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Astronauten, die von einer Raumstation,welche in der Höhe h um Erde kreist, auf die Erde blicken, sehen eine Kugelhaube.  
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Astronauten, die von einer Raumstation,welche in der Höhe x um die Erde kreist, auf die Erde blicken, sehen eine Kugelhaube.  
  
 
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Die Mantelfläche <math>M</math> der Kugelhaube ist <math>M = 2\pi R l</math> wobei <math>R</math> der Erdradius 6370km und <math>l</math> die Länge der Strecke [CD] ist.  
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Die Mantelfläche <math>M</math> der Kugelhaube ist <math>M = 2\pi R h</math> wobei <math>R</math> der Erdradius 6370km und <math>l</math> die Länge der Strecke [CD] ist.  
  
1. Zeige, dass die Mantelfläche <math>M</math> in Abhängigkeit der Höhe h zu <math>M=\frac{2\pi R^2h}{R+h}</math> ergibt.
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1. Zeige, dass die Mantelfläche <math>M</math> in Abhängigkeit der Höhe h zu <math>M=\frac{2\pi R^2h}{R+x}</math> ergibt.
  
Die Höhe <math>h</math> ist die Variable für die Mantelfläche <math>M</math>.  
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Die Höhe <math>x</math> ist die Variable für die Mantelfläche <math>M</math>.  
  
 
2. a) Bestimme die Definitionsmenge.
 
2. a) Bestimme die Definitionsmenge.
  
b) Welchen Wert dürftest du nicht für h einsetzen?
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b) Welchen Wert dürftest du nicht für x einsetzen?
  
c) Welcher Grenzwert ergibt sich für die Mantelfläche <math> M</math> für <math> h \rightarrow \infty</math>?
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In diesem Bild betrachet man die zwei rechtwinkligen Dreiecke <math>\Delta AMS</math> und <math> \Delta AMD</math>, welche zueinander ähnlich sind. In ähnlichen Dreiecken sind die Streckenverhältnisse entsprechender Seiten gleich:
Im Dreieck <math>\Delta AMS</math> betrachtet man das Streckenverhältnis <math>\frac {\bar {SM}}{\bar {}{MA}} = \frac {R+h}{R}</math>. Das entsprechende Seitenverhältnis im Dreieck <math> \Delta AMD</math> ist <math>\frac {\bar {MA}}{\bar {}{MD}} = \frac {R}{R-l}</math>.
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Im Dreieck <math>\Delta AMS</math> betrachtet man das Streckenverhältnis <math>\frac {\bar {SM}}{\bar {}{MA}} = \frac {R+x}{R}</math>. Das entsprechende Seitenverhältnis im Dreieck <math> \Delta AMD</math> ist <math>\frac {\bar {MA}}{\bar {}{MD}} = \frac {R}{R-h}</math>.
  
Also ist    <math>\frac {R+h}{R} = \frac {R}{R-l}</math>.
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Also ist    <math>\frac {R+x}{R} = \frac {R}{R-h}</math>.
  
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Formt man um <math> R-h = \frac{R^2}{R+x}</math> und löst nach h auf und fasst die rechte Seite zusammen, dann ergibt sich <math> h = R - \frac{R^2}{R+x}=\frac{R^2+Rx-R^2}{R+x}=\frac{Rh}{R+x}</math>.
  
Setzt man den Term für l in die Formel für die Mantelfläche ein, so ergibt sich <math> M = \frac {2 \pi R^2 h}{R+h}</math>
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Setzt man den Term für h in die Formel für die Mantelfläche ein, so ergibt sich <math> M = \frac {2 \pi R^2 x}{R+x}</math>
  
 
2. a) <math> D = [0;\infty[</math>
 
2. a) <math> D = [0;\infty[</math>
  
b) <math> h \not= -R</math>
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c) <math> M = 2 \pi R^2</math>
 
c) <math> M = 2 \pi R^2</math>
 
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Version vom 9. Februar 2013, 14:58 Uhr

Astronauten, die von einer Raumstation,welche in der Höhe x um die Erde kreist, auf die Erde blicken, sehen eine Kugelhaube.

Erde tangenten.jpg


Stift.gif   Aufgabe

Die Mantelfläche M der Kugelhaube ist M = 2\pi R h wobei R der Erdradius 6370km und l die Länge der Strecke [CD] ist.

1. Zeige, dass die Mantelfläche M in Abhängigkeit der Höhe h zu M=\frac{2\pi R^2h}{R+x} ergibt.

Die Höhe x ist die Variable für die Mantelfläche M.

2. a) Bestimme die Definitionsmenge.

b) Welchen Wert dürftest du nicht für x einsetzen?

c) Welcher Grenzwert ergibt sich für die Mantelfläche  M für  x \rightarrow \infty?



1.
Erde tangenten-dreiecke.jpg

In diesem Bild betrachet man die zwei rechtwinkligen Dreiecke \Delta AMS und  \Delta AMD, welche zueinander ähnlich sind. In ähnlichen Dreiecken sind die Streckenverhältnisse entsprechender Seiten gleich: Im Dreieck \Delta AMS betrachtet man das Streckenverhältnis \frac {\bar {SM}}{\bar {}{MA}} = \frac {R+x}{R}. Das entsprechende Seitenverhältnis im Dreieck  \Delta AMD ist \frac {\bar {MA}}{\bar {}{MD}} = \frac {R}{R-h}.

Also ist \frac {R+x}{R} = \frac {R}{R-h}.

Formt man um  R-h = \frac{R^2}{R+x} und löst nach h auf und fasst die rechte Seite zusammen, dann ergibt sich  h = R - \frac{R^2}{R+x}=\frac{R^2+Rx-R^2}{R+x}=\frac{Rh}{R+x}.

Setzt man den Term für h in die Formel für die Mantelfläche ein, so ergibt sich  M = \frac {2 \pi R^2 x}{R+x}

2. a)  D = [0;\infty[

b)  x \not= -R

c)  M = 2 \pi R^2