Rationale Funktionen Einführung: Unterschied zwischen den Versionen

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Eine Tafel Schokolade mit 24 Stücken soll auf Kinder verteilt werden. Wie viele Stückchen bekommt jedes Kind?
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Astronauten, die von einer Raumstation,welche in der Höhe x um die Erde kreist, auf die Erde blicken, sehen eine Kugelhaube.  
  
x bezeichne die Anzahl der Kinder und y die Anzahl der Schokoladenstückchen, die jedes Kind bekommt. <br>
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<center>[[Datei:Erde_tangenten.jpg|300px]]</center>
  
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'''Aufgabe:''' Vervollständige die Tabelle:
 
{| class="wikitable"
 
! x || 1 || 2 || 3 || 4  || 6 || 8 || 12 || 24
 
|-
 
| y ||  ||    ||    ||  ||  ||  ||    ||
 
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|}
 
</div>
 
  
{{Lösung versteckt|
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{{Aufgabe|
{| class="wikitable"
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Die Mantelfläche <math>M</math> der Kugelhaube ist <math>M = 2\pi R h</math> wobei <math>R</math> der Erdradius <math>R = 6370 km</math> und <math>h</math> die Länge der Strecke [CD] ist.
! x || 1 || 2 || 3 || 4  || 6 || 8 || 12 || 24
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| y || 24 || 12 || 8 || 6 || 4 || 3 || 2 || 1
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|}
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1. Zeige, dass die Mantelfläche <math>M</math> in Abhängigkeit der Höhe <math>x</math> sich zu <math>M=\frac{2\pi R^2h}{R+x}</math> ergibt.
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Die Höhe <math>x</math> ist die Variable für die Mantelfläche <math>M</math>.
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2. a) Bestimme die Definitionsmenge.
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b) Welchen Wert dürftest du nicht für x einsetzen?
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c) Welcher Grenzwert ergibt sich für die Mantelfläche <math> M</math> für <math> x \rightarrow \infty</math>?
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{{Lösung versteckt|1=
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1. <center>[[Datei:Erde_tangenten-dreiecke.jpg]]</center>
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In diesem Bild betrachet man die zwei rechtwinkligen Dreiecke <math>\Delta AMS</math> und <math> \Delta AMD</math>, welche zueinander ähnlich sind. In ähnlichen Dreiecken sind die Streckenverhältnisse entsprechender Seiten gleich:
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Im Dreieck <math>\Delta AMS</math> betrachtet man das Streckenverhältnis <math>\frac {\bar {SM}}{\bar {}{MA}} = \frac {R+x}{R}</math>. Das entsprechende Seitenverhältnis im Dreieck <math> \Delta AMD</math> ist <math>\frac {\bar {MA}}{\bar {}{MD}} = \frac {R}{R-h}</math>.
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Also ist    <math>\frac {R+x}{R} = \frac {R}{R-h}</math>.
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Formt man um <math> R-h = \frac{R^2}{R+x}</math> und löst nach h auf und fasst die rechte Seite zusammen, dann ergibt sich <math> h = R - \frac{R^2}{R+x}=\frac{R^2+Rx-R^2}{R+x}=\frac{Rh}{R+x}</math>.
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Setzt man den Term für h in die Formel für die Mantelfläche ein, so ergibt sich <math> M = \frac {2 \pi R^2 x}{R+x}</math>.
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2. a) <math> D = [0;\infty[</math>
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b) <math> x \not= -R</math>
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c) <math> M = 2 \pi R^2</math>
 
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[[Tab-24-x-lsg.jpg|Lösung]]
 
<div style="margin:0;  border:2px solid #dfdfdf; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#F1F1FF; align:left;">
 
'''Aufgabe:''' Zeichne den Graph für dieses Beispiel.<br>
 
</div>
 
[[24-x.jpg|Lösung]]
 
  
Betrachte die Produkte x*y, so stellst du fest, dass x*y= 24 ist.
 
  
<div style="margin:0;  border:2px solid #dfdfdf; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#F1E1FF; align:left;">
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Im Funktionsterm <math> \frac {2 \pi R^2 x}{R+x}</math> für <math>M</math> kommt die Variable x im Nenner des Bruches vor. Im Nenner steht ein linearer Term in x. <br>
Eine Zuordnung zwischen zwei Größen x und y heißt '''indirekt proportional''', wenn das Produkt x*y für alle Paare (x,y) stets konstant ist. </div>
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Da der Nenner eines Bruches nie Null sein darf, muss man die Definitionsmenge beachten. <br>
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Du hast so etwas schon bei der indirekten Proportionalität kennengelernt. Bei der Funktion <math> f: x \rightarrow \frac {1}{x}</math> darf auch <math>0</math> nicht eingesetzt werden.<br>
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Man definiert allgemein solche Funktionen, bei denen x in einem Polynom im Nenner auftritt, als gebrochen-rationale Funktionen.
  
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{{Merke|Sind <math>g(x) = a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0</math> mit <math>a_z\not=0</math> und <math>h(x) = b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0</math> mit <math>b_n\not=0</math> Polynome vom Grad <math>z</math> und <math>n</math> mit <math>z,n \in N</math>,
  
In diesem Beispiel kann x nur eine natürliche Zahl zwischen 1 und 24 sein.  
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so heißt die Funktion <math> f: \rightarrow f(x)</math> mit <math>f(x)= \frac{g(x)}{h(x)}</math>  '''gebrochen-rationale Funktion'''.
  
Man kann die Funktion [[Bild:f24-x.jpg|center]] allgemein für alle rationalen Zahlen x, die ungleich Null sind, erklären. <br>
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Es ist <math>f(x) = \frac{a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0}</math> mit <math>a_z, b_n\not=0</math>
Der Graph dieser Funktion schaut dann so aus: [[bild:f24-x-graph.jpg|center]]<br>
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<center>Der Graph einer indirekten Proportionalität heißt '''Hyperbel'''.</center>
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Die Definitionsmenge von <math>f</math> ist die Menge der reellen Zahlen ausgenommen die Nullstellen des Nennerpolynoms.
  
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<math>z</math> ist der Grad des Zählerpolynoms, <math>n</math> der Grad des Nennerpolynoms.
  
<div style="margin:0;  border:2px solid #dfdfdf; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#F1E1FF; align:left;">
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Ist <math>z < n</math>, dann ist <math>f</math> eine '''echt''' gebrochen-rationale Funktion, ist <math>z \ge n</math>, dann ist <math>f</math> eine '''unecht''' gebrochen-rationale Funktion.}}
Die Funktion [[Bild:Fm_x_term.jpg|center]] mit einer rationalen Zahl m heißt '''indirekte Proportionalität''' oder indirekt proportionale Funktion.
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</div>
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Was ist Definitionsmenge, Wertemenge? Ist der Graph symmetrisch?<br>
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'''Beispiel:'''
[[Rationale Funktionen/Einführung/D und W rationale Funktion|Lösung]]
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Die Funktion <math>f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}</math> hat  wegen <math>x^2-1= (x+1)(x-1)</math> als Definitionsmenge <math>R</math>\ {-1;1}.<br>
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<math>f</math> ist eine echt gebrochen-rationale Funktion, da <math>z=1</math> und <math>n = 2</math>, also <math>z < n</math> ist.
  
<div style="margin:0;  border:2px solid #dfdfdf; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#F1F1FF; align:left;">
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'''Bemerkung:'''
'''Aufgaben:'''<br>
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1. Stelle in dieser [http://www.rsg.rothenburg.de/wiki/images/4/47/Aufg_24-x-n.ggb GeoGebra-Datei] den Schieberegler für m so ein, dass es den Graphen von [[bild:f24-x.jpg|center]] zeigt.<br>
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2. Beantworte die Fragen auf dieser [http://www.realmath.de/Neues/Klasse8/hyperbel/hyperbel.html Seite]
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</div><br>
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Der Funktionsterm von [[bild:f24-x.jpg|center]] ist ein Bruch. Nun kann im Zähler und Nenner eines Bruches auch die Variable x vorkommen. Deshalb definiert man allgemein:
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Unecht gebrochenrationale Funktion können mittels Polynomdivision in eine ganz-rationale Funktion und eine echt gebrochen-rationale Funktion aufgeteilt werden.
  
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'''Beispiel für unecht gebrochen-rationale Funktionen:'''
  
<div style="margin:0;  border:2px solid #dfdfdf; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#F1E1FF; align:left;">
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1. Für die Funktion <math>f:x\rightarrow \frac{x^2+2}{x^2-1}</math> ist der Funktionsterm umformbar. Es ist <math>
  Ist der Funktionsterm der Funktion f ein Bruch und stehen in Nenner und/oder Zähler Terme mit der Variablen x, zum Beispiel [[bild:bspl-rationale-funktion.jpg|center]] oder allgemeiner [[bild:bspl-rationale-funktion2.jpg|center]] so heißt diese Funktion '''rationale Funktion'''.
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\frac{x^2+2}{x^2-1}=1+ \frac {3}{x^2-1}</math>
</div>
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[[Rationale Funktionen/Einführung/Hefteintrag|Hefteintrag]]
+
2. Für die Funktion <math>f:x\rightarrow \frac{x^3+2}{x^2-1}</math> ist der Funktionsterm umformbar. Es ist <math>
 +
\frac{x^3+2}{x^2-1}=x+ \frac {x+2}{x^2-1}</math>

Aktuelle Version vom 25. März 2013, 14:33 Uhr

Astronauten, die von einer Raumstation,welche in der Höhe x um die Erde kreist, auf die Erde blicken, sehen eine Kugelhaube.

Erde tangenten.jpg


Stift.gif   Aufgabe

Die Mantelfläche M der Kugelhaube ist M = 2\pi R h wobei R der Erdradius R = 6370 km und h die Länge der Strecke [CD] ist.

1. Zeige, dass die Mantelfläche M in Abhängigkeit der Höhe x sich zu M=\frac{2\pi R^2h}{R+x} ergibt.

Die Höhe x ist die Variable für die Mantelfläche M.

2. a) Bestimme die Definitionsmenge.

b) Welchen Wert dürftest du nicht für x einsetzen?

c) Welcher Grenzwert ergibt sich für die Mantelfläche  M für  x \rightarrow \infty?



1.
Erde tangenten-dreiecke.jpg

In diesem Bild betrachet man die zwei rechtwinkligen Dreiecke \Delta AMS und  \Delta AMD, welche zueinander ähnlich sind. In ähnlichen Dreiecken sind die Streckenverhältnisse entsprechender Seiten gleich: Im Dreieck \Delta AMS betrachtet man das Streckenverhältnis \frac {\bar {SM}}{\bar {}{MA}} = \frac {R+x}{R}. Das entsprechende Seitenverhältnis im Dreieck  \Delta AMD ist \frac {\bar {MA}}{\bar {}{MD}} = \frac {R}{R-h}.

Also ist \frac {R+x}{R} = \frac {R}{R-h}.

Formt man um  R-h = \frac{R^2}{R+x} und löst nach h auf und fasst die rechte Seite zusammen, dann ergibt sich  h = R - \frac{R^2}{R+x}=\frac{R^2+Rx-R^2}{R+x}=\frac{Rh}{R+x}.

Setzt man den Term für h in die Formel für die Mantelfläche ein, so ergibt sich  M = \frac {2 \pi R^2 x}{R+x}.

2. a)  D = [0;\infty[

b)  x \not= -R

c)  M = 2 \pi R^2


Im Funktionsterm  \frac {2 \pi R^2 x}{R+x} für M kommt die Variable x im Nenner des Bruches vor. Im Nenner steht ein linearer Term in x.
Da der Nenner eines Bruches nie Null sein darf, muss man die Definitionsmenge beachten.
Du hast so etwas schon bei der indirekten Proportionalität kennengelernt. Bei der Funktion  f: x \rightarrow \frac {1}{x} darf auch 0 nicht eingesetzt werden.
Man definiert allgemein solche Funktionen, bei denen x in einem Polynom im Nenner auftritt, als gebrochen-rationale Funktionen.

Nuvola apps kig.png   Merke

Sind g(x) = a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0 mit a_z\not=0 und h(x) = b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0 mit b_n\not=0 Polynome vom Grad z und n mit z,n \in N,

so heißt die Funktion  f: \rightarrow f(x) mit f(x)= \frac{g(x)}{h(x)} gebrochen-rationale Funktion.

Es ist f(x) = \frac{a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0} mit a_z, b_n\not=0

Die Definitionsmenge von f ist die Menge der reellen Zahlen ausgenommen die Nullstellen des Nennerpolynoms.

z ist der Grad des Zählerpolynoms, n der Grad des Nennerpolynoms.

Ist z < n, dann ist f eine echt gebrochen-rationale Funktion, ist z \ge n, dann ist f eine unecht gebrochen-rationale Funktion.

Beispiel:

Die Funktion f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1} hat wegen x^2-1= (x+1)(x-1) als Definitionsmenge R\ {-1;1}.
f ist eine echt gebrochen-rationale Funktion, da z=1 und n = 2, also z < n ist.

Bemerkung:

Unecht gebrochenrationale Funktion können mittels Polynomdivision in eine ganz-rationale Funktion und eine echt gebrochen-rationale Funktion aufgeteilt werden.

Beispiel für unecht gebrochen-rationale Funktionen:

1. Für die Funktion f:x\rightarrow \frac{x^2+2}{x^2-1} ist der Funktionsterm umformbar. Es ist 
\frac{x^2+2}{x^2-1}=1+ \frac {3}{x^2-1}

2. Für die Funktion f:x\rightarrow \frac{x^3+2}{x^2-1} ist der Funktionsterm umformbar. Es ist 
\frac{x^3+2}{x^2-1}=x+ \frac {x+2}{x^2-1}