Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form <math>\frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: <math>0<\frac{1}{n}\leq 1</math>.
 
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form <math>\frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: <math>0<\frac{1}{n}\leq 1</math>.
  
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=== Vergleiche mit Funktionen aus Stufe 2 ==
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* Welche Gemeinsamkeiten gibt es? Welche Unterschiede?
 
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<math>\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x</math>
 
<math>\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x</math>
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Eine Funktion <math>f</math> mit der Gleichung <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}, n\geq2</math> heißt Wurzelfunktion
  
 
Beispiele:  
 
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Version vom 19. Januar 2009, 17:01 Uhr

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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n ∈ IN

Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form \frac{1}{n} mit n \in \mathbb{N} als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: 0<\frac{1}{n}\leq 1.

Vergleiche mit Funktionen aus Stufe 2

  • Welche Gemeinsamkeiten gibt es? Welche Unterschiede?
  • Gibt es Punkte, die beiden Funktionsscharen gemeinsam sind?

Beschreibe den Definitionsbreich ID der Funktion f(x) = x^(1/n) in Abhängigkeit von n.


Potenzen und Wurzeln

Potenzfunktionen der Bauart f(x)=x^{\frac{1}{n}} und Wurzelfunktionen g(x)=\sqrt[n]{x} hängen eng zusammen, denn es gilt:

x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}

Darin ist die n-te Wurzel festgelegt über:

\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x

Eine Funktion f mit der Gleichung f(x)=\sqrt[n]{x} mit n \in \mathbb{N}, n\geq2 heißt Wurzelfunktion

Beispiele:

  • 16 = \begin{cases} 4\cdot 4 &= 4^2\\ -4 \cdot (-4) &= (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{16} = \pm 4, aber
  • -16 = \begin{cases} (-1)\cdot 4\cdot 4 &= (-1)\cdot 4^2\\ (-1)\cdot (-4) \cdot (-4) &= (-1)\cdot (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{-16}=\pm 4\cdot\sqrt{-1}, nicht definiert!
  • \sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3, aber auch
  • \sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3.

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