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Astronauten, die von einer Raumstation,welche in der Höhe h um Erde kreist, auf die Erde blicken, sehen eine Kugelhaube.

Erde tangenten.jpg


Stift.gif   Aufgabe

Die Mantelfläche M der Kugelhaube ist M = 2\pi R l wobei R der Erdradius 6370km und l die Länge der Strecke [CD] ist.

Zeige, dass die Mantelfläche M in Abhängigkeit der Höhe h zu M=\frac{2\pi R^2h}{R+h} ergibt

Erde tangenten-dreiecke.jpg

In diesem Bild betrachet man die zwei rechtwinkligen Dreiecke \Delta AMS und  \Delta AMD, welche zueinander ähnlich sind. In ähnlichen Dreiecken sind die Streckenverhältnisse entsprechender Seiten gleich: Im Dreieck \Delta AMS betrachtet man das Streckenverhältnis \frac {\bar {SM}}{\bar {}{MA}} = \frac {R+h}{R}. Das entsprechende Seitenverhältnis im Dreieck  \Delta AMD ist \frac {\bar {MA}}{\bar {}{MD}} = \frac {R}{R-l}.

Also ist \frac {R+h}{R} = \frac {R}{R-l}.

Formt man um  R-l = \frac{R^2}{R+h} und löst nach l auf und fasst die rechte Seite zusammen, dann ergibt sich  l = R - \frac{R^2}{R+h}=\frac{R^2+Rh-R^2}{R+h}=\frac{Rh}{R+h}.

Setzt man den Term für l in die Formel für die Mantelfläche ein, so ergibt sich  M = \frac {2 \pi R^2 h}{R+h}

Die Höhe h ist die Variable für die Mantelfläche M.

Stift.gif   Aufgabe


Die Höhe h ist die Variable für die Mantelfläche M.

a) Bestimme die Definitionsmenge.

b) Welcher Grenzwert ergibt sich für die Mantelfläche  M für  h \rightarrow \infty?

a)  D = [0;\infty]

b)  M = 2 \pi R^2