Quadratische Funktionen 2 - Allgemeine quadratische Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Du hast bisher kennengelernt, dass du eine quadratische Funktion in der Form Quadratische_Funktionen_2_-_quadratische_Ergänzung schreiben kannst und aus dieser Darstellung erhältst du die Scheitelkoordinaten S(d;e).
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[[Quadratische_Funktionen_2_Startseite|'''Startseite''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Bremsweg|'''1. Bremsweg''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Bremsbeschleunigung|'''2. Unterschiedliche Straßenverhältnisse''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen1|'''3. Übungen 1''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Köln-Arena|'''4. Köln-Arena''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Einfluss_der_Parameter|'''5. Einfluss der Parameter in der Scheitelform''']] - <br>[[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen2|'''6. Übungen 2''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Allgemeine_quadratische_Funktion|'''7. Allgemeine quadratische Funktion''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen3|'''8. Übungen 3''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Aufgaben|'''9. Aufgaben''']]
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Oft werden quadratische Funktionen in der der Form <math> f(x) = ax^2 + bx +c</math> geschrieben. Auf dieser Seite soll nun der Zusammenhang zwischen beiden Darstellungen gewonnen werden.
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Du kennst die [[quadratische_Funktionen_2_binomischen Formeln|binomische Formeln]]. Damit kannst du <math>(x - d)^2</math> in <math>x^2 - 2dx + d^2</math> überführen. Damit ist dann <br>
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=Allgemeine quadratische Funktion mit den Parametern a, b und c=
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<math>f(x) = a(x - d)^2 + e = a(x^2 - 2dx + d^2) + e = ax^2 - 2adx + ad^2 - e</math><br>
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Vergleicht man diesen Term mit <math> f(x) = ax^2 + bx +c</math>, dann ist b = 2ad und <math>c = ad^2 - e</math>.
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Du hast bisher kennengelernt, dass du eine quadratische Funktion in der Scheitelform <math>f: x \rightarrow a(x - d)^2 + e  </math> schreiben kannst und in dieser Darstellung erkennst du die Scheitelkoordinaten S(d;e).
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Meist werden quadratische Funktionen in der der Form <math>f: x \rightarrow  ax^2 + bx +c</math> geschrieben. Auf dieser Seite soll nun der Zusammenhang zwischen beiden Darstellungen gewonnen und der Einfluss der Parameter a, b und c untersucht werden.
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{{Merksatz|MERK=
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Die <span style="background-color:yellow;">allgemeine quadratische Funktion</span> lautet
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:<span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math> f: x\rightarrow ax^2 + bx + c </math>'''&nbsp;</span>.
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Dabei sind <math>\ a, b, c </math> Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>\ a,b,c \in R </math>'''&nbsp;</span> und <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>a\neq 0</math>'''&nbsp;</span>.
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==Scheitelform in allgemeine Form==
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Du kennst die [[quadratische_Funktionen_2_binomischen Formeln|binomische Formeln]]. Mit deren Hilfe kannst du den Term der Scheitelform <math> a(x - d)^2 + e</math> in den Term der allgemeinen quadratischen Funktion <math> ax^2 + bx + c</math> überführen.
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Mit der 2. binomischen Formel ist <big><math>(x - d)^2</math></big> in <big><math>x^2 - 2dx + d^2</math></big>. Es ist dann  
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<big><math>f(x) = a(x - d)^2 + e = a(x^2 - 2dx + d^2) + e = ax^2 - 2adx + ad^2 + e</math></big>
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Vergleicht man diesen Term mit <big><math> f(x) = ax^2 + bx +c</math></big>, dann ist <big><math>b = -2ad</math></big> und <big><math>c = ad^2 +e</math></big>.
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==Allgemeine Form in Scheitelform==
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Umgekehrt kann man den Term <big><math> f(x) = ax^2 + bx +c</math></big> mittels [[Quadratische_Funktionen_2_-_quadratische_Ergänzung|quadratischer Ergänzung]] in den Term <big><math>a(x - d)^2 + e </math></big> überführen. Es ist dann <big><math> d = -\frac{b}{2a}</math></big> und <big><math>e = c - \frac{b^2}{4a}</math></big>
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{{Aufgabe|
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1. Forme in die allgemeine Form um<br>
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::<math>2(x - 3)^2 + 1</math>
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::<math>\frac{1}{2}(x - 2)^2 - 2</math>
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2. Forme in die Scheitelform um<br>
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::<math>x^2 + 4x - 2</math>
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::<math>2x^2 + 3x + 2</math>
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=Einfluss der Parameter a, b, c=
  
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Umgekehrt kann man den Term <math> f(x) = ax^2 + bx +c</math> mittels [[Quadratische_Funktionen_2_-_quadratische_Ergänzung|quadratischer Ergänzung]] in den Term <math>a(x - d)^2 + e </math> überführen.
 
  
 
Du kannst hier nun den '''Einfluss der Parameter a, b und c''' in der Funktion <math> f</math> mit <math> f(x) = ax^2 + bx + c</math> untersuchen.
 
Du kannst hier nun den '''Einfluss der Parameter a, b und c''' in der Funktion <math> f</math> mit <math> f(x) = ax^2 + bx + c</math> untersuchen.
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{{Merksatz|MERK=
 
{{Merksatz|MERK=
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Die <span style="background-color:yellow;">allgemeine quadratische Funktion</span> lautet  
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1. Die <span style="background-color:yellow;">allgemeine quadratische Funktion</span> lautet  
  
 
:<span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math> x\rightarrow ax^2 + bx + c </math>'''&nbsp;</span>.
 
:<span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math> x\rightarrow ax^2 + bx + c </math>'''&nbsp;</span>.
  
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Dabei sind <math>\ a,b,c,d </math> Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>\ a,b,c \in \R </math>'''&nbsp;</span> und <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>a,b\neq 0</math>'''&nbsp;</span>.}}
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Dabei sind <math>\ a, b, c </math> Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>\ a,b,c \in R </math>'''&nbsp;</span> und <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>a\neq 0</math>'''&nbsp;</span>.
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2. Der allgemeinste Fall einer quadratischen Funktion hat also die Funktionsgleichung <big>f(x)=ax<sup>2</sup>+bx+c</big> }}
 
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Vredeutliche dir mit diesem Applet noch einmal die Wirkung der einzelnen Parameter:
 
  
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Experimentiere mit dem Applet und erläutere, welchen Einfluss die Parameter a, b und c auf den Verlauf des Graphen haben.
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:{{Lösung versteckt|1=
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#<span style="color: red">a bestimmt die Weite und die Öffnung nach oben und unten</span><br />
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#<span style="color: blue">b verschiebt den Scheitel</span><br />
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#<span style="color: green">c verschiebt den Scheitel für '''c > 0 nach oben''' und für '''c < 0 nach unten'''</span><br />
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Stelle die drei Schieberegler so ein, dass der schwarze Graph genau auf dem
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#roten
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Graphen liegt.
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#<span style="color: blue">a = 0,5; b = 2,4; c = - 1</span><br />
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#<span style="color: red">a = - 1; b = -3; c = 2</span><br />
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#<span style="color: green">a = 0,5; b = - 2,4; c = - 1</span><br />
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{{Arbeiten|
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NUMMER=3|
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ARBEIT=
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Untersuche nun die Funktionen f mit '''f(x) = 1,5x<sup>2</sup> + 9x + 11,5''' und g mit '''g(x) = -0,5x<sup>2</sup> + x + 2,5'''
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#Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen G<sub>f</sub> und G<sub>g</sub> in ein gemeinsames Koordinatensystem.
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#Gib die Koordinaten der beiden Scheitel S<sub>f</sub> und S<sub>g</sub> an.
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#Vergleiche die beiden Parabeln mit der Normalparabel.
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:{{Lösung versteckt|1=
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#[[Bild:Quadratisch_Wertetabelle.jpg]] [[Bild:Quadratisch_allgemein3.jpg]]
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#<span style="color: green">Scheitel von f: '''S(-3/-2)'''</span>;  <span style="color: blue">Scheitel von g:''' S(1/3)'''</span>
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#'''Parabel von f''': Enger als Normalparabel, nach oben geöffnet, verschoben
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::'''Parabel von g''': Weiter als Normalparabel, nach unten geöffnet, verschoben
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{{Merksatz|MERK=
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Der Funktionsterm  '''<math> ax^2 + bx + c </math>'''  einer allgemeinen quadratischen Funktion '''<math> f: x\rightarrow ax^2 + bx + c </math>'''enthält einen <br>
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reinquadratischen Teil '''<math>ax^2</math>''', einen linearen Teil '''<math>bx</math>''' und einen konstanten Teil '''<math>c</math>'''. }}
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|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
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|align = "left"|'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du alles verstanden hast.'''
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[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen3|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''
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Aktuelle Version vom 23. November 2016, 09:26 Uhr

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Inhaltsverzeichnis

Allgemeine quadratische Funktion mit den Parametern a, b und c

Du hast bisher kennengelernt, dass du eine quadratische Funktion in der Scheitelform f: x \rightarrow a(x - d)^2 + e schreiben kannst und in dieser Darstellung erkennst du die Scheitelkoordinaten S(d;e).

Meist werden quadratische Funktionen in der der Form f: x \rightarrow ax^2 + bx +c geschrieben. Auf dieser Seite soll nun der Zusammenhang zwischen beiden Darstellungen gewonnen und der Einfluss der Parameter a, b und c untersucht werden.

Maehnrot.jpg
Merke:

Die allgemeine quadratische Funktion lautet

  f: x\rightarrow ax^2 + bx + c  .

Dabei sind \ a, b, c Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt  \ a,b,c \in R   und  a\neq 0 .

Scheitelform in allgemeine Form

Du kennst die binomische Formeln. Mit deren Hilfe kannst du den Term der Scheitelform a(x - d)^2 + e in den Term der allgemeinen quadratischen Funktion ax^2 + bx + c überführen.

Mit der 2. binomischen Formel ist (x - d)^2 in x^2 - 2dx + d^2. Es ist dann

f(x) = a(x - d)^2 + e = a(x^2 - 2dx + d^2) + e = ax^2 - 2adx + ad^2 + e

Vergleicht man diesen Term mit f(x) = ax^2 + bx +c, dann ist b = -2ad und c = ad^2 +e.

Allgemeine Form in Scheitelform

Umgekehrt kann man den Term f(x) = ax^2 + bx +c mittels quadratischer Ergänzung in den Term a(x - d)^2 + e überführen. Es ist dann d = -\frac{b}{2a} und e = c - \frac{b^2}{4a}

Stift.gif   Aufgabe

1. Forme in die allgemeine Form um

2(x - 3)^2 + 1
\frac{1}{2}(x - 2)^2 - 2

2. Forme in die Scheitelform um

x^2 + 4x - 2
2x^2 + 3x + 2

1.

2x^2 - 12x + 19
\frac{1}{2}x^2 - 2x

2.

(x + 2)^2 - 6
2(x + \frac{3}{4})^2 + \frac{7}{8}

Einfluss der Parameter a, b, c

Du kannst hier nun den Einfluss der Parameter a, b und c in der Funktion f mit f(x) = ax^2 + bx + c untersuchen.

Hefteintrag: Am besten verwendest du hierfür dein Heft im Querformat, damit du eine Tabelle mit drei Spalten für den Einfluss von \ a,b und \ c anlegen kannst. Formuliere eine Überschrift und übernimm alle mit gelb gekennzeichneten Texte. Natürlich darfst du dir aber auch noch zusätzlich Notizen machen.

Einfluss von a Einfluss von b Einfluss von c

Untersuche hier den Einfluss von \ a

auf die Graphen der Funktionen

x \rightarrow \ a x^2 .

Untersuche hier den Einfluss von \ b

auf die Graphen der Funktionen

x \rightarrow \ x^2 + bx .

Untersuche hier den Einfluss von \ c

auf die Graphen der Funktionen

x \rightarrow \ x^2 + c .


Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.

Maehnrot.jpg
Merke:

1. Die allgemeine quadratische Funktion lautet

  x\rightarrow ax^2 + bx + c  .

Dabei sind \ a, b, c Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt  \ a,b,c \in R   und  a\neq 0 .

2. Der allgemeinste Fall einer quadratischen Funktion hat also die Funktionsgleichung f(x)=ax2+bx+c



  Aufgabe 1  Stift.gif

Experimentiere mit dem Applet und erläutere, welchen Einfluss die Parameter a, b und c auf den Verlauf des Graphen haben.

  1. a bestimmt die Weite und die Öffnung nach oben und unten
  2. b verschiebt den Scheitel
  3. c verschiebt den Scheitel für c > 0 nach oben und für c < 0 nach unten

  Aufgabe 2  Stift.gif

Stelle die drei Schieberegler so ein, dass der schwarze Graph genau auf dem

  1. roten
  2. grünen
  3. blauen

Graphen liegt.

  1. a = 0,5; b = 2,4; c = - 1
  2. a = - 1; b = -3; c = 2
  3. a = 0,5; b = - 2,4; c = - 1


  Aufgabe 3  Stift.gif

Untersuche nun die Funktionen f mit f(x) = 1,5x2 + 9x + 11,5 und g mit g(x) = -0,5x2 + x + 2,5

  1. Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen Gf und Gg in ein gemeinsames Koordinatensystem.
  2. Gib die Koordinaten der beiden Scheitel Sf und Sg an.
  3. Vergleiche die beiden Parabeln mit der Normalparabel.
  1. Quadratisch Wertetabelle.jpg Quadratisch allgemein3.jpg
  2. Scheitel von f: S(-3/-2); Scheitel von g: S(1/3)
  3. Parabel von f: Enger als Normalparabel, nach oben geöffnet, verschoben
Parabel von g: Weiter als Normalparabel, nach unten geöffnet, verschoben
Maehnrot.jpg
Merke:

Der Funktionsterm ax^2 + bx + c einer allgemeinen quadratischen Funktion f: x\rightarrow ax^2 + bx + c enthält einen
reinquadratischen Teil ax^2, einen linearen Teil bx und einen konstanten Teil c.


Maehnrot.jpg Als nächstes kannst du prüfen, ob du alles verstanden hast.

Pfeil.gif   Hier geht es weiter.

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