Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}.</math> | Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}.</math> | ||
− | Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich | + | Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ist (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) <math>{\Bbb D} = {\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion <math>g</math> der Bauart <math>g(x)=x^n</math> und <math>g</math> die Umkehrfunktion zu <math>f</math> (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe nächstes Kapitel). |
Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt: | Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt: |
Version vom 28. März 2009, 14:43 Uhr
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form mit
als Exponenten haben.
Inhaltsverzeichnis |
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n ∈ IN
Funktionsgraph kennenlernen
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Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2
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Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln
Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit ,
Wegen nennt man diese Funktionen auch Wurzelfunktionen. Ihr Definitionsbereich ist (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben)
. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion
mit
die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion
der Bauart
und
die Umkehrfunktion zu
(Näheres zur Umkehrfunktion siehe nächstes Kapitel).
Im Falle nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:
Im Falle nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.:
bzw.
. Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:
Beispiel: Quadratwurzeln
Beispielsweise ergibt sich die Länge der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge
über den Satz des Pythagoras (
) zu:
Die Lösung ist ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.
Auch die Länge der Raumdiagonale im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier:
) zu:
Die Lösung ist also angeben.
Beispiel: Kubikwurzel
Das Volumen eines Würfels (lat.: "cubus") der Kantenlänge
ergibt sich über:
Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen durch ziehen der 3.-Wurzel:
Einfluss von Parametern
In nebenstehendem Applet kannst Du die Parameter
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*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen
(freilwillig)
Einschränkung auf IR+0
Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung:
Wegen
erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:
Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:
mit
und
Wurzelfunktion auf ganz IR
Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass
.
Dann gilt: IDg = IR.