsgraphen/2-f.html Übungen zum Funktionsgraph].<br> | 2. Mache die [http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/aufgaben_zu_funktionsgraphen/2-f.html Übungen zum Funktionsgraph].<br> | ||
| Zeile 31: | Zeile 31: | ||
=Die Wertetabelle= | =Die Wertetabelle= | ||
| − | + | ==Handytarif== | |
Ein Beispiel für einen Zusammenhang zwischen Größen ist die Abhängigkeit der Höhe der Telefonrechnung von der Gesprächszeit. Sie kann in Worten beschrieben oder durch eine Formel ausgedrückt werden. | Ein Beispiel für einen Zusammenhang zwischen Größen ist die Abhängigkeit der Höhe der Telefonrechnung von der Gesprächszeit. Sie kann in Worten beschrieben oder durch eine Formel ausgedrückt werden. | ||
| − | {{Arbeiten|NUMMER= | + | {{Arbeiten|NUMMER=2| |
ARBEIT= | ARBEIT= | ||
1. Ein Handybetreiber bietet folgenden Tarif an: Die monatliche Grundgebühr beträgt 15 €. Für 1 Minute telefonieren in alle Netze Österreichs werden 0,06 € verrechnet. Die Abrechnung erfolgt minutengenau (d.h. für eine angebrochene Minute wird der volle Preis für 1 Minute verrechnet). Um schnell ermitteln zu können, wie hoch die Rechnung für eine gegebene Gesprächszeit ist, ist es praktisch, eine Formel dafür zur Hand zu haben: | 1. Ein Handybetreiber bietet folgenden Tarif an: Die monatliche Grundgebühr beträgt 15 €. Für 1 Minute telefonieren in alle Netze Österreichs werden 0,06 € verrechnet. Die Abrechnung erfolgt minutengenau (d.h. für eine angebrochene Minute wird der volle Preis für 1 Minute verrechnet). Um schnell ermitteln zu können, wie hoch die Rechnung für eine gegebene Gesprächszeit ist, ist es praktisch, eine Formel dafür zur Hand zu haben: | ||
| Zeile 71: | Zeile 71: | ||
Mit Hilfe einer Tabelle lassen sich verschiedene Fragen schnell beantworten. | Mit Hilfe einer Tabelle lassen sich verschiedene Fragen schnell beantworten. | ||
| − | {{Arbeiten|NUMMER= | + | {{Arbeiten|NUMMER=3| |
ARBEIT=In der vorhergehenden Aufgabe hast du eine Wertetabelle erstellt, die der Betreuer der Handy-Hotline benutzen kann, um Fragen zu den Telefonkosten zu beantworten. Umgegend erhält er einige Anrufe. Nimm die Tabelle zur Hand und hilf ihm, die richtigen Auskünfte zu erteilen!<br> | ARBEIT=In der vorhergehenden Aufgabe hast du eine Wertetabelle erstellt, die der Betreuer der Handy-Hotline benutzen kann, um Fragen zu den Telefonkosten zu beantworten. Umgegend erhält er einige Anrufe. Nimm die Tabelle zur Hand und hilf ihm, die richtigen Auskünfte zu erteilen!<br> | ||
<center>[[bild:Tabelle_handy3.jpg]] | <center>[[bild:Tabelle_handy3.jpg]] | ||
| Zeile 85: | Zeile 85: | ||
}} | }} | ||
| + | ==Bau einer Schachtel== | ||
| + | In den bisherigen Aufgaben sind nur diskrete Zahlenwerte (ganzzahlige Minuten- und Eurobeträge) vorgekommen. Abhängigkeiten können aber auch für kontinuierlichen Größen, die beliebige reelle Zahlenwerte annehmen können, auftreten. | ||
| + | {{Arbeiten|NUMMER=4| | ||
| + | ARBEIT=Aus einem quadratischen Stück Papier (Seitenlänge 6) soll eine Schachtel hergestellt werden. Dazu werden bei den Ecken vier kleinere (gleich große) Quadrate herausgeschnitten und das verbleibende Stück Pappe zu einer Schachtel (ohne Deckel) aufgeklappt. | ||
| + | Betrachte dazu die [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/funktionen/einstieg/content/SchachtelbeispielFlash/index.html Flash-Animation] | ||
| − | < | + | Wie muss die Schachtel dimensioniert werden, damit ihr Volumen möglichst groß ist. <br> |
| − | + | Dazu fragen wir zunächst, wie groß ihr Volumen überhaupt ist! Das hängt natürlich davon ab, wie groß die Quadrate sind, die zunächst herausgeschnitten wurden. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| + | * Berechne das Volumen der Schachtel, wenn die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate 1 beträgt! | ||
| + | * Berechne das Volumen der Schachtel, wenn die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate 2 beträgt! | ||
| + | * Ermittle eine Formel für das Volumen der Schachtel, wenn die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate (wie in der Animation) mit x bezeichnet wird! | ||
| + | |||
| + | {{Lösung versteckt| | ||
| + | Das Volumen der Schachtel ist (6 - 2x)2 x. Wird das Volumen mit V bezeichnet, so können wir auch schreiben: | ||
| + | |||
| + | V = (6 - 2x)2 x. | ||
| + | |||
| + | Um zum Ausdruck zu bringen, dass das Volumen von x abhängt, ist auch die Schreibweise | ||
| + | |||
| + | V(x) = (6 - 2x)2 x | ||
| + | |||
| + | (gesprochen "V von x ist gleich ...") gebräuchlich. | ||
}} | }} | ||
| − | |||
Version vom 4. Dezember 2011, 20:00 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Wiederholung
Du hast schon viel über Funktionen kennengelernt. Du kennst lineare Funktionen, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen. Dabei hast du die Funktionstypen und ihre Eigenschaften betrachtet. Wir wollen nun sehen, was allgemein eine Funktion ist und welche Darstellungsarten und Eigenschaften Funktionen haben.
Teste beim Lernzirkel Funktionen was du von Funktionen kennst. Notiere was du weißt und was du nicht weißt.
Der Funktionsgraph
|
Ein wesentlicher Gesichtspunkt bei Funktionen ist der Funktionsgraph.
|
|
Die Wertetabelle
Handytarif
Ein Beispiel für einen Zusammenhang zwischen Größen ist die Abhängigkeit der Höhe der Telefonrechnung von der Gesprächszeit. Sie kann in Worten beschrieben oder durch eine Formel ausgedrückt werden.
Aufgabe 2
1. Ein Handybetreiber bietet folgenden Tarif an: Die monatliche Grundgebühr beträgt 15 €. Für 1 Minute telefonieren in alle Netze Österreichs werden 0,06 € verrechnet. Die Abrechnung erfolgt minutengenau (d.h. für eine angebrochene Minute wird der volle Preis für 1 Minute verrechnet). Um schnell ermitteln zu können, wie hoch die Rechnung für eine gegebene Gesprächszeit ist, ist es praktisch, eine Formel dafür zur Hand zu haben:
Tipp: Trage die Geldbeträge in die folgende Tabelle ein! Fällt dir eine Gesetzmäßigkeit auf, die es dir erlaubt, auch die letzte Zeile auszufüllen? Die Abhängigkeit der Höhe der Telefonrechnung von der Gesprächszeit kann in Form einer Tabelle dargestellt werden. 2. An der Hotline des Handyanbieters sitzt ein Mitarbeiter, der Formeln nicht ausstehen kann! Dennoch muss er vielen AnruferInnen mitteilen, wie hoch ihre Rechnung sein wird, wenn sie soundsoviel telefonieren. Er bevorzugt die Verwendung einer Tabelle, in der alle für ihn relevanten Zahlen stehen.  Tipp: Hier wird erklärt wie man mit einem Tabellenkalkulationsprogramm arbeitet. |
1. Wird die Höhe der Handyrechnung mit H und die Anzahl der Minuten mit t bezeichnet, so kann man schreiben:
Um zum Ausdruck zu bringen, dass die Höhe der Handyrechnung von t abhängt, ist auch die Schreibweise
(gesprochen "H von t ist gleich…") gebräuchlich.
2. Tabelle per Hand oder mit einer Tabellenkalkulation erstellen!
In der Mathematik wird eine Tabelle, wie du sie in der vorigen Aufgabe erstellt hast, als Wertetabelle bezeichnet. In der linken Spalte stehen die Gesprächszeiten, und zu jeder Gesprächszeit t ist in der rechten Spalte der entsprechende Rechnungsbetrag H(t) verzeichnet.
Mit Hilfe einer Tabelle lassen sich verschiedene Fragen schnell beantworten.
Aufgabe 3
In der vorhergehenden Aufgabe hast du eine Wertetabelle erstellt, die der Betreuer der Handy-Hotline benutzen kann, um Fragen zu den Telefonkosten zu beantworten. Umgegend erhält er einige Anrufe. Nimm die Tabelle zur Hand und hilf ihm, die richtigen Auskünfte zu erteilen! 
|
(1) Silvia muss 18,60 € zahlen
(2) Fritz Rechnung beträgt 19,50 €
(3) Sabine darf höchstens 100 Minuten im Monat telefonieren
(4) Max hat nicht Recht, da die Grundgebühr nur einmal verrechnet wird.
Bau einer Schachtel
In den bisherigen Aufgaben sind nur diskrete Zahlenwerte (ganzzahlige Minuten- und Eurobeträge) vorgekommen. Abhängigkeiten können aber auch für kontinuierlichen Größen, die beliebige reelle Zahlenwerte annehmen können, auftreten.
{{Arbeiten|NUMMER=4| ARBEIT=Aus einem quadratischen Stück Papier (Seitenlänge 6) soll eine Schachtel hergestellt werden. Dazu werden bei den Ecken vier kleinere (gleich große) Quadrate herausgeschnitten und das verbleibende Stück Pappe zu einer Schachtel (ohne Deckel) aufgeklappt.
Betrachte dazu die Flash-Animation
Wie muss die Schachtel dimensioniert werden, damit ihr Volumen möglichst groß ist.
Dazu fragen wir zunächst, wie groß ihr Volumen überhaupt ist! Das hängt natürlich davon ab, wie groß die Quadrate sind, die zunächst herausgeschnitten wurden.
- Berechne das Volumen der Schachtel, wenn die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate 1 beträgt!
- Berechne das Volumen der Schachtel, wenn die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate 2 beträgt!
- Ermittle eine Formel für das Volumen der Schachtel, wenn die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate (wie in der Animation) mit x bezeichnet wird!
