Eigenschaften von Funktionen

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Monotonie

  Aufgabe 1  Stift.gif

Betrachte die folgenden Funktionen im angegebenen Intervall. Die Funktionen sind durch Funktionsterm und Graph gegeben.

  1. x^2 in R^+
    Monotonie quadratfunktion.jpg
  1. sin(x) in [0;1]
    Montonie sinusfunktion.jpg
  1.  -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1 in [0;3]
    Monotonie kubikfunktion.jpg</center

Was fällt dir auf? Was haben die drei Funktionsgraphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?


Alle drei Funktionsgraphen "steigen" in dem angegebenen Intervall an.

Dieser Begriff des Ansteigens eines Funktionsgraphen fassen wir genauer und benennen ihn.

Nuvola apps kig.png   Merke

Eine Funktion  f heißt streng monoton zunehmend im Intervall [a;b], wenn für alle  x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)


  Aufgabe 2  Stift.gif

Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen

  1. x^2 in R^- <center>Monotonie quadratfunktion2.jpg
  1. sin(x) in [2;3]
    Montonie sinusfunktion.jpg
  1.  -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1 in [-3;0]
    Monotonie kubikfunktion2.jpg

Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?


Alle drei Funktionsgraphen "fallen" in dem angegebenen Intervall.


Auch diesen Begriff des Fallens eines Funktionsgraphen fassen wir - analog zu oben - genauer und benennen ihn.

Nuvola apps kig.png   Merke

Eine Funktion  f heißt streng monoton abnehmend im Intervall [a;b], wenn für alle  x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)


Man könnte diese Begriffe monoton zunehmend und monoton abnehmend auch für die Funktionsgraphen übernehmen, hier verwendet man allerdings steigend und fallend.

Nuvola apps kig.png   Merke

Eine Funktionsgraph  G_f heißt streng monoton steigend im Intervall [a;b], wenn die Funktion f dort streng monoton zunehmend ist,
d.h.für alle  x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

Eine Funktionsgraph  G_f heißt streng monoton fallend im Intervall [a;b], wenn die Funktion f dort streng monoton abnehmend ist,
d.h. für alle  x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

Grenzwert

Symmetrie zum Koordinatensystem