Eigenschaften von Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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Du hast nun Funktionen als Objekte in der Mathematik kennengelernt. Wir wollen als Nächstes untersuchen, welche Eigenschaften Funktionen haben.
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[[Funktionen_Einstieg/Beispiele zum Funktionsbegriff|Zuordnungen - Graph und Wertetabelle]] - [[Funktionen_Einstieg/Der_Funktionsbegriff|Der Funktionsbegriff]] - [[Funktionen_Einstieg/Graphen|Der Funktionsgraph]] - [[Funktionen_Einstieg/Beispiele|Beispiele und Übungen]] - [[Funktionen_Einstieg/Eigenschaften von Funktionen|Eigenschaften von Funktionen]]
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Als Eigenschaften wollen wir Monotonie, Grenzwert und Symmetrie betrachten.
 
  
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[[Funktionen_Einstieg/Monotonie]]
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Du hast nun Funktionen als Objekte in der Mathematik kennengelernt. Objekte in der Mathematik haben auch Eigenschaften. Du kennst bereits Eigenschaften von Funktionen ohne sie explizit benannt zu haben. Als Nächstes wollen wir die Eigenschaften Monotonie, Symmetrie und Grenzwert von Funktionen betrachten.
  
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[[Funktionen_Einstieg/Grenzwert]]
 
  
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[[Funktionen_Einstieg/Symmetrie]]
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:::[[Funktionen_Einstieg/Monotonie|Monotonie]]
  
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:::::::::[[Funktionen_Einstieg/Symmetrie|Symmetrie]]
  
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=Grenzwert=
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:::::::::::::::[[Funktionen_Einstieg/Grenzwert|Grenzwert]]
  
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{{Merke|
 
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Zuerst vereinbaren wir:
 
  
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sehr große positve Zahlen sind solche positive Zahlen mit großem Betrag (z.B. 1000000)<br>
 
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sehr großen negative Zahlen sind solche negative Zahlen mit großem Betrag (z.B. –1000000)
 
  
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sehr kleine positive Zahlen sind solche positive Zahlen mit kleinem Betrag (z.B. 0,0000001)<br>
 
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sehr kleinen negative Zahlen solche negative Zahlen mit kleinem Betrag (z.B. –0,0000001 )
 
  
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Grenzwerte von Funktionen spiegeln das Verhalten im Unendlichen wieder oder, falls wir x gegen einen anderen Wert als unendlich laufen lassen, das entsprechende Verhalten.
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'''Beispiel:''' Wir betrachten die Funktion <math> f: x \rightarrow x^2</math>
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Nun hast du es geschafft, du kennst eine exakte Definition der Funktion und kannst sicher mit Funktionen und ihren Darstellungsformen umgehen. Du hast Eigenschaften von Funktionen kennengelernt und weißt, dass Funktionen mathematische Objekte sind.
  
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Wir wollen x gegen unendlich und gegen minus unendlich laufen lassen.  
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Mit Funktionen kann man ähnliche Betrachtungen wie bei Zahlen machen. Eine spezielle Art von Funktionen sind Polynomfunktionen, die einen Ring bilden. Einen algebraischen Ring kennst du mit der Menge der ganzen Zahlen <math> Z </math>. Wie bei den ganzen Zahlen kann man Polynomfunktionen addieren, subtrahieren und multiplizieren. Nur die Division geht wie in der Menge der ganzen Zahlen die Division nicht immer. In diesem Video
  
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Wir schreiben für x gegen unendlich: <math>\lim_{n \to \infty}x^2</math>
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<center>{{#ev:youtube |mPdratwcWMA|350}}</center>
  
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und für x gegen minus unendlich: <math>\lim_{n \to -\infty}x^2</math>
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wird diese Problematik angesprochen. Du siehst, dass die Division von Polynomfunktionen ähnlich wie die Division mit ganzen Zahlen funktioniert und - wie die Division in der Menge der ganzen Zahlen - aufgehen oder nicht aufgehen kann.
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<center> Nun weißt du, dass es bei Funktionen noch einiges zum Kennenlernen gibt!</center>
  
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Da in beiden Fällen die Funktionswerte immer größer werden und über alle Grenzen wachsen, ist dann <math>\lim_{n \to \infty}x^2 = \infty</math>  und  <math>\lim_{n \to -\infty}x^2 =\infty</math>
 
  
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Ein Plus-oder Minuszeichen rechts hochgestellt an einer Zahl bei Grenzwerten bedeutet Annäherung von rechts – bzw. von links her an die Zahl
 
  
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<math>\lim_{n \to 3^+}x^2</math>  heißt: x ist bei der Annäherung größer als 3, also z.B.  3,1 ; 3,01 ; 3,001 usw.
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<math>\lim_{n \to 3^-}x^2</math>  heißt: x ist bei der Annäherung kleiner als 3, also z.B.  2,9 ; 2,99 ; 2,999 usw.
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Zurück zur [[Funktionen_Einstieg|Startseite]]
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Es ist dann <math>\lim_{n \to 3^+}x^2 = 9 </math> bzw. <math>\lim_{n \to 3^-}x^2 = 9</math>.
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Auf dieser [http://www.mathematik-wissen.de/grenzwerte_von_funktionen.htm Seite] sind zwei Beispiele ausführlich erklärt.
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Auf den folgenden Seiten sind zum Thema Grenzwert weitere Erklärungen und Beispiele zu finden:
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# [http://www.mathematik.net/grenzw-fkt/g01s05.htm Grenzwert an einer Stelle]
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# Beispiel [http://www.mathematik.net/grenzw-fkt/g01s05.htm mit Grenzwert] und [http://www.mathematik.net/grenzw-fkt/g02s34.htm ohne Grenzwert]
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# Beispiele: [http://www.mathematik.net/grenzw-fkt/g03s10.htm Identische Funktion], [http://www.mathematik.net/grenzw-fkt/g03s12.htm konstante Funktion], [http://www.mathematik.net/grenzw-fkt/g03s45.htm Betragsfunktion], [http://www.mathematik.net/grenzw-fkt/g03s30.htm trigonometrische Funktionen], [http://www.mathematik.net/grenzw-fkt/g03s35.htm Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen]
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{{Arbeiten|
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NUMMER=|
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=Symmetrie zum Koordinatensystem=
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Aktuelle Version vom 5. Januar 2012, 12:40 Uhr

Zuordnungen - Graph und Wertetabelle - Der Funktionsbegriff - Der Funktionsgraph - Beispiele und Übungen - Eigenschaften von Funktionen


Du hast nun Funktionen als Objekte in der Mathematik kennengelernt. Objekte in der Mathematik haben auch Eigenschaften. Du kennst bereits Eigenschaften von Funktionen ohne sie explizit benannt zu haben. Als Nächstes wollen wir die Eigenschaften Monotonie, Symmetrie und Grenzwert von Funktionen betrachten.


Monotonie
Symmetrie
Grenzwert



Nun hast du es geschafft, du kennst eine exakte Definition der Funktion und kannst sicher mit Funktionen und ihren Darstellungsformen umgehen. Du hast Eigenschaften von Funktionen kennengelernt und weißt, dass Funktionen mathematische Objekte sind.

Mit Funktionen kann man ähnliche Betrachtungen wie bei Zahlen machen. Eine spezielle Art von Funktionen sind Polynomfunktionen, die einen Ring bilden. Einen algebraischen Ring kennst du mit der Menge der ganzen Zahlen Z . Wie bei den ganzen Zahlen kann man Polynomfunktionen addieren, subtrahieren und multiplizieren. Nur die Division geht wie in der Menge der ganzen Zahlen die Division nicht immer. In diesem Video

wird diese Problematik angesprochen. Du siehst, dass die Division von Polynomfunktionen ähnlich wie die Division mit ganzen Zahlen funktioniert und - wie die Division in der Menge der ganzen Zahlen - aufgehen oder nicht aufgehen kann.

Nun weißt du, dass es bei Funktionen noch einiges zum Kennenlernen gibt!


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