Rationale Funktionen hebbare Definitionslücken

Die Funktion

ist für die Nullstellen des Nenners $n(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ für $x \not= -2; 1$ nicht erklärt. Vereinfacht man den Funktionsterm $\frac{x-1}{x^2+x-2} =\frac{x-1}{(x+2)(x-1)}=\frac{1}{x+2}$ so ist der gekürzte Term $\frac{1}{x+2}$ für $x = 1$ erklärt mit dem Wert $\frac{1}{3}$. Man sagt, dass $x=1$ eine hebbare Definitionslücke ist.

Merke Ist $x_0$ eine Nullstelle des Zählers und des Nenners der gebrochen-rationalen Funktion $f:x\rightarrow \frac{z(x)}{n(x)}$ und existiert der Grenzwert $\lim_{x \to x_0}{f(x)}$, so nennt man $x_0$ eine hebbare Definitionslücke der Funktion $f$.

Die neue Funktion $\tilde f:x\rightarrow \frac{1}{x+2}$ ist für $x = 1$ mit dem Funktiionswert $f(1) = \frac{1}{3}$ definiert. Man kann also die Funktion $f$ in die hebbare Definitionslücke fortsetzen. Nimmt man den Funktionswert von $\tilde f(1)=\frac{1}{3}$, dann hat man die Funktion sogar stetig fortgesetzt.