Lösung einfacher Differentialgleichungen

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  Aufgabe 1  Stift.gif

Löse die Differenzialgleichung y'\cdot y^2=-x mit der Anfangsbedingung \,A(2/2)!


Lösung der Aufgabe 1:

\frac{dy}{dx}\cdot y^2=-x

\,y^2 \cdot dy=-x \cdot dx

\int y^2 \cdot dy=\int-x \cdot dx

\frac{y^3}{3}=-\frac{x^2}{2}+C

y^3=-\frac{3x^2}{2}+3C

y=\sqrt[3]{-\frac{3x^2}{2}+3C}

Einsetzen der Anfangsbedingung:

2=\sqrt[3]{-\frac{3\cdot 2^2}{2}+3C}

2=\sqrt[3]{-6+3C}

\,8=-6+3C

\,14=3C

\,C=\frac{14}{3}

Lösung: y=\sqrt[3]{-\frac{3x^2}{2}+14}

  Aufgabe 2  Stift.gif

Löse die Differenzialgleichung y'\cdot x^2=3y mit der Anfangsbedingung \,A(1/3)!


Lösung der Aufgabe 2:

\frac{dy}{dx}\cdot x^2=3y

\,\frac{1}{y}dy=\frac{3}{x^2}dx

\,\int \frac{1}{y}dy=\int \frac{3}{x^2}dx

ln y=-\frac{3}{x}+C

y=e^{-\frac{3}{x}+C}

y=e^{-\frac{3}{x}}\cdot K

Einsetzen der Anfangsbedingung:

3=e^{-\frac{3}{1}}\cdot K

3\cdot e^{3}= K

Lösung: y=e^{-\frac{3}{x}}\cdot 3\cdot e^{3}=3\cdot e^{-\frac{3}{x}+3}