Quadratische Funktionen 2 - quadratische Ergänzung: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Medienvielfalt-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
 
(5 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
 
{{Aufgabe|Durch quadratische Ergänzung bringst du einen Term <math> a x^2 + bx + c</math> auf die Form <math>a (x - d)^2 + e</math>.  
 
{{Aufgabe|Durch quadratische Ergänzung bringst du einen Term <math> a x^2 + bx + c</math> auf die Form <math>a (x - d)^2 + e</math>.  
 
<br>
 
<br>
Schaue dir auf [http://home.fonline.de/fo0126//algebra/alg4.htm hier] an wie man das macht.}}
+
In dem Video wird erklärt wie man es macht. {{#ev:youtube |cDDxjzM0OX0|350}}  }}
  
  
Zeile 14: Zeile 14:
 
}}
 
}}
  
 +
Beispiele:
  
Auf dieser [http://www.willimann.org/A3110-Quadratische%20Funktionen%20-%20Uebung%202.pdf Seite] findest du Aufgaben und die [http://www.willimann.org/A3110-Quadratische%20Funktionen%20-%20Uebung%202.pdf Lösungen] dazu.
+
1. Ergänze <math>x^2+6x</math> quadratisch.<br>
 +
Schaue dir den Koeffizienten von x an: <span style="color:#C11111">&nbsp;6</span><br>
 +
In der 1. binomischen Formel <math>x^2+2xa+a^2=(x+a)^2</math> ist beim mittleren Glied <math>2ax</math> bei <math>x</math> der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also <math>6 = 2\cdot 3</math>.<br>
 +
<math>x^2+6x=x^2+2\cdot 3x</math><br>
 +
Ergänze nun mit der binomischen Formel <math>x^2+2xa+a^2=(x+a)^2</math> zu einem Quadrat, also <math>x^2+2\cdot 3 x +9=(x+3)^2</math>. <br>
 +
Nun kann man nicht einfach <math>9</math> addieren, also subtrahiert man gleich wieder <math>9</math>.<br>
 +
<math>f(x)=x^2+2\cdot 3x=x^2+2\cdot 3x + 9 - 9=(x+3)^2-9</math>
 +
 
 +
 
 +
2. Ergänze <math>x^2+6x+5</math> quadratisch.<br>
 +
Schaue dir wieder den Koeffizienten von x an: <span style="color:#C11111">&nbsp;6</span><br>
 +
In der 1. binomischen Formel <math>x^2+2xa+a^2=(x+a)^2</math> ist beim mittleren Glied <math>2ax</math> bei <math>x</math> der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also <math>6 = 2\cdot 3</math>.<br>
 +
<math>x^2+6x+5=x^2+2\cdot 3x +5</math><br>
 +
Ergänze nun mit der binomischen Formel <math>x^2+2xa+a^2=(x+a)^2</math> zu einem Quadrat, also <math>x^2+2\cdot 3 x +9=(x+3)^2</math>. <br>
 +
Nun kann man nicht einfach <math>9</math> addieren, also subtrahiert man gleich wieder <math>9</math>.<br>
 +
<math>x^2+2\cdot 3x+5=x^2+2\cdot 3x + 9 - 9+5=(x+3)^2-9+5=(x+3)^2-4</math>
 +
 
 +
 
 +
3. Ergänze <math>x^2-6x+5</math> quadratisch <br>
 +
Schaue dir wieder den Koeffizienten von x an: <span style="color:#C11111">&nbsp;6</span><br>
 +
Nun steht vor dem mittleren Glied ein Minuszeichen. Daher verwende die 2. binomische Formel.<br>
 +
In der 2. binomischen Formel <math>x^2-2xa+a^2=(x-a)^2</math> ist beim mittleren Glied <math>2ax</math> bei <math>x</math> der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also <math>6 = 2\cdot 3</math>.<br>
 +
<math>x^2-6x+5=x^2+2\cdot 3x+5</math><br>
 +
Ergänze nun mit der binomischen Formel <math>x^2-2xa+a^2=(x-a)^2</math> zu einem Quadrat, also <math>x^2-2\cdot 3 x +9=(x-3)^2</math>. <br>
 +
Nun kann man nicht einfach <math>9</math> addieren, also subtrahiert man gleich wieder <math>9</math>.<br>
 +
<math>x^2-2\cdot 3x+5=x^2-2\cdot 3x + 9 - 9+5=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4</math>
 +
 
 +
 
 +
4. Ergänze <math>2x^2-12x+10</math> quadratisch.<br>
 +
Damit du das bisherige Verfahren anwenden kannst, klammere zuerst den Koeffizienten von <math>x^2</math> aus.<br>
 +
<math>2x^2-12x+10=2(x^2-6x+5)</math><br>
 +
In der Klammer steht nun der gleiche Term wie im Beispiel 3.<br> Gehe nun für den Klammerterm genauso vor wie in Beispiel 3, lass die <math>2</math> aber vor der Klammer stehen. Also ergibt sich:<br>
 +
<math>2x^2-12x+10=2(x^2-6x+5)=2(x^2-2\cdot 3x + 5)=2(x^2+2\cdot 3x + 9 - 9 + 5)=2[(x-3)^2-9+5]=2[(x-3)^2-4]</math><br>
 +
Löse nun die eckige Klammer auf <br>
 +
<math>2x^2-12x+10=2[(x-3)^2-4]=2(x-3)^2-8</math>
 +
 
 +
 
 +
5. Ergänze <math>2x^2-10x-8</math> quadratisch.<br>
 +
Gehe hier genauso wie im 4. Beispiel vor. Klammere zuerst den Koeffizienten von <math>x^2</math> aus.
 +
<math>2x^2-10x-8=2(x^2-5x-4)</math><br>
 +
Gehe nun für den Klammerterm genauso vor wie in Beispiel 3, lass die <math>2</math> aber vor der Klammer stehen. Also ergibt sich:<br>
 +
<math>2x^2-10x-8=2(x^2-5x-4)=2(x^2-2\cdot 2,5x -4)=2(x^2+2\cdot 2,5x + 6,25 - 6,25 - 4)=2[(x-2,5)^2-6,25-4]=2[(x-2,5)^2-10,25]</math><br>
 +
Löse nun die eckige Klammer auf <br>
 +
<math>2x^2-10x-8=2[(x-2,5)^2-10.25]=2(x-2,5)^2-20,5</math>
 +
 
 +
 
 +
Auf [https://www.mathebibel.de/quadratische-ergaenzung dieser Seite] ist das Verfahren der quadratischen Ergänzung auch nochmals erklärt. und auf dieser [http://www.willimann.org/A3110-Quadratische%20Funktionen%20-%20Uebung%202.pdf Seite] findest du Aufgaben.
  
  
 
----
 
----
 
Zurück zu [[Quadratische_Funktionen_2_-_Allgemeine_quadratische_Funktion|'''Allgemeine quadratische Funktion''']]
 
Zurück zu [[Quadratische_Funktionen_2_-_Allgemeine_quadratische_Funktion|'''Allgemeine quadratische Funktion''']]

Aktuelle Version vom 9. Dezember 2020, 12:35 Uhr

Stift.gif   Aufgabe

Durch quadratische Ergänzung bringst du einen Term  a x^2 + bx + c auf die Form a (x - d)^2 + e.

In dem Video wird erklärt wie man es macht.


Nuvola apps kig.png   Merke


  1. Klammere a aus:  a x^2 + bx + c = a (x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})
  2. Ergänze in der Klammer  x^2 + \frac{b}{a} x mittels der binomischen Formeln zu einem Quadrat, also  x^2 + \frac{b}{a} x = x^2 + \frac{2b}{2a} x = x^2 + \frac{2b}{2a} x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 = [x + (\frac{b}{2a})]^2 - (\frac{b}{2a})^2
  3. Du hast also nun  a x^2 + bx + c = a [(x + (\frac{b}{2a}))^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}]
  4. Multipliziere die eckige Klammer aus und du erhältst:  a [(x + (\frac{b}{2a}))^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}] = a (x + (\frac{b}{2a}))^2 - \frac{b^2}{4a} + c

Mit diesen 4 Schritten kannst du den Term  a x^2 + bx + c auf die Form a (x - d)^2 + e bringen. Dabei ist  d = -\frac{b}{2a} und e = c - \frac{b^2}{4a}

Beispiele:

1. Ergänze x^2+6x quadratisch.
Schaue dir den Koeffizienten von x an:  6
In der 1. binomischen Formel x^2+2xa+a^2=(x+a)^2 ist beim mittleren Glied 2ax bei x der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also 6 = 2\cdot 3.
x^2+6x=x^2+2\cdot 3x
Ergänze nun mit der binomischen Formel x^2+2xa+a^2=(x+a)^2 zu einem Quadrat, also x^2+2\cdot 3 x +9=(x+3)^2.
Nun kann man nicht einfach 9 addieren, also subtrahiert man gleich wieder 9.
f(x)=x^2+2\cdot 3x=x^2+2\cdot 3x + 9 - 9=(x+3)^2-9


2. Ergänze x^2+6x+5 quadratisch.
Schaue dir wieder den Koeffizienten von x an:  6
In der 1. binomischen Formel x^2+2xa+a^2=(x+a)^2 ist beim mittleren Glied 2ax bei x der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also 6 = 2\cdot 3.
x^2+6x+5=x^2+2\cdot 3x +5
Ergänze nun mit der binomischen Formel x^2+2xa+a^2=(x+a)^2 zu einem Quadrat, also x^2+2\cdot 3 x +9=(x+3)^2.
Nun kann man nicht einfach 9 addieren, also subtrahiert man gleich wieder 9.
x^2+2\cdot 3x+5=x^2+2\cdot 3x + 9 - 9+5=(x+3)^2-9+5=(x+3)^2-4


3. Ergänze x^2-6x+5 quadratisch
Schaue dir wieder den Koeffizienten von x an:  6
Nun steht vor dem mittleren Glied ein Minuszeichen. Daher verwende die 2. binomische Formel.
In der 2. binomischen Formel x^2-2xa+a^2=(x-a)^2 ist beim mittleren Glied 2ax bei x der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also 6 = 2\cdot 3.
x^2-6x+5=x^2+2\cdot 3x+5
Ergänze nun mit der binomischen Formel x^2-2xa+a^2=(x-a)^2 zu einem Quadrat, also x^2-2\cdot 3 x +9=(x-3)^2.
Nun kann man nicht einfach 9 addieren, also subtrahiert man gleich wieder 9.
x^2-2\cdot 3x+5=x^2-2\cdot 3x + 9 - 9+5=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4


4. Ergänze 2x^2-12x+10 quadratisch.
Damit du das bisherige Verfahren anwenden kannst, klammere zuerst den Koeffizienten von x^2 aus.
2x^2-12x+10=2(x^2-6x+5)
In der Klammer steht nun der gleiche Term wie im Beispiel 3.
Gehe nun für den Klammerterm genauso vor wie in Beispiel 3, lass die 2 aber vor der Klammer stehen. Also ergibt sich:
2x^2-12x+10=2(x^2-6x+5)=2(x^2-2\cdot 3x + 5)=2(x^2+2\cdot 3x + 9 - 9 + 5)=2[(x-3)^2-9+5]=2[(x-3)^2-4]
Löse nun die eckige Klammer auf
2x^2-12x+10=2[(x-3)^2-4]=2(x-3)^2-8


5. Ergänze 2x^2-10x-8 quadratisch.
Gehe hier genauso wie im 4. Beispiel vor. Klammere zuerst den Koeffizienten von x^2 aus. 2x^2-10x-8=2(x^2-5x-4)
Gehe nun für den Klammerterm genauso vor wie in Beispiel 3, lass die 2 aber vor der Klammer stehen. Also ergibt sich:
2x^2-10x-8=2(x^2-5x-4)=2(x^2-2\cdot 2,5x -4)=2(x^2+2\cdot 2,5x + 6,25 - 6,25 - 4)=2[(x-2,5)^2-6,25-4]=2[(x-2,5)^2-10,25]
Löse nun die eckige Klammer auf
2x^2-10x-8=2[(x-2,5)^2-10.25]=2(x-2,5)^2-20,5


Auf dieser Seite ist das Verfahren der quadratischen Ergänzung auch nochmals erklärt. und auf dieser Seite findest du Aufgaben.



Zurück zu Allgemeine quadratische Funktion