Rationale Funktionen Definitionen

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Sind g(x) = a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0 mit a_z\not=0 und h(x) = b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0 mit b_n\not=0 Polynome vom Grad z und n,

so heißt die Funktion  f: \rightarrow f(x) mit f(x)= \frac{g(x)}{h(x)} gebrochen-rationale Funktion.

Es ist f(x) = \frac{a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0} mit a_z, b_n\not=0

Die Definitionsmenge von f ist die Menge der reellen Zahlen ausgenommen die Nullstellen des Nennerpolynoms.

z ist der Grad des Zählerpolynoms, n der Grad des Nennerpolynoms.

Ist z < n, dann ist f eine echt gebrochen-rationale Funktion, ist z > n, dann ist f eine unecht gebrochen-rationale Funktion.

Beispiel:

Die Funktion f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1} hat wegen x^2-1= (x+1)(x-1) als Definitionsmenge R\ {-1;1}.
f ist eine echt gebrochen-rationale Funktion, da z=1 und n = 2, also z < n ist.

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Die Nullstellen des Nennerpolynoms werden als Definitionslücken bezeichnet.

Beispiel:

Die Funktion f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1} hat die Definitionslücken  x = -1 und  x = 1.

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Ist an einer Definitionslücke x_0 einer gebrochen-rationalen Funktion f

\lim_{x \to x_0}\left| f(x) \right|=\infty,

dann ist die Definitionslücke  x_0 eine Polstelle von f.

Die Gerade mit der Gleichung x = x_0 ist senkrechte Asymptote des Graphen von f.

Beispiel:

Die Funktion f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1} hat die Definitionslücken  x = -1 und  x = 1.

Es ist \lim_{x \to -1}\left| f(x) \right|=\infty, da z(-1) = 1 ist.  x = -1 ist Polstelle und die Gerade  x = -1 ist senkrechte Asymptote für den Graphen von f.

Ebenso ist \lim_{x \to 1}\left| f(x) \right|=\infty, da z(1) = 1 ist.  x = 1 ist Polstelle und die Gerade  x = 1 ist senkrechte Asymptote für den Graphen von f.