Potenzfunktionen - 5. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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:*Bei geradem Nenner ist der Definitionsbereich auf <math>\mathbb{r}^{+}</math> eingeschränkt. Alle anderen Funktionen haben den Definitionsbereich <math>\mathbb{R}</math>.
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:*Ist der Nenner im vollständig gekürzten Bruch gerade, so ist der Definitionsbereich auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> eingeschränkt. Bei allen anderen Funktionen ist der Definitionsbereich <math>\mathbb{R}</math>.
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* Wenn der Exponent vollständig gekürzt
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:* Wenn der Exponent vollständig gekürzt
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** einen geraden Zähler besitzt, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch.<br>
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:** einen geraden Zähler besitzt, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch.<br>
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** einen geraden Nenner besitzt, ist der Graph nicht symmetrisch, da nur für <math>\mathbb{R}</math> definiert.
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:** einen geraden Nenner besitzt, ist der Graph nicht symmetrisch, da nur für <math>\mathbb{R}</math> definiert.
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** ungeraden Zähler und Nenner besitzt, ist der Graph punktsymmetrisch.
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:** ungeraden Zähler und Nenner besitzt, ist der Graph punktsymmetrisch.
 
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#<li value="2"> Welche neuen Funktionen erhält mann, wenn man bei den Exponenten der Funktione auch für den Nenner ganze Zahlen statt nur natürliche Zahlen erlaubt, also wenn gilt f(x) = x<sup>p/q</sup> mit <math>p,q \in \mathbb{Z}</math>?</li>
 
#<li value="2"> Welche neuen Funktionen erhält mann, wenn man bei den Exponenten der Funktione auch für den Nenner ganze Zahlen statt nur natürliche Zahlen erlaubt, also wenn gilt f(x) = x<sup>p/q</sup> mit <math>p,q \in \mathbb{Z}</math>?</li>

Version vom 10. Februar 2009, 17:56 Uhr

Start - Einführung - 1. Stufe - 2. Stufe - 3. Stufe - 4. Stufe - 5. Stufe

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xp/q, p ∈ Z und q ∈ IN

Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen Bruch der Form \textstyle - \frac{p}{q} mit p \in \mathbb{Z} und q \in \mathbb{N} als Exponenten haben. Man spricht dann von Potenzfunktionen mit gebrochen rationalem Exponenten.


Vergleich mit Funktionen aus vorangegangenen Stufen

  Aufgabe 1  Stift.gif

Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus vorangegangenen Stufen dieses Kurses kennst (rot und lila gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.

  1. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
  • Ist der Nenner im vollständig gekürzten Bruch gerade, so ist der Definitionsbereich auf \mathbb{R}^{+} eingeschränkt. Bei allen anderen Funktionen ist der Definitionsbereich \mathbb{R}.
  • Wenn der Exponent vollständig gekürzt
    • einen geraden Zähler besitzt, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch.
    • einen geraden Nenner besitzt, ist der Graph nicht symmetrisch, da nur für \mathbb{R} definiert.
    • ungeraden Zähler und Nenner besitzt, ist der Graph punktsymmetrisch.
  2. Welche neuen Funktionen erhält mann, wenn man bei den Exponenten der Funktione auch für den Nenner ganze Zahlen statt nur natürliche Zahlen erlaubt, also wenn gilt f(x) = xp/q mit p,q \in \mathbb{Z}?
Man erhält keine neuen Funktionen, wenn man auch für den Nenner des Exponenten negative Zahlen einsetzt. Denn der Exponent bleibt weiterhin ein Bruch und kann positiv oder negativ werden. Das kann aber bereits erreicht werden, indem im Zähler eine ganze Zahl p \in \mathbb{Z} und im Nenner eine natürliche Zahl q \in \mathbb{N}steht.






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