Quadratische Funktionen 2 - quadratische Ergänzung: Unterschied zwischen den Versionen

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# Klammere a aus: <math> a x^2 + bx + c = a (x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})</math>
 
# Klammere a aus: <math> a x^2 + bx + c = a (x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})</math>
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# Ergänze in der Klammer <math> x^2 + \frac{b}{a} x </math> mittels der binomischen Formeln zu einem Quadrat, also <math> x^2 + \frac{b}{a} x = x^2 + \frac{2b}{2a} x = x^2 + \frac{2b}{2a} x + (\frac{2b}{a})^2 - (\frac{2b}{a})^2 = [x + (\frac{2b}{a})]^2 - (\frac{2b}{a})^2</math>
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# Ergänze in der Klammer <math> x^2 + \frac{b}{a} x </math> mittels der binomischen Formeln zu einem Quadrat, also <math> x^2 + \frac{b}{a} x = x^2 + \frac{2b}{2a} x = x^2 + \frac{2b}{2a} x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 = [x + (\frac{b}{2a})]^2 - (\frac{b}{2a})^2</math>
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# Du hast also nun <math> a x^2 + bx + c = a [(x + (\frac{2b}{a}))^2 - (\frac{2b}{a})^2 + \frac{c}{a}] </math>
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# Du hast also nun <math> a x^2 + bx + c = a [(x + (\frac{b}{2a}))^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}] </math>
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# Multipliziere die eckige Klammer aus und du erhältst: <math> a [(x + (\frac{2b}{a}))^2 - (\frac{2b}{a})^2 + \frac{c}{a}] = a (x + (\frac{2b}{a}))^2 - \frac{4b^2}{a} + c</math>
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# Multipliziere die eckige Klammer aus und du erhältst: <math> a [(x + (\frac{b}{2a}))^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}] = a (x + (\frac{b}{2a}))^2 - \frac{b^2}{4a} + c</math>
  
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Mit diesen 4 Schritten kannst du den Term <math> a x^2 + bx + c</math> auf die Form <math>a (x - d)^2 + e</math> bringen. Dabei ist <math> d = -(\frac{2b}{a}))^2</math> und <math>e = c - \frac{4b^2}{a}</math>
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Mit diesen 4 Schritten kannst du den Term <math> a x^2 + bx + c</math> auf die Form <math>a (x - d)^2 + e</math> bringen. Dabei ist <math> d = -(\frac{b}{2a}))^2</math> und <math>e = c - \frac{b^2}{4a}</math>
 
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Auf dieser [http://www.willimann.org/A3110-Quadratische%20Funktionen%20-%20Uebung%202.pdf Seite] findest du Aufgaben und die [http://www.willimann.org/A3110-Quadratische%20Funktionen%20-%20Uebung%202.pdf Lösungen] dazu.
 
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Version vom 9. August 2011, 16:04 Uhr

Stift.gif   Aufgabe

Durch quadratische Ergänzung bringst du einen Term a x^2 + bx + c auf die Form a (x - d)^2 + e.
Wie du das machst wird dir hier erklärt.


Nuvola apps kig.png   Merke


  1. Klammere a aus: a x^2 + bx + c = a (x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})
  2. Ergänze in der Klammer x^2 + \frac{b}{a} x mittels der binomischen Formeln zu einem Quadrat, also x^2 + \frac{b}{a} x = x^2 + \frac{2b}{2a} x = x^2 + \frac{2b}{2a} x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 = [x + (\frac{b}{2a})]^2 - (\frac{b}{2a})^2
  3. Du hast also nun a x^2 + bx + c = a [(x + (\frac{b}{2a}))^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}]
  4. Multipliziere die eckige Klammer aus und du erhältst: a [(x + (\frac{b}{2a}))^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}] = a (x + (\frac{b}{2a}))^2 - \frac{b^2}{4a} + c

Mit diesen 4 Schritten kannst du den Term a x^2 + bx + c auf die Form a (x - d)^2 + e bringen. Dabei ist d = -(\frac{b}{2a}))^2 und e = c - \frac{b^2}{4a}


Auf dieser Seite findest du Aufgaben und die Lösungen dazu.

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