Potenzfunktionen - 2. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Medienvielfalt-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 1: Zeile 1:
 
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
 
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
−
'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Einführung|Einführung]] - [[1. Stufe|1. Stufe]] - [[2. Stufe|2. Stufe]] - [[3. Stufe|3. Stufe]] - [[4. Stufe|4. Stufe]] - [[5. Stufe|5. Stufe]]'''</div>
+
[[Potenzfunktionen|Start]] -[[Potenzfunktionen_Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen_1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_5. Stufe|5. Stufe]]
 +
</div>
  
−
==2. Stufe==
+
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
−
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n Element der natürlichen Zahlen. ==
+
=== Gerade Potenzen ===
−
Wir betrachten also jetzt die Potenzfunktionen mit negativen Exponenten.
+
−
<br>
+
−
<br>
+
−
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
+
−
filename="5_xminusn.ggb" />
+
  
−
<br><br>
+
'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''
−
{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
+
 
−
# Verändere mit dem Schiebregler den Wert von n. Beschreibe das Verhalten der jeweiligen Graphen!
+
{| cellspacing="10"
−
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-2</sup> zu f(x) = x<sup>-4</sup>, dann die vom Übergang von n = -4 zu n = -6 usw.!
+
|- style="vertical-align:top;"
−
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-1</sup> zu f(x) = x<sup>-3</sup>, dann die vom Übergang von n = -3 zu n = -5 usw.!
+
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
 +
# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
 +
#* Symmetrie
 +
#* Monotonie
 +
#* größte und kleinste Funktionswerte
 +
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
 +
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-2</sup> zu f(x) = x<sup>-4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>-4</sup> zu f(x) = x<sup>-6</sup> usw.!
 +
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>-n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-<math>\frac 1k</math>-facht. <br>
 +
:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} = \frac 1k \cdot f(x)</math>.
 
}}
 
}}
−
<br>
+
}}<br>
 +
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
 +
filename="3_gerade_xn.ggb" />
 +
|}
  
−
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
+
=== Ungerade Potenzen ===
−
filename="6_axminusnc.ggb" />
+
  
−
<br><br>
+
'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''
−
{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
+
 
−
# Wir betrachten die Graphen zu f(x) = a*x<sup>-2</sup> + c. Beschreibe die Veränderung des Graphen bei der Veränderung der Parameter a und c!
+
{| <!--class="prettytable sortable" -->
−
# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit f(x) = a*x<sup>-n</sup> + c bei der Veränderung der Parameter a und c!
+
|-  style="vertical-align:top;"
−
!
+
| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
 +
filename="3_ungerade_xn.ggb" />
 +
||
 +
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=  
 +
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
 +
#* Symmetrie
 +
#* Monotonie
 +
#* größte und kleinste Funktionswerte
 +
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
 +
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.!
 
}}
 
}}
 +
|}
 +
 +
=== Teste dein Wissen ===
 +
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
 +
Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
 +
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
 +
# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
:Der Punkt P(2;32) wird für <math>n=5</math> durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>.<br>
 +
:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für <math>n=3</math> durchlaufen: <math>f \left( 1,5 \right ) = 2^3 = 3,375</math>.
 +
}}
 +
}}
 +
 +
== Die Graphen von f(x) = a*x<sup>n</sup>, mit a <small>&isin;</small> IR ==
 +
 +
'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a*x<sup>n</sup>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>&isin;</small> IN,  a <small>&isin;</small> IR  .'''
 +
 +
{| <!--class="prettytable sortable"-->
 +
|-  style="vertical-align:top;"
 +
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
 +
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
 +
# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
 +
}}
 +
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
 +
filename="4_axn.ggb" />
 +
 +
|}
 +
 +
 +
{| <!--class="prettytable sortable"-->
 +
|-  style="vertical-align:top;"
 +
| <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
 +
filename="4_axn_test.ggb" />
 +
||
 +
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
 +
Wir betrachten wieder die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, n eine natürliche Zahl
 +
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben.
 +
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
: 1. <math>a = -0.5, n = 3</math><br>
 +
: 2. Es gibt keine Lösung, denn ...}}
 +
}}<br>
 +
 +
|}
 +
 +
=== Teste Dein Wissen ===
 +
 +
* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!]
 +
* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!]

Version vom 15. Januar 2009, 20:46 Uhr

Start -Einführung - 1. Stufe - 2. Stufe - 3. Stufe - 4. Stufe - 5. Stufe

Inhaltsverzeichnis

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, n ∈ IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

  Aufgabe 1  Stift.gif
  1. Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. 
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-2 zu f(x) = x-4, dann die beim Übergang von f(x) = x-4 zu f(x) = x-6 usw.!
  4. Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x-n, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-\frac 1k-facht.
Symbolisch f(k \cdot x) = (kx)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} = \frac 1k \cdot f(x).


Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

  Aufgabe 2  Stift.gif
  1. Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x1 zu f(x) = x3, dann die beim Übergang von f(x) = x3 zu f(x) = x5 usw.!

Teste dein Wissen

  Aufgabe 3  Stift.gif

Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = xn, n eine natürliche Zahl

  1. Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
  2. Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
Der Punkt P(2;32) wird für n=5 durchlaufen: f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32.
Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für n=3 durchlaufen: f \left( 1,5 \right ) = 2^3 = 3,375.


Die Graphen von f(x) = a*xn, mit a ∈ IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a*xn, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .

  Aufgabe 4  Stift.gif
  1. Es sei zunächst n = 2, also f(x) = a \cdot x^2. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
  2. Beschreibe die Veränderung der Graphen mit f(x) = a \cdot x^n bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.


  Aufgabe 5  Stift.gif

Wir betrachten wieder die Funktionen mit f(x) = a \cdot x^n, n eine natürliche Zahl

  1. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben.
  2. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
1. a = -0.5, n = 3
2. Es gibt keine Lösung, denn ...


Teste Dein Wissen

Von „http://medienvielfalt.zum.de/index.php?title=Potenzfunktionen_-_2._Stufe&oldid=1772“