Quadratische Funktionen 2 - Einfluss der Parameter: Unterschied zwischen den Versionen

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Du hast nun zwei Terme für eine allgemeine quadratische Funktion kennengelernt.  
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[[Quadratische_Funktionen_2_Startseite|'''Startseite''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Bremsweg|'''1. Bremsweg''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Bremsbeschleunigung|'''2. Unterschiedliche Straßenverhältnisse''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen1|'''3. Übungen 1''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Köln-Arena|'''4. Köln-Arena''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Einfluss_der_Parameter|'''5. Einfluss der Parameter in der Scheitelform''']] - <br>[[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen2|'''6. Übungen 2''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Allgemeine_quadratische_Funktion|'''7. Allgemeine quadratische Funktion''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen3|'''8. Übungen 3''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Aufgaben|'''9. Aufgaben''']]
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Du kannst dich nun entscheiden mit welchem Term du arbeiten und die Einflüsse der verschiedenen Parameter kennenlernen willst.
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# <math> f(x) = a x^2 + bx + c</math> wobei a, b und c reelle Zahlen sind,
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=Einfluss der Parameter a, d und e in der Scheitelform=
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# <math> f(x) = a( x - d)^2 + e</math> wobei a, d und e reelle Zahlen sind.
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Klicke den entsprechenden Term an:
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Du hast nun den Term <math>a( x - d)^2 + e</math> für eine allgemeine quadratische Funktion kennengelernt.
  
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Untersuche nun den Einfluss der Parameter a, d und e bei der quadratischen Funktion <math> f</math> mit <math> f(x) = a(x - d)^2 + e</math>
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<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Am besten verwendest du hierfür dein Heft im Querformat, damit du eine Tabelle mit drei Spalten für den Einfluss von a, d und e anlegen kannst. Formuliere eine Überschrift und übernimm alle mit gelb gekennzeichneten Texte. Natürlich darfst du dir aber auch noch zusätzlich Notizen machen.
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! style="background-color:#ffff00;" | Einfluss von a !! style="background-color:#ffff00;" |Einfluss von d  !! style="background-color:#ffff00;" |Einfluss von e
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auf die Graphen der Funktionen
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:<math> x \rightarrow \ a x^2  </math>.
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auf die Graphen der Funktionen
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:<math> x \rightarrow \ (x - d)^2 </math>.
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:<math> x \rightarrow \ x^2 + e </math>.
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Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.
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{{Merksatz|MERK=
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Die <span style="background-color:yellow;">Scheitelform der quadratischen Funktion</span> lautet
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:<span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math> x\rightarrow a(x - d)^2 + e </math>'''&nbsp;</span>.
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Dabei sind <math>\ a,d,e </math> Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>\ a,d,e \in \mathbb{R}</math>'''&nbsp;</span> und <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>a\neq 0</math>'''&nbsp;</span>.
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*Der Scheitel hat die Koordinaten (d;e).
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<big>'''Aufgabe'''</big>
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Verdeutliche dir mit diesem Applet noch einmal die Wirkung der einzelnen Parameter und beachte die Identitäten in Term und Scheitelkoordinaten.
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<center> <ggb_applet height="500" width="700"
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filename="Qf-ade-s.ggb" />
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{{Merksatz|MERK=
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In der Funktion <math> f </math> mit <math> f(x) = a(x - d)^2 + e</math> bewirkt der
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'''Parameter a'''<br>
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* Ist der Betrag von a größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in y-Richtung mit dem Faktor Betrag von a gestreckt.
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* Ist der Betrag von a kleiner als eins und positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion in y-Richtung mit dem Faktor Betrag von a gestaucht.
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* Falls a negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
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'''Parameter d'''
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* Ist <math>d</math> positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math>d</math> nach rechts verschoben.
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* Ist <math>d</math> negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math>d</math> nach links verschoben.
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'''Parameter e'''
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*Ist <math> e </math> positiv, so wird die Normalparabel um den Betrag von <math> e </math> nach oben verschoben.
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*Ist <math> e </math> negativ, so wird die Normalparabel um den Betrag von <math> e </math> nach unten verschoben.
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<big>'''Bestimme die Parameter a, d und e'''</big>
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&nbsp;{{Lösung versteckt|1=
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#Der Scheitel hat die Koordinaten (2;0).
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#Also gilt d = 2, e = 0.
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#Der Punkt (0;2) liegt auf der Parabel.
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#Es gilt 2 = a(0 - 2)<sup>2</sup>.
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#Damit ist a = 0,5.
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[[Bild:Qf-111.jpg]]
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&nbsp;{{Lösung versteckt|1=
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#Der Scheitel hat die Koordinaten(1;1).
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#Also ist d = 1 und e = 1.
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#Der Punkt (0/2) liegt auf der Parabel
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#Es gilt also 2 = a·(0 - 1)<sup>2</sup> + 1.
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#Damit ist a = 1.
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#Der Scheitel hat die Koordinaten(-2;2).
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#Also ist d = -2 und e = 2.
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#Der Punkt (-1/1) liegt auf der Parabel
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#Es gilt also 1 = a·(-1 + 2)<sup>2</sup> + 2.
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#Damit ist a = -1.
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&nbsp;{{Lösung versteckt|1=
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#Der Scheitel hat die Koordinaten(2;2).
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#Also ist d = 2 und e = 2.
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#Der Punkt (1/1) liegt auf der Parabel
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#Es gilt also 1 = a·(1 - 2)<sup>2</sup> + 2.
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#Damit ist a = -1.
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&nbsp;{{Lösung versteckt|1=
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#Der Scheitel hat die Koordinaten(2;0).
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#Also ist d = 2 und e = 0.
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#Der Punkt (1/2) liegt auf der Parabel
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#Es gilt also 2 = a·(1 - 2)<sup>2</sup>.
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#Damit ist a = 2.
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|align = "left"|'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du alles verstanden hast.'''<br>
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[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen2|'''Hier geht es weiter.''']]
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[[Quadratische_Funktionen_2_Startseite|'''Startseite''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Bremsweg|'''1. Bremsweg''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Bremsbeschleunigung|'''2. Unterschiedliche Straßenverhältnisse''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen1|'''3. Übungen 1''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Köln-Arena|'''4. Köln-Arena''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Einfluss_der_Parameter|'''5. Einfluss der Parameter in der Scheitelform''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen2|'''6. Übungen 2''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Allgemeine_quadratische_Funktion|'''7. Allgemeine quadratische Funktion''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen3|'''8. Übungen 3''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Aufgaben|'''9. Aufgaben''']]

Aktuelle Version vom 23. November 2016, 09:19 Uhr

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Einfluss der Parameter a, d und e in der Scheitelform

Du hast nun den Term a( x - d)^2 + e für eine allgemeine quadratische Funktion kennengelernt.

Untersuche nun den Einfluss der Parameter a, d und e bei der quadratischen Funktion f mit f(x) = a(x - d)^2 + e

Hefteintrag: Am besten verwendest du hierfür dein Heft im Querformat, damit du eine Tabelle mit drei Spalten für den Einfluss von a, d und e anlegen kannst. Formuliere eine Überschrift und übernimm alle mit gelb gekennzeichneten Texte. Natürlich darfst du dir aber auch noch zusätzlich Notizen machen.

Einfluss von a Einfluss von d Einfluss von e

Untersuche hier den Einfluss von \ a

auf die Graphen der Funktionen

x \rightarrow \ a x^2 .

Untersuche hier den Einfluss von \ d

auf die Graphen der Funktionen

x \rightarrow \ (x - d)^2 .

Untersuche hier den Einfluss von \ e

auf die Graphen der Funktionen

x \rightarrow \ x^2 + e .

Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Scheitelform der quadratischen Funktion lautet

  x\rightarrow a(x - d)^2 + e  .

Dabei sind \ a,d,e Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt  \ a,d,e \in \mathbb{R}  und  a\neq 0 .

  • Der Scheitel hat die Koordinaten (d;e).

Aufgabe

Verdeutliche dir mit diesem Applet noch einmal die Wirkung der einzelnen Parameter und beachte die Identitäten in Term und Scheitelkoordinaten.

Maehnrot.jpg
Merke:

In der Funktion f mit f(x) = a(x - d)^2 + e bewirkt der

Parameter a

  • Ist der Betrag von a größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in y-Richtung mit dem Faktor Betrag von a gestreckt.
  • Ist der Betrag von a kleiner als eins und positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion in y-Richtung mit dem Faktor Betrag von a gestaucht.
  • Falls a negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.

Parameter d

  • Ist d positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von d nach rechts verschoben.
  • Ist d negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von d nach links verschoben.

Parameter e

  • Ist e positiv, so wird die Normalparabel um den Betrag von e nach oben verschoben.
  • Ist e negativ, so wird die Normalparabel um den Betrag von e nach unten verschoben.


Bestimme die Parameter a, d und e

Qf-h20.jpg

 

  1. Der Scheitel hat die Koordinaten (2;0).
  2. Also gilt d = 2, e = 0.
  3. Der Punkt (0;2) liegt auf der Parabel.
  4. Es gilt 2 = a(0 - 2)2.
  5. Damit ist a = 0,5.

Qf-111.jpg

 

  1. Der Scheitel hat die Koordinaten(1;1).
  2. Also ist d = 1 und e = 1.
  3. Der Punkt (0/2) liegt auf der Parabel
  4. Es gilt also 2 = a·(0 - 1)2 + 1.
  5. Damit ist a = 1.

Qf--1-12.jpg

 

  1. Der Scheitel hat die Koordinaten(-2;2).
  2. Also ist d = -2 und e = 2.
  3. Der Punkt (-1/1) liegt auf der Parabel
  4. Es gilt also 1 = a·(-1 + 2)2 + 2.
  5. Damit ist a = -1.

Qf--122.jpg

 

  1. Der Scheitel hat die Koordinaten(2;2).
  2. Also ist d = 2 und e = 2.
  3. Der Punkt (1/1) liegt auf der Parabel
  4. Es gilt also 1 = a·(1 - 2)2 + 2.
  5. Damit ist a = -1.

Qf-220.jpg

 

  1. Der Scheitel hat die Koordinaten(2;0).
  2. Also ist d = 2 und e = 0.
  3. Der Punkt (1/2) liegt auf der Parabel
  4. Es gilt also 2 = a·(1 - 2)2.
  5. Damit ist a = 2.


Maehnrot.jpg Als nächstes kannst du prüfen, ob du alles verstanden hast.

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