Rationale Funktionen Indirekte Proportionalitaet: Unterschied zwischen den Versionen

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b) Zeichne den Graph für dieses Beispiel.
 
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c) Betrachte die Produkte x*y. Was stellst du fest?
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c) Betrachte die Produkte <math>x\cdot y</math>. Was stellst du fest?
 
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http://wikis.zum.de/rsg/images/b/bc/24-x.jpg
 
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c) Es ist immer x*y=24.
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c) Es ist immer <math>x\cdot y = 24</math>.
 
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Eine Zuordnung zwischen zwei Größen x und y heißt '''indirekt proportional''', wenn das Produkt x*y für alle Paare (x,y) stets konstant ist.  
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Eine Zuordnung zwischen zwei Größen x und y heißt '''indirekt proportional''', wenn das Produkt <math>x\cdot y </math> für alle Paare (x,y) stets konstant ist, also <math>x\cdot y = m</math>.  
 
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In diesem Beispiel ist x eine natürliche Zahl zwischen 1 und 24.  
 
In diesem Beispiel ist x eine natürliche Zahl zwischen 1 und 24.  
  
Man kann die Funktion http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg allgemein für alle reellen Zahlen x, die ungleich Null sind, erklären. <br>
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Man kann die Funktion <math>f: x \rightarrow \frac{24}{x}</math> allgemein für alle reellen Zahlen <math>x \not = 0</math> erklären. <br>
 
Der Graph dieser Funktion schaut dann so aus: <br>
 
Der Graph dieser Funktion schaut dann so aus: <br>
 
<center>http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg</center><br>
 
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Die Funktion http://wikis.zum.de/rsg/images/a/a6/Fm_x_term.jpg mit einer rationalen Zahl m heißt '''indirekte Proportionalität''' oder indirekt proportionale Funktion.  
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Die Funktion <math>f:x \rightarrow \frac{m}{x}</math> mit einer reellen Zahl <math>m \not = 0</math> heißt '''indirekte Proportionalität''' oder '''indirekt proportionale Funktion'''.  
 
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{{Arbeiten|NUMMER =2|
 
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ARBEIT=
 
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Bestimme die Definitionsmenge und die Wertemenge.
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Bestimme die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion <math>f:x \rightarrow \frac{24}{x}</math>.
  
 
Ist der Graph symmetrisch bezüglich des Koordinatensystems?
 
Ist der Graph symmetrisch bezüglich des Koordinatensystems?
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Desweiteren sieht man, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
 
Desweiteren sieht man, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
 
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{{Arbeiten|NUMMER = 3|
 
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ARBEIT=
 
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a) Stelle in diesem Applet
 
a) Stelle in diesem Applet
<ggb_applet width="604" height="484"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br>
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den Schieberegler für m so ein, dass es den Graphen von http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg  zeigt.
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den Schieberegler für m so ein, dass der Graphen der Funktion <math>f:x \rightarrow \frac{24}{x}</math> angezeigt wird.<br>
  
b) Beschreibe wie du den Graphen von http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg aus dem Graphen der Funktion <math>f:x \rightarrow \frac{1}{x}</math> erhältst?
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b) Beschreibe wie du den Graphen der Funktion <math>f:x \rightarrow \frac{24}{x}</math> aus dem Graphen der Funktion <math>f:x \rightarrow \frac{1}{x}</math> erhältst?<br>
  
 
c) Beantworte die Fragen auf dieser [http://www.realmath.de/Neues/Klasse8/hyperbel/hyperbel.html Seite] (wird im Mozilla Firefox nicht alles angezeigt, also mit Internet Explorer öffnen!).
 
c) Beantworte die Fragen auf dieser [http://www.realmath.de/Neues/Klasse8/hyperbel/hyperbel.html Seite] (wird im Mozilla Firefox nicht alles angezeigt, also mit Internet Explorer öffnen!).
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Der Funktionsterm von http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg ist ein Bruch, in dessen Nenner die Variable <math>x</math> vorkommt. Kommen im Nenner der Funktion <math>f</math> auch andere Terme mit <math>x</math> vor, z.B.<br>
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{{Lösung versteckt|1=
http://wikis.zum.de/rsg/images/e/eb/Bspl-rationale-funktion.jpg oder http://wikis.zum.de/rsg/images/d/dd/Bspl-rationale-funktion2.jpg<br>
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a) m = 24
dann spricht man von '''rationalen Funktionen'''.
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b) Jeder y-Wert der Funktion <math>f:x \rightarrow \frac{1}{x}</math>  wird mit 24 multiplilziert. Der Graph von <math>f:x \rightarrow \frac{1}{x}</math> wird in y-Richtung um den Faktor 24 gestreckt.
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Der Funktionsterm von http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg ist ein Bruch, in dessen Nenner die Variable <math>x</math> vorkommt. Kommen im Nenner der Funktion <math>f</math> auch andere Terme mit <math>x</math> vor, z.B.  
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http://wikis.zum.de/rsg/images/e/eb/Bspl-rationale-funktion.jpg oder http://wikis.zum.de/rsg/images/d/dd/Bspl-rationale-funktion2.jpg dann spricht man von '''rationalen Funktionen'''.
  
 
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Internetlinks:
  
 
Mehr über indirekte Proportionalität wiederholst du in [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_direktes_indirektes_verhaeltnis/iv_dv_final/index.htm diesem Lernpfad].
 
Mehr über indirekte Proportionalität wiederholst du in [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_direktes_indirektes_verhaeltnis/iv_dv_final/index.htm diesem Lernpfad].
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Alles über [http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Hyperbel/ Hyperbeln]

Aktuelle Version vom 7. April 2013, 06:42 Uhr

Eine Tafel Schokolade mit 24 Stücken soll auf Kinder verteilt werden. Wie viele Stückchen bekommt jedes Kind?

x bezeichne die Anzahl der Kinder und y die Anzahl der Schokoladenstückchen, die jedes Kind bekommt.

  Aufgabe 1  Stift.gif

a) Vervollständige die Tabelle: http://wikis.zum.de/rsg/images/6/67/Tab-24-x.jpg

b) Zeichne den Graph für dieses Beispiel.

c) Betrachte die Produkte x\cdot y. Was stellst du fest?


Nuvola apps kig.png   Merke


Eine Zuordnung zwischen zwei Größen x und y heißt indirekt proportional, wenn das Produkt x\cdot y für alle Paare (x,y) stets konstant ist, also x\cdot y = m.


In diesem Beispiel ist x eine natürliche Zahl zwischen 1 und 24.

Man kann die Funktion f: x \rightarrow \frac{24}{x} allgemein für alle reellen Zahlen x \not = 0 erklären.
Der Graph dieser Funktion schaut dann so aus:

http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg

Der Graph einer indirekten Proportionalität heißt Hyperbel.


Nuvola apps kig.png   Merke

Die Funktion f:x \rightarrow \frac{m}{x} mit einer reellen Zahl m \not = 0 heißt indirekte Proportionalität oder indirekt proportionale Funktion.


  Aufgabe 2  Stift.gif

Bestimme die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion f:x \rightarrow \frac{24}{x}.

Ist der Graph symmetrisch bezüglich des Koordinatensystems?


Da x im Nenner steht, darf x nicht 0 sein, also ist die Definitionsmenge R\{0}.

Eine solche Stelle, an der der Funktionsterm nicht definiert ist und in deren Nähe die Funktionswerte nach + Unendlich oder - Unendlich gehen, heißt Polstelle.

http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg

Aus dem Graph sieht man, dass 0 als Funktionswert nicht angenommen wird, ansonsten kommen alle reelle Zahlen als y-Werte vor, also ist die Wertemenge auch R\{0}.

Desweiteren sieht man, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.


  Aufgabe 3  Stift.gif

a) Stelle in diesem Applet


den Schieberegler für m so ein, dass der Graphen der Funktion f:x \rightarrow \frac{24}{x} angezeigt wird.

b) Beschreibe wie du den Graphen der Funktion f:x \rightarrow \frac{24}{x} aus dem Graphen der Funktion f:x \rightarrow \frac{1}{x} erhältst?

c) Beantworte die Fragen auf dieser Seite (wird im Mozilla Firefox nicht alles angezeigt, also mit Internet Explorer öffnen!).


a) m = 24

b) Jeder y-Wert der Funktion f:x \rightarrow \frac{1}{x} wird mit 24 multiplilziert. Der Graph von f:x \rightarrow \frac{1}{x} wird in y-Richtung um den Faktor 24 gestreckt.

Der Funktionsterm von http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg ist ein Bruch, in dessen Nenner die Variable x vorkommt. Kommen im Nenner der Funktion f auch andere Terme mit x vor, z.B. http://wikis.zum.de/rsg/images/e/eb/Bspl-rationale-funktion.jpg oder http://wikis.zum.de/rsg/images/d/dd/Bspl-rationale-funktion2.jpg dann spricht man von rationalen Funktionen.


Internetlinks:

Mehr über indirekte Proportionalität wiederholst du in diesem Lernpfad.

Alles über Hyperbeln