Potenzfunktionen - 3. Stufe

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Inhaltsverzeichnis

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n IN

Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form \textstyle \frac{1}{n} mit n \in \mathbb{N} als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: 0<\textstyle \frac{1}{n}\leq 1.

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

  Aufgabe 1  Stift.gif

Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.

  1. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 
Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-kn-facht.
Symbolisch f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x).



Potenzen und Wurzeln

Eine Funktion f mit der Gleichung f(x)=\sqrt[n]{x} mit n \in \mathbb{N}, n\geq2 heißt Wurzelfunktion.

Potenzfunktionen der Bauart f(x)=x^{\frac{1}{n}} und Wurzelfunktionen g(x)=\sqrt[n]{x} hängen eng zusammen, denn es gilt:

x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}


Darin ist die n-te Wurzel über folgenden Zusammenhang festgelegt:

\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x


Im Falle n=2 nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:

x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}


Im Falle n=3 nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: x^{\frac{1}{3}} bzw. \sqrt[3]{x}.


Beispiel: Quadratwurzel

Diagonale.png
Eine positive Zahl x>0 hat zwei Quadratwurzeln, eine positive und eine negative. So ist etwa
  • 16 = \begin{cases} \quad 4\cdot \quad 4 &= \, \quad 4^2\\ -4 \cdot (-4) &= (-4)^2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{16} = \pm 4.

In manchen Fällen (etwa wenn es um die von Längen oder Flächeninhalten geht) ist nur die postive Lösung sinnvoll.

Beispielsweise ergibt sich die Länge d der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge a=1 über den Satz des Pythagoras (a^2 + a^2 = d^2) zu:

a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2}.


Die mathematisch richtige Lösung \textstyle d=-\sqrt{2} ist in dieser Situation nicht sinnvoll und kann vernachlässigt werden.


Beispiel: Kubikwurzel

Das Volumen V eines Würfels (lat.: "cubus") der Kantenlänge s=5 ergibt sich über:
V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.

Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen V=27 durch ziehen der 3.-Wurzel:


  • \sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3, aber auch



Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

Einschränkung auf IR+

Offenbar ergibt die Wurzelfunktion f(x)=\sqrt[n]{x} zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x Lösungen, wie folgendes Beispiel zeigt:

  • \sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3,
  • \sqrt[3]{ 27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.


Allerdings kann die Definition der Wurzelfunktion auf ganz IR auch zu Wiedersprüchen führen. An einem Beispiel wird die Problematik klar:

-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.


Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten oder langen Fallunterscheidungen zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:

f(x) = \sqrt[n]{x} mit n \in \mathbb{N} und \mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq 0}

Wurzelfunktion auf ganz IR

Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass

g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}.

Dann gilt: IDg = IR.

kurz nachgedacht

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  • aasdd