Quadratische Funktionen 2 - quadratische Ergänzung

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Durch quadratische Ergänzung bringst du einen Term  a x^2 + bx + c auf die Form a (x - d)^2 + e.
Schaue dir auf hier an wie man das macht.


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  1. Klammere a aus:  a x^2 + bx + c = a (x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})
  2. Ergänze in der Klammer  x^2 + \frac{b}{a} x mittels der binomischen Formeln zu einem Quadrat, also  x^2 + \frac{b}{a} x = x^2 + \frac{2b}{2a} x = x^2 + \frac{2b}{2a} x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 = [x + (\frac{b}{2a})]^2 - (\frac{b}{2a})^2
  3. Du hast also nun  a x^2 + bx + c = a [(x + (\frac{b}{2a}))^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}]
  4. Multipliziere die eckige Klammer aus und du erhältst:  a [(x + (\frac{b}{2a}))^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}] = a (x + (\frac{b}{2a}))^2 - \frac{b^2}{4a} + c

Mit diesen 4 Schritten kannst du den Term  a x^2 + bx + c auf die Form a (x - d)^2 + e bringen. Dabei ist  d = -\frac{b}{2a} und e = c - \frac{b^2}{4a}

Beispiele:

1. Ergänze x^2+6x quadratisch.
Schaue dir den Koeffizienten von x an:  6
In der binomischen Formel x^2+2xa+a^2=(x+a)^2 ist beim mittleren Glied 2ax bei x der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also 6 = 2\cdot 3.
x^2+2\cdot 3x
Ergänze nun mit der binomischen Formel x^2+2xa+a^2=(x+a)^2 zu einem Quadrat, also x^2+2\cdot 3 x +9=(x+3)^2.
Nun kann man nicht einfach 9 addieren, also subtrahiert man gleich wieder 9.
f(x)=x^2+2\cdot 3x=x^2+2\cdot 3x + 9 - 9=(x+3)^2-9


2. x^2+6x+5
Schaue dir wieder den Koeffizienten von x an:  6
In der binomischen Formel x^2+2xa+a^2=(x+a)^2 ist beim mittleren Glied 2ax bei x der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also 6 = 2\cdot 3.
x^2+2\cdot 3x
Ergänze nun mit der binomischen Formel x^2+2xa+a^2=(x+a)^2 zu einem Quadrat, also x^2+2\cdot 3 x +9=(x+3)^2.
Nun kann man nicht einfach 9 addieren, also subtrahiert man gleich wieder 9.
x^2+2\cdot 3x+5=x^2+2\cdot 3x + 9 - 9+5=(x+3)^2-9+5=(x+3)^2-4


3. x^2-6x+5
Schaue dir wieder den Koeffizienten von x an:  6
In der binomischen Formel x^2-2xa+a^2=(x-a)^2 ist beim mittleren Glied 2ax bei x der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also 6 = 2\cdot 3.
f(x)=x^2+2\cdot 3x
Ergänze nun mit der binomischen Formel x^2-2xa+a^2=(x-a)^2 zu einem Quadrat, also x^2-2\cdot 3 x +9=(x-3)^2.
Nun kann man nicht einfach 9 addieren, also subtrahiert man gleich wieder 9.
x^2-2\cdot 3x+5=x^2-2\cdot 3x + 9 - 9+5=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4


4. 2x^2-12x+10
Damit du das bisherige Verfahren anwenden kannst, klammere zuerst den Koeffizienten von x^2 aus.
2x^2-12x+10=2(x^2-6x+5)
In der Klammer steht nun der gleiche Term wie im Beispiel 3.
Gehe nun für den Klammerterm genauso vor. Schaue dir wieder den Koeffizienten von x an:  6
In der binomischen Formel x^2-2xa+a^2=(x-a)^2 ist beim mittleren Glied 2ax bei x der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also 6 = 2\cdot 3.
f(x)=x^2+2\cdot 3x
Ergänze nun mit der binomischen Formel x^2-2xa+a^2=(x-a)^2 zu einem Quadrat, also x^2-2\cdot 3 x +9=(x-3)^2.
Nun kann man nicht einfach 9 addieren, also subtrahiert man gleich wieder 9.
x^2-2\cdot 3x+5=x^2-2\cdot 3x + 9 - 9+5=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4
Also ergibt sich mit der 2 vor der Klammer:
2x^2-12x+10=2(x^2-6x+5)=2(x^2+2\cdot 3x + 9 - 9 + 5)=2[(x-3)^2-9+5]=2[(x-3)^2-4]
Löse nun die eckige Klammer auf
2x^2-12x+10=2[(x-3)^2-4]=2(x-2)^2-8


Auf dieser Seite ist das Verfahren der quadratischen Ergänzung auch nochmals erklärt. und auf dieser Seite findest du Aufgaben.



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