Rationale Funktionen Indirekte Proportionalitaet: Unterschied zwischen den Versionen

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x bezeichne die Anzahl der Kinder und y die Anzahl der Schokoladenstückchen, die jedes Kind bekommt. <br>
 
x bezeichne die Anzahl der Kinder und y die Anzahl der Schokoladenstückchen, die jedes Kind bekommt. <br>
  
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<div style="margin:0;  border:2px solid #dfdfdf; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#F1F1FF; align:left;">
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{{Arbeiten|NUMMER=1|
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'''Aufgabe:''' Vervollständige die Tabelle:  
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ARBEIT=
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a) Vervollständige die Tabelle: http://wikis.zum.de/rsg/images/6/67/Tab-24-x.jpg
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! x || 1 || 2 || 3 || 4  || 6 || 8 || 12 || 24
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| y ||  ||    ||    ||  ||  ||  ||    ||
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{{Lösung versteckt|
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b) Zeichne den Graph für dieses Beispiel.
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'''Aufgabe:''' Zeichne den Graph für dieses Beispiel.<br>
 
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{{Lösung versteckt|
 
{{Lösung versteckt|
  
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http://wikis.zum.de/rsg/images/b/bc/24-x.jpg
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a) http://wikis.zum.de/rsg/images/3/31/Tab-24-x-lsg.jpg
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Betrachte die Produkte x*y, so stellst du fest, dass x*y= 24 ist.
 
Betrachte die Produkte x*y, so stellst du fest, dass x*y= 24 ist.
  
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Eine Zuordnung zwischen zwei Größen x und y heißt '''indirekt proportional''', wenn das Produkt x*y für alle Paare (x,y) stets konstant ist. </div>
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Eine Zuordnung zwischen zwei Größen x und y heißt '''indirekt proportional''', wenn das Produkt x*y für alle Paare (x,y) stets konstant ist.  
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In diesem Beispiel kann x nur eine natürliche Zahl zwischen 1 und 24 sein.  
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In diesem Beispiel ist x eine natürliche Zahl zwischen 1 und 24.  
  
 
Man kann die Funktion http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg allgemein für alle rationalen Zahlen x, die ungleich Null sind, erklären. <br>
 
Man kann die Funktion http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg allgemein für alle rationalen Zahlen x, die ungleich Null sind, erklären. <br>
 
Der Graph dieser Funktion schaut dann so aus: <br>
 
Der Graph dieser Funktion schaut dann so aus: <br>
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<center>Der Graph einer indirekten Proportionalität heißt '''Hyperbel'''.</center>
 
<center>Der Graph einer indirekten Proportionalität heißt '''Hyperbel'''.</center>
  
  
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{{Merke|
 
Die Funktion http://wikis.zum.de/rsg/images/a/a6/Fm_x_term.jpg mit einer rationalen Zahl m heißt '''indirekte Proportionalität''' oder indirekt proportionale Funktion.  
 
Die Funktion http://wikis.zum.de/rsg/images/a/a6/Fm_x_term.jpg mit einer rationalen Zahl m heißt '''indirekte Proportionalität''' oder indirekt proportionale Funktion.  
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Was ist Definitionsmenge, Wertemenge? Ist der Graph symmetrisch?<br>
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Bestimme die Definitionsmenge und die Wertemenge.
  
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Ist der Graph symmetrisch bezüglich des Koordinatensystems?
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Da x im Nenner steht, darf x nicht 0 sein, also ist die Definitionsmenge <math>R</math>\{<math>0</math>}.<br>
 
Da x im Nenner steht, darf x nicht 0 sein, also ist die Definitionsmenge <math>R</math>\{<math>0</math>}.<br>
 
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<div style="margin:0;  border:2px solid #dfdfdf; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#F1E1FF; align:left;">
 
Eine solche Stelle, an der der Funktionsterm nicht definiert ist und in deren Nähe die Funktionswerte nach + Unendlich oder - Unendlich gehen, heißt '''Polstelle'''.
 
Eine solche Stelle, an der der Funktionsterm nicht definiert ist und in deren Nähe die Funktionswerte nach + Unendlich oder - Unendlich gehen, heißt '''Polstelle'''.
 
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</center>http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg</center><br>
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<center>http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg</center><br>
  
 
Aus dem Graph sieht man, dass 0 als Funktionswert nicht angenommen wird, ansonsten kommen alle reelle Zahlen als y-Werte vor, also ist die Wertemenge auch <math>R</math>\{<math>0</math>}.
 
Aus dem Graph sieht man, dass 0 als Funktionswert nicht angenommen wird, ansonsten kommen alle reelle Zahlen als y-Werte vor, also ist die Wertemenge auch <math>R</math>\{<math>0</math>}.
  
 
Desweiteren sieht man, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
 
Desweiteren sieht man, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
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{{Arbeiten|NUMMER = 3|
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ARBEIT=
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<div style="margin:0; border:2px solid #dfdfdf; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#F1F1FF; align:left;">
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a) Stelle in diesem Applet
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'''Aufgaben:'''<br>
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1. Stelle in dieser [http://www.rsg.rothenburg.de/wiki/images/4/47/Aufg_24-x-n.ggb GeoGebra-Datei] den Schieberegler für m so ein, dass es den Graphen von [[bild:f24-x.jpg|center]] zeigt.<br>
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den Schieberegler für m so ein, dass es den Graphen von http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg zeigt.<br>
 
2. Beantworte die Fragen auf dieser [http://www.realmath.de/Neues/Klasse8/hyperbel/hyperbel.html Seite]
 
2. Beantworte die Fragen auf dieser [http://www.realmath.de/Neues/Klasse8/hyperbel/hyperbel.html Seite]
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Der Funktionsterm von [[bild:f24-x.jpg|center]] ist ein Bruch. Nun kann im Zähler und Nenner eines Bruches auch die Variable x vorkommen. Deshalb definiert man allgemein:
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Der Funktionsterm von http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg ist ein Bruch, in dessen Nenner die Variable <math>x</math> vorkommt.
  
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Mehr über indirekte Proportionalität findest du in [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_direktes_indirektes_verhaeltnis/iv_dv_final/index.htm diesem Lernpfad].
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  Ist der Funktionsterm der Funktion f ein Bruch und stehen in Nenner und/oder Zähler Terme mit der Variablen x, zum Beispiel [[bild:bspl-rationale-funktion.jpg|center]] oder allgemeiner [[bild:bspl-rationale-funktion2.jpg|center]] so heißt diese Funktion '''rationale Funktion'''.
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[[Rationale Funktionen/Einführung/Hefteintrag|Hefteintrag]]
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Version vom 6. April 2013, 16:06 Uhr

Eine Tafel Schokolade mit 24 Stücken soll auf Kinder verteilt werden. Wie viele Stückchen bekommt jedes Kind?

x bezeichne die Anzahl der Kinder und y die Anzahl der Schokoladenstückchen, die jedes Kind bekommt.

  Aufgabe 1  Stift.gif

a) Vervollständige die Tabelle: http://wikis.zum.de/rsg/images/6/67/Tab-24-x.jpg

b) Zeichne den Graph für dieses Beispiel.



a) http://wikis.zum.de/rsg/images/3/31/Tab-24-x-lsg.jpg

b) http://wikis.zum.de/rsg/images/b/bc/24-x.jpg

Betrachte die Produkte x*y, so stellst du fest, dass x*y= 24 ist.

Nuvola apps kig.png   Merke


Eine Zuordnung zwischen zwei Größen x und y heißt indirekt proportional, wenn das Produkt x*y für alle Paare (x,y) stets konstant ist.


In diesem Beispiel ist x eine natürliche Zahl zwischen 1 und 24.

Man kann die Funktion http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg allgemein für alle rationalen Zahlen x, die ungleich Null sind, erklären.
Der Graph dieser Funktion schaut dann so aus:

http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg

Der Graph einer indirekten Proportionalität heißt Hyperbel.


Nuvola apps kig.png   Merke

Die Funktion http://wikis.zum.de/rsg/images/a/a6/Fm_x_term.jpg mit einer rationalen Zahl m heißt indirekte Proportionalität oder indirekt proportionale Funktion.

  Aufgabe 2  Stift.gif

Bestimme die Definitionsmenge und die Wertemenge.

Ist der Graph symmetrisch bezüglich des Koordinatensystems?


Da x im Nenner steht, darf x nicht 0 sein, also ist die Definitionsmenge R\{0}.

Eine solche Stelle, an der der Funktionsterm nicht definiert ist und in deren Nähe die Funktionswerte nach + Unendlich oder - Unendlich gehen, heißt Polstelle.

http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg

Aus dem Graph sieht man, dass 0 als Funktionswert nicht angenommen wird, ansonsten kommen alle reelle Zahlen als y-Werte vor, also ist die Wertemenge auch R\{0}.

Desweiteren sieht man, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

{{Arbeiten|NUMMER = 3| ARBEIT= a) Stelle in diesem Applet

den Schieberegler für m so ein, dass es den Graphen von http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg zeigt.
2. Beantworte die Fragen auf dieser Seite

Der Funktionsterm von http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg ist ein Bruch, in dessen Nenner die Variable x vorkommt.

Mehr über indirekte Proportionalität findest du in diesem Lernpfad.

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