Eigenschaften von Funktionen

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Du hast nun Funktionen als Objekte in der Mathematik kennengelernt. Wir wollen als Nächstes untersuchen, welche Eigenschaften Funktionen haben.

Monotonie

  Aufgabe 1  Stift.gif

Betrachte die folgenden Funktionen im angegebenen Intervall. Die Funktionen sind durch Funktionsterm und Graph gegeben.

a) f:x \rightarrow x^2 in R^+
Monotonie quadratfunktion.jpg
b) f:x \rightarrow sin(x) in [0;1]
Montonie sinusfunktion.jpg
c) f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1 in [0;3]
Monotonie kubikfunktion.jpg</center

Was fällt dir auf? Was haben die drei Funktionsgraphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?


Alle drei Funktionsgraphen "steigen" in dem angegebenen Intervall an.

Dieser Begriff des Ansteigens eines Funktionsgraphen fassen wir genauer und benennen ihn.

Nuvola apps kig.png   Merke

Eine Funktion  f heißt streng monoton zunehmend im Intervall [a;b], wenn für alle  x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)


  Aufgabe 2  Stift.gif

Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen

a) f:x \rightarrow x^2 in R^-
Monotonie quadratfunktion2.jpg

b) f:x \rightarrow sin(x) in [2;3]
Montonie sinusfunktion.jpg
c) f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1 in [-3;0]
Monotonie kubikfunktion2.jpg

Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?


Alle drei Funktionsgraphen "fallen" in dem angegebenen Intervall.


Auch diesen Begriff des Fallens eines Funktionsgraphen fassen wir - analog zu oben - genauer und benennen ihn.

Nuvola apps kig.png   Merke

Eine Funktion  f heißt streng monoton abnehmend im Intervall [a;b], wenn für alle  x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)


Man könnte diese Begriffe monoton zunehmend und monoton abnehmend auch für die Funktionsgraphen übernehmen, hier verwendet man allerdings monoton steigend und monoton fallend.

Nuvola apps kig.png   Merke

Eine Funktionsgraph  G_f heißt streng monoton steigend im Intervall [a;b], wenn die Funktion f dort streng monoton zunehmend ist,
d.h.für alle  x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

Eine Funktionsgraph  G_f heißt streng monoton fallend im Intervall [a;b], wenn die Funktion f dort streng monoton abnehmend ist,
d.h. für alle  x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

  Aufgabe 3  Stift.gif

Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!


Monotonie f1.jpg (streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)

Monotonie f2.jpg (!streng monoton steigend) (streng monoton fallend) (!weder noch)

Monotonie f5.jpg (!streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (weder noch)

Monotonie f3.jpg (!streng monoton steigend) (streng monoton fallend) (!weder noch)

Monotonie f6.jpg (streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)

Monotonie f4.jpg (!streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (weder noch)

Monotonie f7.jpg (streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)

Für die folgende Multiple-Choice-Aufgabe kannst du als Hilfe GeoGebra öffnen, dir die Graphen der Funktionen zeichnen lassen und dann die Fragen beantworten.

f:x \rightarrow x^2 im Intervall [2;8] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

f:x \rightarrow 2sin(x) + 3 im Intervall [\pi;\frac{3}{2}\pi] (!streng monoton zunehmend) (streng monoton abnehmend) (!weder noch)

f:x \rightarrow 2^x im Intervall [-1;4] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

f:x \rightarrow log_2(x) im Intervall [-1;4] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

f:x \rightarrow 4-x^2 im Intervall [-1;4] (!streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (weder noch)

f:x \rightarrow x^2+2x+1 im Intervall [2;8] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

f:x \rightarrow x^n mit  n gerade im Intervall [-4;-1] (!streng monoton zunehmend) (streng monoton abnehmend) (!weder noch)

f:x \rightarrow x^n mit  n ungerade im Intervall [-3;9] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

Grenzwert

Nuvola apps kig.png   Merke

Zuerst vereinbaren wir:

sehr große positve Zahlen sind solche positive Zahlen mit großem Betrag (z.B. 1000000)
sehr großen negative Zahlen sind solche negative Zahlen mit großem Betrag (z.B. –1000000)
sehr kleine positive Zahlen sind solche positive Zahlen mit kleinem Betrag (z.B. 0,0000001)
sehr kleinen negative Zahlen solche negative Zahlen mit kleinem Betrag (z.B. –0,0000001 )

Grenzwerte von Funktionen spiegeln das Verhalten im Unendlichen wieder oder, falls wir x gegen einen anderen Wert als unendlich laufen lassen, das entsprechende Verhalten.

Beispiel: Wir betrachten die Funktion  f: x \rightarrow x^2

Wir wollen x gegen unendlich und gegen minus unendlich laufen lassen.

Wir schreiben für x gegen unendlich: \lim_{n \to \infty}x^2

und für x gegen minus unendlich: \lim_{n \to -\infty}x^2

Da in beiden Fällen die Funktionswerte immer größer werden und über alle Grenzen wachsen, ist dann \lim_{n \to \infty}x^2 = \infty und \lim_{n \to -\infty}x^2 =\infty

Ein Plus-oder Minuszeichen rechts hochgestellt an einer Zahl bei Grenzwerten bedeutet Annäherung von rechts – bzw. von links her an die Zahl

\lim_{n \to 3^+}x^2 heißt: x ist bei der Annäherung größer als 3, also z.B. 3,1 ; 3,01 ; 3,001 usw.

\lim_{n \to 3^-}x^2 heißt: x ist bei der Annäherung kleiner als 3, also z.B. 2,9 ; 2,99 ; 2,999 usw.

Es ist dann \lim_{n \to 3^+}x^2 = 9 bzw. \lim_{n \to 3^-}x^2 = 9.



Auf dieser Seite sind zwei Beispiele ausführlich erklärt.

Auf den folgenden Seiten sind zum Thema Grenzwert weitere Erklärungen und Beispiele zu finden:

  1. Grenzwert an einer Stelle
  2. Beispiel mit Grenzwert und ohne Grenzwert
  3. Beispiele: Identische Funktion, konstante Funktion, Betragsfunktion, trigonometrische Funktionen, Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen


  Aufgabe   Stift.gif


Symmetrie zum Koordinatensystem