Potenzfunktionen - 4. Stufe

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Inhaltsverzeichnis

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n IN

Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen negativen Stammbruch der Form \textstyle - \frac{1}{n} mit n \in \mathbb{N} als Exponenten haben. Für diese Art der Exponenten gilt: -1\leq \textstyle -\frac{1}{n}< 0.

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

  Aufgabe 1  Stift.gif

Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 3 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.

  1. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 
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Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n wird definiert:
a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n} für a \neq 0.


Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

x^{-\frac 1 n}= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.
  Aufgabe 2  Stift.gif

Überprüfe die folgende Behauptung auf Richtigkeit und begründe Deine Entscheidung:
Es sei n eine natürliche Zahl; dann hat die Funktion f(x)=x^{-\frac{1}{n}} den Definitonsbereich D = IR+.

Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion g(x)=\sqrt{x} nur auf IR+ definiert, das heißt ihr Definitionsbereich M =IR+.
Aufgrund des Zusammenhangs f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)} überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion g auf die Funktion f.

Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Beispiel

Es sei g eine Potenzfunktion, definiert durch g(x)=x^{\frac 1 3}. Gesucht ist die Umkehrfunktion g^{\,-1}=:f von g.

g^{\,-1} ergibt sich aus g durch Auflösen nach x. Es ist:
\begin{matrix}y &=& x^{\frac 1 3}, && &|& (\,)^3 \\
y^3  &=& x^{\frac 3 3} && && \\
     &=& x. &\,& && \end{matrix}

Vertauschen von x und y ergibt schließlich die gesuchte Funktion: f(x)=x^3.

Beispiel

Es sei f eine Potenzfunktion, nun definiert durch f(x)=x^{- \frac 1 3} mit Definitionsbereich ID = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion f^{-1}.

Auflösen nach x ergibt:
\begin{matrix}y   &=& x^{- \frac 1 3}. &|& (\,)^3\\ 
                    y^3 &=& x^{- \frac 3 3}, && \\
                        &=& x^{-1},  && \\
                        &=& \textstyle \frac 1 x. &|& \cdot\, x \\
             x\cdot y^3 &=& 1. &|& :y^3 \\
                      x &=& \textstyle \frac{1}{y^3} && \\
                        &=& y^{-3}.&& \end{matrix}

Hinweis: man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von f^{-1} und f(x)=x^{-1}!

Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1

Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen.

Zusammenfassung

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Bauart f(x) = x^{\frac 1 n} mit n\geq2 sind Potenzfunktionen der Bauart f(x) = x^n.

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Bauart f(x) = x^{- \frac 1 n} mit n\geq2 sind Potenzfunktionen der Bauart f(x) = x^{-n}=\textstyle \frac{1}{x^n}.

  Aufgabe 3  Stift.gif

Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine Umkerfunktion gibt?
Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie ihr Monotonieverhalten!

kommt noch


Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"

  • Spiegeln
  • Strecken
  • Stauchen
  • Schieben
  • Superponieren

Siehe Video auf www.oberprima.com.

APPLET

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Das nebenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form

f(x)=a\cdot x^q

mit a \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{N} \cup \{ \textstyle{ \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\ldots } \} zusammengesetzt. Bearbeite zu dem Bild nacheinander folgende Fragen:

Rosette 1.png

Rosette 2.png Rosette 3.png