http://medienvielfalt.zum.de/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Reinhard+SchmidtMedienvielfalt-Wiki - Benutzerbeiträge [de]2024-03-29T09:45:53ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.21.2http://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_2_Einfluss_von_bQuadratische Funktionen 2 Einfluss von b2014-03-26T17:51:39Z<p>Reinhard Schmidt: </p>
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Wir betrachten nun den Einfluss von <math> \ b </math> in <math>f: x \rightarrow x^2 + bx </math>. <br />
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enableRightClick="false" showAlgebraInput="false" enableShiftDragZoom="true" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="true" enableLabelDrags="false" showResetIcon="true" /></center><br />
<br />
# Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> \ b </math> ändern. <br><br />
# Stelle den Schieberegler auf <math> \ b = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br><br />
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> \ b = 3 </math> und <math> \ b = -1 </math> sowie <math> \ b = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung. <br><br />
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.<br />
<br />
|}<br />
}}<br />
<br />
{|<br />
|<br />
{{Arbeiten|NUMMER=B2|ARBEIT=<br />
<br />
:Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!<br />
}}<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
{|border="0" Zellspannung="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir in diesem Kapitel betrachtet haben, sind auch '''quadratische Funktionen'''. Sie haben den Funktionsterm '''ax<sup>2 </sup>+ bx'''.<br />
<br />
Wir lassen den Wert für a gleich und verändern nur den Wert für '''b'''.<br />
<br /><br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=B3|<br />
ARBEIT=<br />
:Untersuche an dem Applet rechts den '''Einfluss von b''' auf den Verlauf des Graphen.<br />
:#Was bleibt gleich?<br />
:#Was ändert sich?<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=B4|<br />
ARBEIT=<br />
#Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem blauen und grünen Graphen? Experimentiere erneut mit dem Applet und bestätige deine Vermutung.<br />
#Setzt den Satz fort: "''Die Graphen liegen spiegelbildlich bezüglich der y-Achse für'' ... <br />
}}<br />
<br />
|width=20px|<br />
|valign="top"|<ggb_applet height="400" width="450" filename="Quadratisch_b.ggb" /><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
|}<br />
<br />
----<br />
'''Aufgabe B1:''' {{Lösung versteckt|<br />
:Man erhält den Graph der Funktion <math> f: x \rightarrow x^2 + bx</math> <br />
<br />
:aus dem Graph der Quadratfunktion <math>q: x \rightarrow x^2 </math> durch Verschiebung sowohl in x- wie auch in y-Richtung <br />
<br />
:Genauer:<br />
<br />
:* Ist b > 0, so wird die Normalparabel schräg nach links unten verschoben. <br />
:* Ist b < 0, so wird die Normalparabel schräg nach recht unten verschoben.<br />
:* Je größer der Betrag von b ist, desto mehr wird in y-Richtung verschoben<br />
:* Der Graph zu -b ist spiegelsymmetrisch bezüglich der y-Achse zum Graph von b. <br />
:* Die Scheitel aller Graphen zu <math> f: x \rightarrow x^2 + bx</math> liegen auf der dem Graphen der Funktion <math>-q: x \rightarrow -x^2</math> }}<br />
<br />
'''Aufgabe B2:''' {{Lösung versteckt|1=<br />
:Zum Graph der Quadratfunktion <math>q: x \rightarrow x^2 </math>, der Normalparabel, wird noch die Gerade y = bx addiert. Daher kommt für positives b im III.Quadrant ein negativer und im I. Quadrant ein positiver Anteil, für negatives b im II.Quadrant ein positiver und im IV. Quadrant ein negativer Anteil dazu. Dies bewirkt eine Verschiebung des Scheitels. Ansonsten hat der Graph weiterhin das Aussehen einer Normalparabel. <br />
}}<br />
<br />
'''Aufgabe B3:''' {{Lösung versteckt|1=<br />
#Die Weite der Parabel bleibt gleich. <br />
#Der Scheitel wird verschoben.<br />
}}<br />
<br />
'''Aufgabe B4:''' {{Lösung versteckt|1=<br />
#Der blaue und der grüne Graph liegen symmetrisch zur y-Achse.<br />
#Die Graphen liegen spiegelbildlich bezüglich der y-Achse für''' b = 2 und b = -2'''.<br />
}}<br />
<br />
<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe B1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!<br />
<br />
----<br />
Zurück zu [[Quadratische_Funktionen_2_-_Allgemeine_quadratische_Funktion|'''6. Allgemeine quadratische Funktion''']]</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_2_Einfluss_von_bQuadratische Funktionen 2 Einfluss von b2014-03-26T17:11:56Z<p>Reinhard Schmidt: </p>
<hr />
<div>Zurück zu [[Quadratische_Funktionen_2_-_Allgemeine_quadratische_Funktion|'''6. Allgemeine quadratische Funktion''']]<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
{|<br />
|<br />
Wir betrachten nun den Einfluss von <math> \ b </math> in <math>f: x \rightarrow x^2 + bx </math>. <br />
:<br />
:<br />
{{Arbeiten|NUMMER=B1|ARBEIT =<br />
<br />
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" enableRightClick="false" showAlgebraInput="false" enableShiftDragZoom="true" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="true" enableLabelDrags="false" showResetIcon="true" /></center><br />
<br />
# Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> \ b </math> ändern. <br><br />
# Stelle den Schieberegler auf <math> \ b = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br><br />
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> \ b = 3 </math> und <math> \ b = -1 </math> sowie <math> \ b = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung. <br><br />
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.<br />
<br />
|}<br />
}}<br />
<br />
{|<br />
|<br />
{{Arbeiten|NUMMER=B2|ARBEIT=<br />
<br />
:Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!<br />
}}<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
{|border="0" Zellspannung="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir in diesem Kapitel betrachtet haben, sind auch '''quadratische Funktionen'''. Sie haben den Funktionsterm '''ax<sup>2 </sup>+ bx'''.<br />
<br />
Wir lassen den Wert für a gleich und verändern nur den Wert für '''b'''.<br />
<br /><br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=B3|<br />
ARBEIT=<br />
:Untersuche an dem Applet rechts den '''Einfluss von b''' auf den Verlauf des Graphen.<br />
:#Was bleibt gleich?<br />
:#Was ändert sich?<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=B4|<br />
ARBEIT=<br />
#Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem blauen und grünen Graphen? Experimentiere erneut mit dem Applet und bestätige deine Vermutung.<br />
#Setzt den Satz fort: "''Die Graphen liegen spiegelbildlich bezüglich der y-Achse für'' ... <br />
}}<br />
<br />
|width=20px|<br />
|valign="top"|<ggb_applet height="400" width="450" filename="Quadratisch_b.ggb" /><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
|}<br />
<br />
----<br />
'''Aufgabe B1:''' {{Lösung versteckt|<br />
:Man erhält den Graph der Funktion <math> f: x \rightarrow x^2 + bx</math> <br />
<br />
:aus dem Graph der Quadratfunktion <math>q: x \rightarrow x^2 </math> durch Verschiebung sowohl in x- wie auch in y-Richtung <br />
<br />
:Genauer:<br />
<br />
:* Ist b > 0, so wird die Normalparabel schräg nach links unten verschoben. <br />
:* Ist b < 0, so wird die Normalparabel schräg nach recht unten verschoben.<br />
:* Je größer der Betrag von b ist, desto mehr wird in y-Richtung verschoben<br />
:* Der Graph zu -b ist spiegelsymmetrisch bezüglich der y-Achse zum Graph von b. <br />
:* Die Scheitel aller Graphen zu <math> f: x \rightarrow x^2 + bx</math> liegen auf der dem Graphen der Funktion <math>-q: x \rightarrow -x^2</math> }}<br />
<br />
'''Aufgabe B2:''' {{Lösung versteckt|1=<br />
:Zum Graph der Quadratfunktion <math>q: x \rightarrow x^2 </math>, der Normalparabel, wird noch die Gerade y = bx addiert. Daher kommt für positives b im III.Quadrant ein negativer und im I. Quadrant ein positiver Anteil, für negatives b im II.Quadrant ein positiver und im IV. Quadrant ein negativer Anteil dazu. Dies bewirkt eine Verschiebung des Scheitels. Ansonsten hat der Graph weiterhin das Aussehen einer Normalparabel. <br />
}}<br />
<br />
'''Aufgabe B3:''' {{Lösung versteckt|1=<br />
#Die Weite der Parabel bleibt gleich. <br />
#Der Scheitel wird verschoben.<br />
}}<br />
<br />
'''Aufgabe B4:''' {{Lösung versteckt|1=<br />
#Der blaue und der grüne Graph liegen symmetrisch zur y-Achse.<br />
#Die Graphen liegen spiegelbildlich bezüglich der y-Achse für''' b = 2 und b = -2'''.<br />
}}<br />
<br />
<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe B1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!<br />
<br />
----<br />
Zurück zu [[Quadratische_Funktionen_2_-_Allgemeine_quadratische_Funktion|'''6. Allgemeine quadratische Funktion''']]</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Datei:Didaktischer_Kommentar_quad_Fkt.pdfDatei:Didaktischer Kommentar quad Fkt.pdf2009-04-01T17:41:00Z<p>Reinhard Schmidt: hat eine neue Version von „Bild:Didaktischer Kommentar quad Fkt.pdf“ hochgeladen: {{Information
|Beschreibung = Didaktischer Kommentar zum Lernpfad "Quadratische Funktionen"
|Urheber = Reinhard Schmidt
|Datum = 1.4.2009
}}</p>
<hr />
<div>* Beschreibung: Didaktischer Kommentar zum Lernpfad: Einführung in die quadratischen Funktionen<br />
* Autor: Reinhard Schmidt<br />
* Datum: 7.10.2008<br />
* Lizenz: {{MV-Lizenz}}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Datei:Didaktischer_Kommentar.pdfDatei:Didaktischer Kommentar.pdf2009-04-01T17:38:29Z<p>Reinhard Schmidt: hat eine neue Version von „Bild:Didaktischer Kommentar.pdf“ hochgeladen: Zurückgesetzt auf die Version vom 28. März 2009, 14:20 Uhr</p>
<hr />
<div>{{Information_ohne_UploadWizard<br />
|Beschreibung = <br />
|Quelle = <br />
|Urheber = <br />
|Datum = <br />
|Genehmigung = <br />
|Andere Versionen = <br />
|Anmerkungen = <br />
}}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Datei:Didaktischer_Kommentar.pdfDatei:Didaktischer Kommentar.pdf2009-04-01T17:37:11Z<p>Reinhard Schmidt: hat eine neue Version von „Bild:Didaktischer Kommentar.pdf“ hochgeladen: {{Information
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}</p>
<hr />
<div>{{Information_ohne_UploadWizard<br />
|Beschreibung = <br />
|Quelle = <br />
|Urheber = <br />
|Datum = <br />
|Genehmigung = <br />
|Andere Versionen = <br />
|Anmerkungen = <br />
}}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Vorlage:AutorenVorlage:Autoren2009-03-29T08:21:49Z<p>Reinhard Schmidt: </p>
<hr />
<div>{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border: 1px solid {{{Rand|#b2b2b2}}}; background-color: {{{Hintergrund|#f8f8ff}}}; border-left: 1px solid {{{RandLinks|#b2b2b2}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|60%}}}"<br />
|- <br />
| <div style="float:left; margin:5px; margin-top:5px">[[Bild:Team.gif|150px]]</div><br />
<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:8px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">Dieser Lernpfad wurde erstellt von:</div><br />
{{{1}}}<br />
|}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_%C3%9Cbungen_3Quadratische Funktionen - Übungen 32009-03-29T07:25:40Z<p>Reinhard Schmidt: </p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|Übungen 1]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen2|Übungen 2]] - [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine quadratische Funktion|Allgemeine quadratische Funktion]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen3|Übungen 3]] - <br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|Abschlusstest]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Aufgabe 1: Funktionsterm finden'''</big><br />
{|<br />
|width=300px|<br />
<br />
Die Parabel hat die Funktionsgleichung <br />
<br />
'''f(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c'''.<br />
<br />
Welcher Funktionsterm passt?<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
(-0,5x<sup>2</sup> + 2x - 1) (!0,5x<sup>2</sup> - 2x + 3) (!-2x<sup>2</sup> + 8x - 7) (!-0,5x<sup>2</sup> + 2x + 1) (!0,5x<sup>2</sup> - 2x - 1) <br />
</div><br />
<br />
|width=20px|<!--Diese Spalte bleibt leer und legt den Abstand zwischen Text und Bild fest--><br />
|valign="top" |<br />
[[Bild:Üb3_Parabel_5.jpg|380px]]<br />
</div><br />
<br />
|}<br />
<br><br><br />
<br />
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Aufgabe 2: Term und Graph zuordnen'''</big><br />
<br />
'''Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.'''<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
{| <br />
|- <br />
| [[Bild:Üb3_Parabel_1.jpg]] || [[Bild:Üb3_Parabel_3.jpg]] || [[Bild:Üb3_Gerade_1.jpg]] || [[Bild:Üb3_Parabel_4.jpg|150px]] || [[Bild:Üb3_Gerade_2.jpg|150px]] || [[Bild:Üb3_Parabel_2.jpg|150px]] <br />
|- <br />
| <strong> x<sup>2</sup> + 3 </strong> || <strong> -x<sup>2</sup> + 3 </strong> || <strong> -x + 3 </strong> || <strong> -x<sup>2</sup> - 3</strong> || <strong> x - 3 </strong> || <strong> x<sup>2</sup> - 3</strong><br />
|}<br />
<br />
</div></div><br />
<br><br><br />
<br />
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Aufgabe 3: Multiple Choice'''</big><br />
<br />
'''Kreuze jeweils alle richtigen Aussagen an.'''<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
'''f(x) = –2x<sup>2</sup> + 3x – 4''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|-6] liegt auf dem Graphen.) (Der Punkt [1|1] liegt nicht auf dem Graphen.)<br />
<br />
<br />
'''Welche Terme gehören zu einer Funktion, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist?''' (7x<sup>2</sup>) (7x<sup>2</sup> - 2) (7x<sup>2</sup> + 3) (!7x<sup>2</sup> - 2x) (!7x<sup>2</sup> + 3x) (!7x<sup>2</sup> - 2x + 3) <br />
<br />
<br />
'''Welche der Termpaare gehören zu Funktionen, deren Graphen bezüglich der y-Achse symmetrisch zueinander sind?''' (!7x<sup>2</sup> und -7x<sup>2</sup>) (7x<sup>2</sup> - 2x und 7x<sup>2</sup> + 2x) (!7x<sup>2</sup> - 2x und -7x<sup>2</sup> + 2x) (!7x<sup>2</sup> - 2 und 7x<sup>2</sup> + 2) (-7x<sup>2</sup> + 2x und -7x<sup>2</sup> - 2x) <br />
<br />
<br />
'''Welche der Termpaare gehören zu Funktionen, deren Graphen bezüglich der x-Achse symmetrisch zueinander sind?''' (7x<sup>2</sup> und -7x<sup>2</sup>) (!7x<sup>2</sup> - 2x und 7x<sup>2</sup> + 2x) (!7x<sup>2</sup> - 2 und 7x<sup>2</sup> + 2) (7x<sup>2</sup> - 2 und -7x<sup>2</sup> + 2) (!7x<sup>2</sup> - 2 und -7x<sup>2</sup> + 2x) <br />
</div></div><br />
<br />
<br><br><br />
<br />
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Aufgabe 4: Memo-Quiz'''</big><br />
<br />
Finde die richtigen Paare - je ein Funktionsterm und ein Funktionsgraph gehören zusammen. Achte auf die wesentlichen Eigenschaften der Funktion (Öffnung der Parabel, Lage des Scheitels, Nullstellen).<br />
<br />
:::{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="600"|<br />
<div class="memo-quiz"><br />
<br />
{| <br />
|-<br />
| <big> '''f(x) = x<sup>2</sup> + 3'''</big> || [[Bild:Üb3_Parabel_1a.jpg|120px]] <br />
|-<br />
| <big> '''f(x) = -x<sup>2</sup> + 3'''</big> || [[Bild:Üb3_Parabel_3a.jpg|120px]]<br />
|-<br />
| <big> '''f(x) = 3x<sup>2</sup>'''</big> || [[Bild:Parabel_a_3a.jpg|120px]] <br />
|-<br />
| <big> '''f(x) = 0,2x<sup>2</sup>'''</big> || [[Bild:Parabel_a_0_2a.jpg|120px]]<br />
|-<br />
| <big> '''f(x) = x<sup>2</sup> + 2x''' </big> || [[Bild:Üb3_Parabel_6.jpg|120px]] <br />
|-<br />
| <big> '''f(x) = –x<sup>2</sup> + 2x'''</big> || [[Bild:Üb3_Parabel_7.jpg|120px]] <br />
|-<br />
| <big> '''f(x) = x<sup>2</sup> – 2x – 3''' </big> || [[Bild:Üb3_Parabel_8.jpg|120px]]<br />
|-<br />
| <big> '''f(x) = –x<sup>2</sup> – 2x + 3'''</big> || [[Bild:Üb3_Parabel_9.jpg|120px]] <br />
|}<br />
<br />
</div><br />
<br />
<br />
|}<br />
</div><br />
<br />
<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Zum Abschluss: ein Test!'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_%C3%9Cbungen_2Quadratische Funktionen - Übungen 22009-03-29T07:24:54Z<p>Reinhard Schmidt: </p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|Übungen 1]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen2|Übungen 2]] - [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine quadratische Funktion|Allgemeine quadratische Funktion]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen3|Übungen 3]] - <br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|Abschlusstest]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
{|<br />
<br />
|-<br />
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Aufgabe 1: Anhalteweg'''</big><br />
<br />
Die Funktion '''s(v) = 0,1v<sup>2</sup> + 1,5v''' ist ein Beispiel für eine Funktion, die den Zusammenhang zwischen der anfänglichen Geschwindigkeit eines Fahrzeuges in m/s und dem Anhalteweg für einen konkreten Bremsvorgang angibt.<br />
<br />
#Welchen Wert hat in diesem Beispiel die Reaktionszeit t<sub>R</sub>?<br />
#Welchen Wert hat die Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub>?<br />
#Wie lang ist der Anhalteweg bei einer anfänglichen Geschwindigkeit von 72 km/h (also 20 m/s)?<br />
#Wie könnte der Anhalteweg verringert werden?<br />
<br><br />
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;"><br />
&nbsp;{{Lösung versteckt|1=<br />
#1,5v steht für den Reaktionsweg, d.h. t<sub>R</sub> = 1,5 s<br />
#<math>\frac{1}{2a_B} = 0,1 </math> <=> <math>\frac{1}{2a_B} = \frac{1}{10} </math> <=> 2a<sub>B</sub> = 10 <=> a<sub>B</sub> = 5 (m/s<sup>2</sup>)<br />
#s(20) = 0,1·20<sup>2</sup> + 1,5·20 = 40 + 30 = 70 (m)<br />
#Bremsbeschleunigung erhöhen (besserer Fahrbahnbelag, gute Reifen), Reaktionszeit verringern (erhöhte Aufmerksamkeit, Bremsentechnik), Geschwindigkeit reduzieren<br />
}}<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
|}<br />
<br />
{|<br />
<br />
|-<br />
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Aufgabe 2: Bestimme a und b'''</big><br />
<br />
{|<br />
|width=395px|<br />
<br />
Die Parabel hat die Funktionsgleichung '''f(x) = ax<sup>2</sup> + bx'''.<br />
<br />
Finde heraus, welche Werte a und b besitzen und erkläre wie du vorgegangen bist. <br />
<br />
<div style="padding:1px;background:#ffffff;border:0px groove;"><br />
'''Hilfe:''' {{Versteckt|1=<br />
Lies die Koordinaten zweier Punkte aus dem Graphen ab und setze sie in die Funktionsgleichung ein.<br />
}}<br />
</div><br />
<br><br />
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;"><br />
&nbsp;{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte (4/0) und (2/-2) liegen auf der Parabel, es gilt also<br />
:* 0 = a·4<sup>2</sup> + b·4 --> b = - 4a<br />
:* - 2 = a·2<sup>2</sup> + b·2 --> b = -1 - 2a<br />
daraus folgt -4a = -1 -2a --> '''a = 0,5 und b = - 2'''<br />
}}<br />
</div><br />
|}<br />
<br />
|width=10px|<!--Diese Spalte bleibt leer und legt den Abstand zwischen Text und Bild fest--><br />
|valign="top" |<br />
[[Bild:Üb2_Parabel_7.jpg|380px]]<br />
</div><br />
<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px grey;"><br />
<big>'''Aufgabe 3: Term und Graph zuordnen'''</big><br />
<br />
'''Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.'''<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
{| <br />
|- <br />
| [[Bild:Üb2_Parabel1.jpg]] || [[Bild:Üb2_Parabel6.jpg]] || [[Bild:Üb2_Parabel3.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel5.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel4.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel2.jpg|150px]] <br />
|- <br />
| <strong> x<sup>2</sup> + 2x</strong> || <strong> 0,5x<sup>2</sup> + 2x </strong> || <strong> -x<sup>2</sup> + 2x</strong> || <strong> 0,5x<sup>2</sup> - 2x</strong> || <strong> -x<sup>2</sup> - 2x</strong> ||<strong> x<sup>2</sup> - 2x</strong><br />
|}<br />
</div><br />
</div><br />
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br />
{|<br />
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px grey;"><br />
<big>'''Aufgabe 4'''</big><br />
<br />
'''Kreuze jeweils alle richtigen Aussagen an.'''<br />
|<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''f(x) = 2x<sup>2</sup> - 4x''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [-1|6] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [-1|-2] liegt auf dem Graphen.)<br />
<br />
'''f(x) = - 0,25x<sup>2</sup> + 3x''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (!Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|5] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [2|7] liegt auf dem Graphen.)<br />
<br />
'''Welche der Termpaare gehören zu Funktionen, deren Graphen bezüglich der y-Achse symmetrisch zueinander sind?''' (!7x<sup>2</sup> und -7x<sup>2</sup>) (7x<sup>2</sup> - 2x und 7x<sup>2</sup> + 2x) (!7x<sup>2</sup> - 2x und -7x<sup>2</sup> + 2x) (!7x<sup>2</sup> - 2 und 7x<sup>2</sup> + 2) (-7x<sup>2</sup> + 2x und -7x<sup>2</sup> - 2x) (!7x<sup>2</sup> - 2 und 7x<sup>2</sup> + 2x) <br />
</div><br />
</div><br />
|}<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes lernst du die allgemeine quadratische Funktion kennen.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine_quadratische_Funktion|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Zugang_zur_PoissonverteilungZugang zur Poissonverteilung2009-03-28T19:33:36Z<p>Reinhard Schmidt: </p>
<hr />
<div>{{Kasten1000|<br />
<br />
BREITE =100%|<br />
ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|<br />
INHALT1=<br />
Dieser Lernpfad bietet eine kurze Einführung in das Thema diskrete Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen anhand eines Anwendungsbeispiels. Dabei wird eine Unfallstatistik als Maß der Sicherheit genauer untersucht. Als Alternative zur im Unterricht häufig verwendeten Binomialverteilung wird hier bewusst die Poissonverteilung eingesetzt.|<br />
INHALT2=Kompetenzen:|<br />
INHALT2a=<br />
'''Das kannst du schon:'''<br />
* Werte einer Tabelle grafisch darstellen und interpretieren<br />
* statistische Zentral - und Streuungsmaße berechnen und ihre Bedeutung kennen<br />
* die Begriffe des Zufalls, der Zufallsvariablen und der Wahrscheinlichkeitsfunktion kennen<br />
* Treppenfunktionen zeichnen und ihren Graph interpretieren ||<br />
INHALT2b=<br />
'''Das kannst du lernen:'''<br />
* Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell<br />
* grafische Darstellung diskreter Zufallsvariable erkennen <br />
* Treppenfunktionen als Graphen von diskreten Verteilungsfunktionen identifizieren <br />
* charakteristische Merkmale einer poissonverteilten Zufallsvariable kennenlernen <br />
* Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben|<br />
INHALT3=<br />
Für die Lehrerinnen und Lehrer:<br /><br />
{{pdf|Didaktischer_Kommentar.pdf|Didaktischer Kommentar}}<br />
<br />
}}<br />
<br />
----<br />
<br />
= Es gibt nur gute Autofahrer, oder? =<br />
<br />
== Die Behauptung==<br />
<br />
<br />
Die meisten Autofahrer behaupten von sich, dass ihre Fahrkünste nicht schlechter als durchschnittlich sind. Ist das möglich oder handelt es sich um Selbstüberschätzung?<br />
Wie kann man die Fahrkünste überhaupt bewerten?<br />
Als Maß der Sicherheit soll die Anzahl der Unfälle gelten, in die ein(e) Fahrer(in) im Laufe des Lebens verwickelt ist. <br />
<br />
<br />
<br />
== Statistische Auswertung==<br />
<br />
<br />
Da als Maß der Sicherheit die Anzahl der Unfälle gilt, in die ein(e) Fahrer(in) im Laufe des Lebens verwickelt ist, legen wir unserer Analyse eine Unfallstatistik zugrunde. Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat:<br />
Stichprobe: 100 Fahrer<br />
<br />
<br />
{| class="prettytable" valign="center"<br />
|+ Unfallstatistik<br />
! style="background: #FFDDDD;"|Anzahl der Unfälle<br />
| 0<br />
| 1<br />
| 2<br />
| 3<br />
| 4<br />
| 5<br />
| 6<br />
| 7<br />
| 8<br />
| 9<br />
| 10<br />
| 11<br />
| 12<br />
| 13<br />
| 14<br />
| 15<br />
| 16<br />
| 17<br />
| 18<br />
| 19<br />
| 20<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|Personen<br />
| 6<br />
| 17<br />
| 23<br />
| 20<br />
| 14<br />
| 9<br />
| 4<br />
| 1<br />
| 1<br />
| 1<br />
| 1<br />
| 1<br />
| 1<br />
| 0<br />
| 0<br />
| 0<br />
| 0<br />
| 1<br />
| 0<br />
| 0<br />
| 0<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
{{Arbeiten|NUMMER=|<br />
ARBEIT=# Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem dar.<br />
# In wie viele Unfälle ist ein "durchschnittlicher" Autofahrer verwickelt? Berechne wichtige statistische Zentral- und Streuungsmaße und interpretiere deine Ergebnisse!<br />
# Berechne, wie viele Autofahrer der Stichprobe nicht schlechter als der Durchschnitt sind, wenn man die Anzahl der Unfälle als Maß nimmt!}}<br />
<br />
<br />
'''Lösung:'''<br />
{{versteckt|Mittelwert: 3,22<br /><br />
Anzahl der Autofahrer mit höchstens 3 Unfällen: 66 von 100, also 66%.<br />
[http://www.hakhorn.ac.at/mathematik/mv/Autofahrer1.xls Lösung als Excel-Datei]}}<br />
----<br />
<br />
= Der Begriff der Wahrscheinlichkeitsfunktion=<br />
<br />
Natürlich wirst du sofort als Beurteilung der Sicherheit eines Autofahrers bzw. einer Autofahrerin die Anzahl der Unfälle, in welche die Person im Laufe ihres Lebens verwickelt war, heranziehen. <br />
<br />
== Die Zufallsvariable==<br />
<br />
; Zufallsvariable<br />
<br />
{{Merksatz|MERK= Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperimentes verschiedenene, nicht vorhersagbare Zahlen x zu.}}<br />
<br />
<br />
In diesem Beispiel ist die Zufallsvariable X das Maß der Sicherheit eines Autofahrers, es werden hier entsprechend die Anzahlen der Unfälle, also die Zahlen 0 bis 20 zugeordnet.<br />
<br />
; diskrete Zufallsvariable<br />
<br />
{{Merksatz|MERK= Wenn dabei die zugeordneten Werte abzählbar sind, also einem Zählprozess zugrunde liegen, spricht man von '''diskreten Zufallsvariablen'''.}}<br />
<br />
----<br />
{{Arbeiten|NUMMER=|<br />
ARBEIT=Finde eigenständig weitere Beispiele für diskrete Zufallsvariable!}}<br />
----<br />
<br />
<br />
Wir wollen nun versuchen, aus der vorliegenden Stichprobe der Polizei etwas allgemeinere Aussagen treffen zu können. Da es sich um eine Stichprobe mittlerer Größe handelt, ist es sinnvoll, sich die relativen Häufigkeiten genauer anzusehen.<br />
<br />
<br />
----<br />
{{Arbeiten|NUMMER=|<br />
ARBEIT=# Recherchiere eigenständig, was man unter der "statistischen Definition von Wahrscheinlichkeit" versteht.<br />
# Stelle die Wahrscheinlichkeitsfunktion dieses Beispiels mit Hilfe relativer Häufigkeiten sowohl in einer Tabelle als auch grafisch dar!}}<br />
<br />
{| class="prettytable" valign="center"<br />
|+ Unfallstatistik<br />
! style="background: #FFDDDD;"|Zufallsvariable (Anzahl der Unfälle) X=x<br />
| x=0<br />
| x=1<br />
| x=2<br />
| x=3<br />
| x=4<br />
| x=5<br />
| x=6<br />
| x=7<br />
| x=8<br />
| x=9<br />
| x=10<br />
| x=11<br />
| x=12<br />
| x=13<br />
| x=14<br />
| x=15<br />
| x=16<br />
| x=17<br />
| x=18<br />
| x=19<br />
| x=20<br />
<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|relative Häufigkeiten<br />
| 0.06<br />
| 0,17<br />
| 0,23<br />
| 0,20<br />
| <br />
| <br />
| <br />
| <br />
| <br />
| <br />
| <br />
|<br />
| <br />
| <br />
| <br />
| <br />
| <br />
| <br />
| <br />
| <br />
| <br />
|}<br />
<br />
<br />
'''Lösung zu 1:'''<br />
{{versteckt|1=<br />
Approximation der (statistischen) Wahrscheinlichkeit mit Hilfe von relativen Häufigkeiten:<br />
Nähern sich bei wachsendem Stichprobenumfang die relativen Häufigkeiten des Eintretens eines Ereignisses E einer bestimmten Zahl p(E) so bezeichnet man p(E) als Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignises E. Man schreibt <math>p(E)\approx h_n</math> für sehr großes n.<br />
Diese statistische Definition der Wahrscheinlichkeit findet vor allem dann Anwendung, wenn man kein mathematisches Modell zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit findet. Es handelt sich um eine empirische Größe, die eine große Versuchsreihe voraussetzt, um einen guten „Schätzwert“ liefern zu können.}}<br />
<br />
'''Lösung zu 2:'''<br />
{{versteckt|[http://www.hakhorn.ac.at/mathematik/mv/Autofahrer2.xls Lösung als Excel-Datei]}}<br />
----<br />
<br />
== Die Darstellung mittels relativer Häufigkeiten==<br />
<br />
; Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariable<br />
<br />
{{Merksatz|MERK= Unter einer Wahrscheinlichkeitsfunktion f der diskreten Zufallsvariablen X versteht man die Funktion, die den Funktionswerten von X, also den zugeordneten Werten x die Wahrscheinlichkeit p ihres Eintretens zuordnet.}}<br />
<br />
<br />
In diesem Beispiel entspricht die grafische Darstellung der relativen Häufigkeiten also einer Wahrscheinlichkeitsfunktion.<br />
<br />
----<br />
{{Arbeiten|NUMMER=|<br />
ARBEIT=Beschreibe den Verlauf der Funktionswerte. Macht es Sinn, die einzelnen Werte miteinander zu verbinden?}}<br />
<br />
Lösung:<br />
{{versteckt|Die Verteilung ist deutlich asymmetrisch, da der Erwartungswert bei 3 Unfällen liegt und die meisten Personen eher in wenige Unfälle verwickelt sind. Größere Unfallanzahlen treten hingegen viel seltener auf.<br />
Da Unfälle nur ganzzahlige auftreten können (du kannst nicht 0,3 Unfälle haben) ist es nicht sinnvoll, die einzelnen Werte zu verbinden. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist deshalb nur für ganzzahlige nicht negative Werte definiert.}}<br />
----<br />
<br />
= Die Poissonverteilung=<br />
<br />
; Poisson-Verteilung<br />
<br />
{{Merksatz|MERK= Wahrscheinlichkeitsfunktionen mit einer grafischen Darstellung wie jener des Autofahrerbeispiels, wurden nach dem französischen Mathematiker Simeón Denis Poisson (1781–1840) benannt und treten bei sehr seltenen Ereignissen und einer großen Stichprobe auf. Poisson hat erkannt, dass der Verlauf der relativen Häufigkeiten eine Form hat, die an den Graphen folgender Funktion erinnert:<br /><math>f(x)={{e^{{-p\cdot n}}}\cdot (p\cdot n)^x \over x!}</math> , wobei p die Wahrscheinlichkeit darstellt, mit welcher das Ereignis eintritt; n ist die Anzahl der Stichprobengröße.}}<br />
<br />
<br />
----<br />
{{Arbeiten|NUMMER=|<br />
ARBEIT=Finde durch Probieren mit Hilfe des GeoGebra-Applets eine POISSONVERTEILUNG, die der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Autounfälle möglichst nahe kommt. Variiere dabei die Parameter p und n durch Einsetzen der Schieberegler.}}<br />
<br />
<br />
<br />
<ggb_applet height="400" width="800" filename="Poisson_1.ggb" /><br />
----<br />
<br />
<br />
= Der Begriff der Verteilungsfunktion=<br />
<br />
In der ursprünglichen Aufgabenstellung interessiert uns nicht die Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Autofahrer im Laufe seines Lebens eine bestimmte Anzahl von Unfällen hat. <br />
Vielmehr interessiert uns die Wahrscheinlichkeit, mit welcher Zufallsvariable Werte annehmen, die nicht größer als ein fest vorgegebener Wert sind, also ein Autofahrer nicht mehr als vier Unfälle im Laufe seines Lebens hat.<br />
<br />
----<br />
{{Arbeiten|NUMMER=|<br />
ARBEIT=#Berechne die summierten Häufigkeiten und stelle diese sowohl in einer Tabelle als auch grafisch dar! <br />
# Überlege, warum sich die Funktionswerte bei größer werdenden x-Werten der Zahl 1 annähern müssen, sie jedoch nie überschreiten!<br />
# Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Autofahrer höchstens 3 Unfälle hat? Berechne die Lösung sowohl mit Hilfe der Werte der Stichprobe als auch annähernd durch die POISSONVERTEILUNG. <br />
# Formuliere allgemein die Verteilungsfunktion der POISSONVERTEILUNG.}}<br />
<br />
'''Lösung zu 1:'''<br />
{{versteckt|[http://www.hakhorn.ac.at/mathematik/mv/Autofahrer4.xls Lösung als Excel-Datei]}}<br />
'''Lösung zu 2:'''<br />
{{versteckt|1=<br />
Die Wahrscheinlichkeit <math>\le</math>höchste Anzahl ist ein sicheres Ereignis und liegt bei 100% bzw. 1.}}<br />
'''Lösung zu 3:'''<br />
{{versteckt|1=<br />
P(X<math>\le</math>3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=66%; POISSONVERTEILUNG: zB. bei n=4500, p=0,00062: 69%}}<br />
'''Lösung zu 4:'''<br />
{{versteckt|1=<br />
F(x)=f(X=0)+f(X=1)+f(X=2)+f(X=3), Formulierung als Summe: <math>F(x)=\sum_{k=0}^x f(k)</math>}}<br />
----<br />
<br />
Da es bei dieser Darstellung Sprungstellen bei den jeweils ganzzahligen Werten gibt, handelt es sich bei der grafischen Darstellung solcher Verteilungsfunktionen um Treppenfunktionen.<br />
<br />
= Weitere Aufgaben =<br />
Zum Schluss noch weitere Aufgaben, um die neuerlernte Poissonverteilung selbständig anzuwenden:<br />
<br />
{{Arbeiten|NUMMER=|<br />
ARBEIT=Ein deutscher Statistiker namens Bortkiewicz führte zu Beginn des 20. Jahrhunderts eine versicherungsmathematisch interessante Untersuchung durch:<br />
Zu wie vielen tödlichen Unfällen durch Pferdehufschlag kam es in der preußischen Armee? <br />
Die folgende Tabelle enthält die Statistik der Unfallopfer von 10 Kavallerieregimentern für einen Zeitraum von 20 Jahren (dies entspricht 200 "Regimentsjahren"). Berechne das arithmetische Mittel und setzte diese Zahl als Parameter <math>\lambda</math> ein´. (Erwartungswert <math>\lambda=p\cdot n</math>). Vergleiche mit Hilfe einer Tabelle die Werte der relativen Häufigkeiten und der possionverteilten Wahrscheinlichkeitsfunktion!}}<br />
<br />
{| class="prettytable" valign="center"<br />
|+ Unfallstatistik<br />
! style="background: #FFDDDD;"|Zahl der Todesopfer<br />
| 0<br />
| 1<br />
| 2<br />
| 3<br />
| 4<br />
| >4<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|Zahl der Regimentsjahre<br />
| 109<br />
| 65<br />
| 22<br />
| 3<br />
| 1<br />
| 0<br />
|}<br />
<br />
{{Arbeiten|NUMMER=|<br />
ARBEIT=Die mittlere Ankunftsrate der Bestellungen per E-Mail auf unserem Server beträgt <math>\lambda=4</math> pro Tag.<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 8 Bestellungen pro Tag hereinkommen.}} <br />
<br />
{{Arbeiten|NUMMER=|<br />
ARBEIT=Die Häufigkeit von Kreditausfällen kann näherungsweise durch eine POISSON-Verteilung dargestellt werden. <br />
Wie groß ist für ein Portfolio von z.B. n=1000 Krediten mit einer einheitlichen und unabhängigen Ausfallwahrscheinlichkeit von p=1% die Wahrscheinlichkeit, dass es – etwa innerhalb eines Jahres – zu mehr als 2 Ausfällen kommt.}}<br />
<br />
<br />
{{Autoren|Peter Hofbauer, Heidi Metzger-Schuhäker, Gabi Bleier}}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_BremsbeschleunigungQuadratische Funktionen - Bremsbeschleunigung2009-03-28T19:31:20Z<p>Reinhard Schmidt: /* Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|Übungen 1]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen2|Übungen 2]] - [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine quadratische Funktion|Allgemeine quadratische Funktion]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen3|Übungen 3]] - <br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|Abschlusstest]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===<br />
<br />
Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.<br />
Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg. <br />
<br />
In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:<br /><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math> <br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und a<sub>B</sub> = Bremsbeschleunigung in m/s²). <br />
<br />
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.<br /><br />
''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.<br />
<br />
<br />
:::<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" /><br />
<br />
<br />&nbsp;<br />
<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=1|<br />
ARBEIT=<br />
Wie muss a<sub>B</sub> gewählt werden, damit ...<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?<br />
<br />
Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
#a<sub>B</sub> = 3,25 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 5,71 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 1,73 m/s<sup>2</sup><br />
}}<br />
}}<br />
<br />
<br />
In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt. <br />
<br />
{|<br />
<br />
|valign="top"|<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=2|<br />
ARBEIT=<br />
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei<br />
#60%, <br />
#75% <br />
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?<br />
<br />
Entnimm die erforderlichen Größen dem Video. <br />
<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
Bremswege:<br><br />
:s(60%) = 49 m <br><br />
:s(75%) = 47 m <br><br />
:s(100%) = 37 m <br><br />
<br />
Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:<br />
#a<sub>B</sub> = 7,87 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 8,21 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 10,43 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
andere Möglichkeit: <br />
Formel nach a<sub>B</sub> auflösen <br />
<br />
:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math><br />
<br />
dann die Werte einsetzen<br />
<br />
Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!<br />
<br />
v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
|valign="top"|<br />
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}<br />
<br />
|} <br />
<br />
<br />
<br />
Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren. <br />
Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:<br><br />
<math>s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> und dem Quadrat der Variablen.<br><br />
Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:<br />
<br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=3|<br />
ARBEIT=<br />
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v<sup>2</sup>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> wird kleiner, wenn a<sub>B</sub> größer wird. Wenn a<sub>B</sub> größer wird, verläuft der Graph flacher.<br />
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> größer, wenn a<sub>B</sub> kleiner wird. Wenn a<sub>B</sub> kleiner wird, verläuft der Graph steiler.<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
<br />
=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===<br />
<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form '''ax²'''. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.<br />
<br /><br />
{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung <math>f(x)=ax^2</math> heißen '''Parabeln'''.<br />
<br />
Sie sind '''symmetrisch zur y-Achse.''' Der Punkt <math>S(0\!\,|\!\,0)</math> heißt '''Scheitel der Parabel''' und ist der tiefste Punkt.<br />
<br />
Ist <math>a = 1</math> heißt der Graph '''Normalparabel'''.<br />
}}<br />
<br /><br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=4|<br />
ARBEIT=<br />
Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:<br />
Was passiert, wenn...<br /><br />
# ...a größer als 1 ist?<br /><br />
# ...a zwischen 0 und 1 liegt?<br /><br />
# ...a negativ ist?<br /><br />
:Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
# Ist a>0, dann ist die Parabel enger (gestreckt) als die Normalparabel.<br />
# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter (gestaucht) als die Normalparabel.<br />
# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.<br />
}}<br />
}}<br />
|width=20px|<br />
|valign="top"|<ggb_applet height="500" width="450" filename="Reinquadratisch.ggb" /><br />
<br />
<br><br />
Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit '''f(x) = ax²'''. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (<span style="color: darkred">nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!</span>).<br /><br />
Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.<br />
<br />
|}<br />
<br />
===Nochmal ganz langsam===<br />
:{{#ev:youtube|UCiaNcGIiOE|350}} {{#ev:youtube|yWAto5qEDJw|350}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br /><br />
<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_%C3%9Cbungen_3Quadratische Funktionen - Übungen 32009-03-28T15:29:29Z<p>Reinhard Schmidt: </p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|Übungen 1]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen2|Übungen 2]] - [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine quadratische Funktion|Allgemeine quadratische Funktion]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen3|Übungen 3]] - <br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|Abschlusstest]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
{|<br />
|-<br />
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Übung 1: Funktionsterm finden'''</big><br />
{|<br />
|width=300px|<br />
<br />
Die Parabel hat die Funktionsgleichung <br />
<br />
'''f(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c'''.<br />
<br />
Welcher Funktionsterm passt?<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
(-0,5x<sup>2</sup> + 2x - 1) (!0,5x<sup>2</sup> - 2x + 3) (!-2x<sup>2</sup> + 8x - 7) (!-0,5x<sup>2</sup> + 2x + 1) (!0,5x<sup>2</sup> - 2x - 1) <br />
</div><br />
<br />
|width=20px|<!--Diese Spalte bleibt leer und legt den Abstand zwischen Text und Bild fest--><br />
|valign="top" |<br />
[[Bild:Üb3_Parabel_5.jpg|380px]]<br />
</div><br />
<br />
|}<br />
<br><br><br />
<br />
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Übung 2: Term und Graph zuordnen'''</big><br />
<br />
'''Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.'''<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
{| <br />
|- <br />
| [[Bild:Üb3_Parabel_1.jpg]] || [[Bild:Üb3_Parabel_3.jpg]] || [[Bild:Üb3_Gerade_1.jpg]] || [[Bild:Üb3_Parabel_4.jpg|150px]] || [[Bild:Üb3_Gerade_2.jpg|150px]] || [[Bild:Üb3_Parabel_2.jpg|150px]] <br />
|- <br />
| <strong> x<sup>2</sup> + 3 </strong> || <strong> -x<sup>2</sup> + 3 </strong> || <strong> -x + 3 </strong> || <strong> -x<sup>2</sup> - 3</strong> || <strong> x - 3 </strong> || <strong> x<sup>2</sup> - 3</strong><br />
|}<br />
<br />
</div></div><br />
<br><br><br />
<br />
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Übung 3: Multiple Choice'''</big><br />
<br />
'''Kreuze jeweils alle richtigen Aussagen an.'''<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
<br />
'''f(x) = –2x<sup>2</sup> + 3x – 4''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|-6] liegt auf dem Graphen.) (Der Punkt [1|1] liegt nicht auf dem Graphen.)<br />
<br />
<br />
'''Welche Terme gehören zu einer Funktion, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist?''' (7x<sup>2</sup>) (7x<sup>2</sup> - 2) (7x<sup>2</sup> + 3) (!7x<sup>2</sup> - 2x) (!7x<sup>2</sup> + 3x) (!7x<sup>2</sup> - 2x + 3) <br />
<br />
<br />
'''Welche der Termpaare gehören zu Funktionen, deren Graphen bezüglich der y-Achse symmetrisch zueinander sind?''' (!7x<sup>2</sup> und -7x<sup>2</sup>) (7x<sup>2</sup> - 2x und 7x<sup>2</sup> + 2x) (!7x<sup>2</sup> - 2x und -7x<sup>2</sup> + 2x) (!7x<sup>2</sup> - 2 und 7x<sup>2</sup> + 2) (-7x<sup>2</sup> + 2x und -7x<sup>2</sup> - 2x) <br />
<br />
<br />
'''Welche der Termpaare gehören zu Funktionen, deren Graphen bezüglich der x-Achse symmetrisch zueinander sind?''' (7x<sup>2</sup> und -7x<sup>2</sup>) (!7x<sup>2</sup> - 2x und 7x<sup>2</sup> + 2x) (!7x<sup>2</sup> - 2 und 7x<sup>2</sup> + 2) (7x<sup>2</sup> - 2 und -7x<sup>2</sup> + 2) (!7x<sup>2</sup> - 2 und -7x<sup>2</sup> + 2x) <br />
</div></div><br />
<br />
<br><br><br />
<br />
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Übung 4: Memo-Quiz'''</big><br />
<br />
Finde die richtigen Paare - je ein Funktionsterm und ein Funktionsgraph gehören zusammen. Achte auf die wesentlichen Eigenschaften der Funktion (Öffnung der Parabel, Lage des Scheitels, Nullstellen).<br />
<br />
:::{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="600"|<br />
<div class="memo-quiz"><br />
<br />
{| <br />
|-<br />
| <big> '''f(x) = x<sup>2</sup> + 3'''</big> || [[Bild:Üb3_Parabel_1a.jpg|120px]] <br />
|-<br />
| <big> '''f(x) = -x<sup>2</sup> + 3'''</big> || [[Bild:Üb3_Parabel_3a.jpg|120px]]<br />
|-<br />
| <big> '''f(x) = 3x<sup>2</sup>'''</big> || [[Bild:Parabel_a_3a.jpg|120px]] <br />
|-<br />
| <big> '''f(x) = 0,2x<sup>2</sup>'''</big> || [[Bild:Parabel_a_0_2a.jpg|120px]]<br />
|-<br />
| <big> '''f(x) = x<sup>2</sup> + 2x''' </big> || [[Bild:Üb3_Parabel_6.jpg|120px]] <br />
|-<br />
| <big> '''f(x) = –x<sup>2</sup> + 2x'''</big> || [[Bild:Üb3_Parabel_7.jpg|120px]] <br />
|-<br />
| <big> '''f(x) = x<sup>2</sup> – 2x – 3''' </big> || [[Bild:Üb3_Parabel_8.jpg|120px]]<br />
|-<br />
| <big> '''f(x) = –x<sup>2</sup> – 2x + 3'''</big> || [[Bild:Üb3_Parabel_9.jpg|120px]] <br />
|}<br />
<br />
</div><br />
<br />
<br />
|}<br />
</div><br />
<br />
<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Zum Abschluss: ein Test!'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_%C3%9Cbungen_2Quadratische Funktionen - Übungen 22009-03-28T15:28:58Z<p>Reinhard Schmidt: </p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|Übungen 1]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen2|Übungen 2]] - [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine quadratische Funktion|Allgemeine quadratische Funktion]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen3|Übungen 3]] - <br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|Abschlusstest]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
{|<br />
<br />
|-<br />
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Übung 1: Anhalteweg'''</big><br />
<br />
Die Funktion '''s(v) = 0,1v<sup>2</sup> + 1,5v''' ist ein Beispiel für eine Funktion, die den Zusammenhang zwischen der anfänglichen Geschwindigkeit eines Fahrzeuges in m/s und dem Anhalteweg für einen konkreten Bremsvorgang angibt.<br />
<br />
#Welchen Wert hat in diesem Beispiel die Reaktionszeit t<sub>R</sub>?<br />
#Welchen Wert hat die Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub>?<br />
#Wie lang ist der Anhalteweg bei einer anfänglichen Geschwindigkeit von 72 km/h (also 20 m/s)?<br />
#Wie könnte der Anhalteweg verringert werden?<br />
<br><br />
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;"><br />
&nbsp;{{Lösung versteckt|1=<br />
#1,5v steht für den Reaktionsweg, d.h. t<sub>R</sub> = 1,5 s<br />
#<math>\frac{1}{2a_B} = 0,1 </math> <=> <math>\frac{1}{2a_B} = \frac{1}{10} </math> <=> 2a<sub>B</sub> = 10 <=> a<sub>B</sub> = 5 (m/s<sup>2</sup>)<br />
#s(20) = 0,1·20<sup>2</sup> + 1,5·20 = 40 + 30 = 70 (m)<br />
#Bremsbeschleunigung erhöhen (besserer Fahrbahnbelag, gute Reifen), Reaktionszeit verringern (erhöhte Aufmerksamkeit, Bremsentechnik), Geschwindigkeit reduzieren<br />
}}<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
|}<br />
<br />
{|<br />
<br />
|-<br />
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Übung 2: Bestimme a und b'''</big><br />
<br />
{|<br />
|width=395px|<br />
<br />
Die Parabel hat die Funktionsgleichung '''f(x) = ax<sup>2</sup> + bx'''.<br />
<br />
Finde heraus, welche Werte a und b besitzen und erkläre wie du vorgegangen bist. <br />
<br />
<div style="padding:1px;background:#ffffff;border:0px groove;"><br />
'''Hilfe:''' {{Versteckt|1=<br />
Lies die Koordinaten zweier Punkte aus dem Graphen ab und setze sie in die Funktionsgleichung ein.<br />
}}<br />
</div><br />
<br><br />
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;"><br />
&nbsp;{{Lösung versteckt|1=<br />
Die Punkte (4/0) und (2/-2) liegen auf der Parabel, es gilt also<br />
:* 0 = a·4<sup>2</sup> + b·4 --> b = - 4a<br />
:* - 2 = a·2<sup>2</sup> + b·2 --> b = -1 - 2a<br />
daraus folgt -4a = -1 -2a --> '''a = 0,5 und b = - 2'''<br />
}}<br />
</div><br />
|}<br />
<br />
|width=10px|<!--Diese Spalte bleibt leer und legt den Abstand zwischen Text und Bild fest--><br />
|valign="top" |<br />
[[Bild:Üb2_Parabel_7.jpg|380px]]<br />
</div><br />
<br />
|}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px grey;"><br />
<big>'''Übung 3: Term und Graph zuordnen'''</big><br />
<br />
'''Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.'''<br />
<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
{| <br />
|- <br />
| [[Bild:Üb2_Parabel1.jpg]] || [[Bild:Üb2_Parabel6.jpg]] || [[Bild:Üb2_Parabel3.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel5.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel4.jpg|150px]] || [[Bild:Üb2_Parabel2.jpg|150px]] <br />
|- <br />
| <strong> x<sup>2</sup> + 2x</strong> || <strong> 0,5x<sup>2</sup> + 2x </strong> || <strong> -x<sup>2</sup> + 2x</strong> || <strong> 0,5x<sup>2</sup> - 2x</strong> || <strong> -x<sup>2</sup> - 2x</strong> ||<strong> x<sup>2</sup> - 2x</strong><br />
|}<br />
</div><br />
</div><br />
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br />
{|<br />
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px grey;"><br />
<big>'''Übung 4'''</big><br />
<br />
'''Kreuze jeweils alle richtigen Aussagen an.'''<br />
|<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''f(x) = 2x<sup>2</sup> - 4x''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [-1|6] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [-1|-2] liegt auf dem Graphen.)<br />
<br />
'''f(x) = - 0,25x<sup>2</sup> + 3x''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (!Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|5] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [2|7] liegt auf dem Graphen.)<br />
<br />
'''Welche der Termpaare gehören zu Funktionen, deren Graphen bezüglich der y-Achse symmetrisch zueinander sind?''' (!7x<sup>2</sup> und -7x<sup>2</sup>) (7x<sup>2</sup> - 2x und 7x<sup>2</sup> + 2x) (!7x<sup>2</sup> - 2x und -7x<sup>2</sup> + 2x) (!7x<sup>2</sup> - 2 und 7x<sup>2</sup> + 2) (-7x<sup>2</sup> + 2x und -7x<sup>2</sup> - 2x) (!7x<sup>2</sup> - 2 und 7x<sup>2</sup> + 2x) <br />
</div><br />
</div><br />
|}<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes lernst du die allgemeine quadratische Funktion kennen.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine_quadratische_Funktion|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_%C3%9Cbungen_1Quadratische Funktionen - Übungen 12009-03-28T15:27:50Z<p>Reinhard Schmidt: </p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|Übungen 1]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen2|Übungen 2]] - [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine quadratische Funktion|Allgemeine quadratische Funktion]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen3|Übungen 3]] - <br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|Abschlusstest]]<br />
</div><br />
<br />
__NOTOC__<br />
{|<br />
<big>'''Aufgabe 1: Wie war das Wetter?'''</big><br />
|Die zulässige Höchstgeschwindigkeit beträgt innerhalb geschlossener Ortschaften 50 km/h. Unter idealen Bedingungen sollte ein Pkw in einer Gefahrensituation rechtzeitig vor Erreichen der Gefahrenstelle bremsen können. Der Wert der Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> und damit die Länge des Bremsweges ist aber u.a. abhängig von den Straßenverhältnissen. In der Tabelle sind einige Werte für die Bremsbeschleunigung eines Pkws auf einer asphaltierten Straße bei unterschiedlichen Witterungsverhältnissen angegeben. <br />
<br />
Ordne dem gegebenen Bremsweg s die passende Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> und die Straßenverhältnisse zu. <br />
<br />
'''Tipp:''' Du kannst die Übung durch Rechnen, mit Hilfe eines GeoGebra-Applets oder durch Nachdenken lösen.<br />
<br />
|width="20px"|<br />
|valign=top|<br />
{| class="prettytable" <br />
!Straßenverhältnisse<br />
!Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> in m/s<sup>2</sup><br />
|-<br />
|Asphalt trocken<br />
| align="center" | 6,5 bis 7,5 <br />
|-<br />
|Asphalt nass<br />
| align="center" | 5,0 bis 6,5<br />
|-<br />
|Neuschnee<br />
| align="center" | 2,0 bis 3,0<br />
|-<br />
|Glatteis<br />
| align="center" | 1,0 bis 1,5<br />
|}<br />
<br />
|}<br />
<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
<br />
{| <br />
| s = 13 m || a<sub>B</sub> = 7,4 m/s<sup>2</sup> || trockener Asphalt <br />
|-<br />
| s = 18 m || a<sub>B</sub> = 5,4 m/s<sup>2</sup> || nasser Asphalt<br />
|-<br />
| s = 80 m || a<sub>B</sub> = 1,2 m/s<sup>2</sup> || Glatteis<br />
|-<br />
| s = 37 m || a<sub>B</sub> = 2,6 m/s<sup>2</sup> || Neuschnee <br />
|}<br />
<br />
</div><br />
<br />
<br><br><br />
<br />
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Aufgabe 2: Lückentext'''</big><br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Die Graph der Funktion f mit f(x)=ax² heißt <strong> Parabel </strong>. Ist a = 1, so heißt der Graph <strong> Normalparabel</strong>.<br><br />
Quadratische Funktionen mit dem Funktionsterm <strong>ax²</strong> liegen <strong>symmetrisch </strong> zur <strong>y-Achse</strong>.<br><br />
Der Punkt S (0;0) heißt <strong>Scheitel </strong>.<br><br />
Für a>0 gilt: Je <strong>größer </strong> a ist, desto steiler ist die Parabel. <br><br />
Für a>0 gilt: Je kleiner a ist, desto <strong> weiter </strong> ist die Parabel. <br><br />
</div><br />
<br><br />
<br><br />
<br />
<br />
</div><br />
<br><br><br />
<br />
{|<br />
<br />
|-<br />
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Aufgabe 3: Bestimme a'''</big><br />
<br />
Die beiden Parabeln haben die Funktionsgleichung '''f(x) = ax<sup>2</sup>'''.<br />
<br />
Finde jeweils heraus, welchen Wert a besitzt und erkläre wie du vorgegangen bist. <br />
{|<br />
|width=400px|<br />
<br />
[[Bild:Üb1_Parabel1.jpg|395px]]<br />
<br />
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;"><br />
&nbsp;{{Lösung versteckt|1=<br />
:#Der Punkt (4/4) liegt auf der Parabel.<br />
:#Es gilt also 4 = a·4<sup>2</sup>.<br />
:#Damit ist a = 0,25. <br />
}}<br />
</div><br />
|width=10px|<!--Diese Spalte bleibt leer und legt den Abstand zwischen Text und Bild fest--><br />
|valign="top" |<br />
[[Bild:Üb1_Parabel2.jpg|395px]]<br />
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;"><br />
&nbsp;{{Lösung versteckt|1=<br />
:#Der Punkt (1/-3) liegt auf der Parabel<br />
:#Es gilt also -3 = a·1<sup>2</sup><br />
:#Damit ist a = - 3. <br />
}}<br />
</div><br />
|}<br />
</div><br />
<br />
|}<br />
<br><br><br />
<br />
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Aufgabe 4: Term und Graph zuordnen'''</big><br />
<br />
Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
<br />
{| <br />
|- <br />
| [[Bild:Parabel_a_0_5a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_2a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_3a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_0_75a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_1_25a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_0_2a.jpg|150px]] <br />
|- <br />
| <strong> 0,5x<sup>2</sup> </strong> || <strong> 2x<sup>2</sup> </strong> || <strong> 3x<sup>2</sup> </strong> || <strong> 0,75x<sup>2</sup> </strong> || <strong> 1,25x<sup>2</sup> </strong> || <strong> 0,2x<sup>2</sup> </strong><br />
|}<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<br><br><br />
<br />
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Aufgabe 5: Multiple Choice'''</big><br />
<br />
'''Kreuze die zutreffenden Aussagen an. Es sind jeweils mehrere Antworten richtig. '''<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''f(x) = 3,5x<sup>2</sup>''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|14] liegt auf dem Graphen.) (Der Punkt [14|2] liegt nicht auf dem Graphen.)<br />
<br />
'''f(x) = - 0,5x<sup>2</sup>''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (!Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|-2] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [2|2] liegt auf dem Graphen.)<br />
<br />
'''f(x) = - 2x<sup>2</sup>''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (!Der Punkt [0|-2] liegt auf dem Graphen.) (Der Punkt [1|2] liegt oberhalb des Graphen.)<br />
<br />
'''f(x) = 0,2x<sup>2</sup>''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (!Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (!Der Punkt [-1|2] liegt auf dem Graphen.) (Der Punkt [-1|1] liegt oberhalb des Graphen.)<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes beschäftigst du dich mit dem Anhalteweg.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_BremsbeschleunigungQuadratische Funktionen - Bremsbeschleunigung2009-03-28T15:25:16Z<p>Reinhard Schmidt: /* Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|Übungen 1]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen2|Übungen 2]] - [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine quadratische Funktion|Allgemeine quadratische Funktion]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen3|Übungen 3]] - <br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|Abschlusstest]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===<br />
<br />
Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.<br />
Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg. <br />
<br />
In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:<br /><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math> <br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und a<sub>B</sub> = Bremsbeschleunigung in m/s²). <br />
<br />
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.<br /><br />
''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.<br />
<br />
<br />
:::<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" /><br />
<br />
<br />&nbsp;<br />
<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=1|<br />
ARBEIT=<br />
Wie muss a<sub>B</sub> gewählt werden, damit ...<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?<br />
<br />
Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
#a<sub>B</sub> = 3,25 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 5,71 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 1,73 m/s<sup>2</sup><br />
}}<br />
}}<br />
<br />
<br />
In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt. <br />
<br />
{|<br />
<br />
|valign="top"|<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=2|<br />
ARBEIT=<br />
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei<br />
#60%, <br />
#75% <br />
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?<br />
<br />
Entnimm die erforderlichen Größen dem Video. <br />
<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
Bremswege:<br><br />
:s(60%) = 49 m <br><br />
:s(75%) = 47 m <br><br />
:s(100%) = 37 m <br><br />
<br />
Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:<br />
#a<sub>B</sub> = 7,87 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 8,21 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 10,43 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
andere Möglichkeit: <br />
Formel nach a<sub>B</sub> auflösen <br />
<br />
:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math><br />
<br />
dann die Werte einsetzen<br />
<br />
Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!<br />
<br />
v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
|valign="top"|<br />
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}<br />
<br />
|} <br />
<br />
<br />
<br />
Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren. <br />
Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:<br><br />
<math>s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> und dem Quadrat der Variablen.<br><br />
Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:<br />
<br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=3|<br />
ARBEIT=<br />
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v<sup>2</sup>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> wird kleiner, wenn a<sub>B</sub> größer wird. Wenn a<sub>B</sub> größer wird, verläuft der Graph flacher.<br />
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> größer, wenn a<sub>B</sub> kleiner wird. Wenn a<sub>B</sub> kleiner wird, verläuft der Graph steiler.<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
<br />
=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===<br />
<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form '''ax²'''. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.<br />
<br /><br />
{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung f(x)=ax² heißen '''Parabeln'''.<br />
<br />
Sie sind '''symmetrisch zur y-Achse.''' Der Punkt <math>S(0\!\,|\!\,0)</math> heißt '''Scheitel der Parabel''' und ist der tiefste Punkt.<br />
<br />
Ist <math>a = 1</math> heißt der Graph '''Normalparabel'''.<br />
}}<br />
<br /><br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=4|<br />
ARBEIT=<br />
Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:<br />
Was passiert, wenn...<br /><br />
# ...a größer als 1 ist?<br /><br />
# ...a zwischen 0 und 1 liegt?<br /><br />
# ...a negativ ist?<br /><br />
:Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
# Ist a>0, dann ist die Parabel enger (gestreckt) als die Normalparabel.<br />
# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter (gestaucht) als die Normalparabel.<br />
# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.<br />
}}<br />
}}<br />
|width=20px|<br />
|valign="top"|<ggb_applet height="500" width="450" filename="Reinquadratisch.ggb" /><br />
<br />
<br><br />
Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit '''f(x) = ax²'''. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (<span style="color: darkred">nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!</span>).<br /><br />
Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.<br />
<br />
|}<br />
<br />
===Nochmal ganz langsam===<br />
:{{#ev:youtube|UCiaNcGIiOE|350}} {{#ev:youtube|yWAto5qEDJw|350}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br /><br />
<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_BremsbeschleunigungQuadratische Funktionen - Bremsbeschleunigung2009-03-28T15:23:47Z<p>Reinhard Schmidt: /* Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|Übungen 1]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen2|Übungen 2]] - [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine quadratische Funktion|Allgemeine quadratische Funktion]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen3|Übungen 3]] - <br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|Abschlusstest]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===<br />
<br />
Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.<br />
Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg. <br />
<br />
In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:<br /><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math> <br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und a<sub>B</sub> = Bremsbeschleunigung in m/s²). <br />
<br />
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.<br /><br />
''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.<br />
<br />
<br />
:::<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" /><br />
<br />
<br />&nbsp;<br />
<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=1|<br />
ARBEIT=<br />
Wie muss a<sub>B</sub> gewählt werden, damit ...<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?<br />
<br />
Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
#a<sub>B</sub> = 3,25 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 5,71 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 1,73 m/s<sup>2</sup><br />
}}<br />
}}<br />
<br />
<br />
In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt. <br />
<br />
{|<br />
<br />
|valign="top"|<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=2|<br />
ARBEIT=<br />
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei<br />
#60%, <br />
#75% <br />
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?<br />
<br />
Entnimm die erforderlichen Größen dem Video. <br />
<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
Bremswege:<br><br />
:s(60%) = 49 m <br><br />
:s(75%) = 47 m <br><br />
:s(100%) = 37 m <br><br />
<br />
Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:<br />
#a<sub>B</sub> = 7,87 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 8,21 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 10,43 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
andere Möglichkeit: <br />
Formel nach a<sub>B</sub> auflösen <br />
<br />
:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math><br />
<br />
dann die Werte einsetzen<br />
<br />
Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!<br />
<br />
v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
|valign="top"|<br />
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}<br />
<br />
|} <br />
<br />
<br />
<br />
Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren. <br />
Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:<br><br />
<math>s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> und dem Quadrat der Variablen.<br><br />
Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:<br />
<br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=3|<br />
ARBEIT=<br />
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v<sup>2</sup>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> wird kleiner, wenn a<sub>B</sub> größer wird. Wenn a<sub>B</sub> größer wird, verläuft der Graph flacher.<br />
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> größer, wenn a<sub>B</sub> kleiner wird. Wenn a<sub>B</sub> kleiner wird, verläuft der Graph steiler.<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
<br />
=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===<br />
<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form '''ax²'''. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.<br />
<br /><br />
{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung <math>f(x)=ax²</math> heißen '''Parabeln'''.<br />
<br />
Sie sind '''symmetrisch zur y-Achse.''' Der Punkt <math>S(0\!\,|\!\,0)</math> heißt '''Scheitel der Parabel''' und ist der tiefste Punkt.<br />
<br />
Ist <math>a = 1</math> heißt der Graph '''Normalparabel'''.<br />
}}<br />
<br /><br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=4|<br />
ARBEIT=<br />
Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:<br />
Was passiert, wenn...<br /><br />
# ...a größer als 1 ist?<br /><br />
# ...a zwischen 0 und 1 liegt?<br /><br />
# ...a negativ ist?<br /><br />
:Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
# Ist a>0, dann ist die Parabel enger (gestreckt) als die Normalparabel.<br />
# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter (gestaucht) als die Normalparabel.<br />
# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.<br />
}}<br />
}}<br />
|width=20px|<br />
|valign="top"|<ggb_applet height="500" width="450" filename="Reinquadratisch.ggb" /><br />
<br />
<br><br />
Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit '''f(x) = ax²'''. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (<span style="color: darkred">nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!</span>).<br /><br />
Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.<br />
<br />
|}<br />
<br />
===Nochmal ganz langsam===<br />
:{{#ev:youtube|UCiaNcGIiOE|350}} {{#ev:youtube|yWAto5qEDJw|350}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br /><br />
<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_BremsbeschleunigungQuadratische Funktionen - Bremsbeschleunigung2009-03-28T15:23:02Z<p>Reinhard Schmidt: /* Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|Übungen 1]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen2|Übungen 2]] - [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine quadratische Funktion|Allgemeine quadratische Funktion]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen3|Übungen 3]] - <br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|Abschlusstest]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===<br />
<br />
Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.<br />
Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg. <br />
<br />
In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:<br /><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math> <br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und a<sub>B</sub> = Bremsbeschleunigung in m/s²). <br />
<br />
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.<br /><br />
''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.<br />
<br />
<br />
:::<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" /><br />
<br />
<br />&nbsp;<br />
<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=1|<br />
ARBEIT=<br />
Wie muss a<sub>B</sub> gewählt werden, damit ...<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?<br />
<br />
Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
#a<sub>B</sub> = 3,25 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 5,71 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 1,73 m/s<sup>2</sup><br />
}}<br />
}}<br />
<br />
<br />
In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt. <br />
<br />
{|<br />
<br />
|valign="top"|<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=2|<br />
ARBEIT=<br />
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei<br />
#60%, <br />
#75% <br />
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?<br />
<br />
Entnimm die erforderlichen Größen dem Video. <br />
<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
Bremswege:<br><br />
:s(60%) = 49 m <br><br />
:s(75%) = 47 m <br><br />
:s(100%) = 37 m <br><br />
<br />
Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:<br />
#a<sub>B</sub> = 7,87 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 8,21 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 10,43 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
andere Möglichkeit: <br />
Formel nach a<sub>B</sub> auflösen <br />
<br />
:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math><br />
<br />
dann die Werte einsetzen<br />
<br />
Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!<br />
<br />
v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
|valign="top"|<br />
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}<br />
<br />
|} <br />
<br />
<br />
<br />
Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren. <br />
Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:<br><br />
<math>s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> und dem Quadrat der Variablen.<br><br />
Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:<br />
<br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=3|<br />
ARBEIT=<br />
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v<sup>2</sup>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> wird kleiner, wenn a<sub>B</sub> größer wird. Wenn a<sub>B</sub> größer wird, verläuft der Graph flacher.<br />
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> größer, wenn a<sub>B</sub> kleiner wird. Wenn a<sub>B</sub> kleiner wird, verläuft der Graph steiler.<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
<br />
=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===<br />
<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form '''ax²'''. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.<br />
<br /><br />
{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung <math>f(x)=ax²</<math> heißen '''Parabeln'''.<br />
<br />
Sie sind '''symmetrisch zur y-Achse.''' Der Punkt <math>S(0\!\,|\!\,0)</math> heißt '''Scheitel der Parabel''' und ist der tiefste Punkt.<br />
<br />
Ist <math>a = 1</math> heißt der Graph '''Normalparabel'''.<br />
}}<br />
<br /><br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=4|<br />
ARBEIT=<br />
Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:<br />
Was passiert, wenn...<br /><br />
# ...a größer als 1 ist?<br /><br />
# ...a zwischen 0 und 1 liegt?<br /><br />
# ...a negativ ist?<br /><br />
:Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
# Ist a>0, dann ist die Parabel enger (gestreckt) als die Normalparabel.<br />
# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter (gestaucht) als die Normalparabel.<br />
# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.<br />
}}<br />
}}<br />
|width=20px|<br />
|valign="top"|<ggb_applet height="500" width="450" filename="Reinquadratisch.ggb" /><br />
<br />
<br><br />
Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit '''f(x) = ax²'''. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (<span style="color: darkred">nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!</span>).<br /><br />
Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.<br />
<br />
|}<br />
<br />
===Nochmal ganz langsam===<br />
:{{#ev:youtube|UCiaNcGIiOE|350}} {{#ev:youtube|yWAto5qEDJw|350}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br /><br />
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----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_BremsbeschleunigungQuadratische Funktionen - Bremsbeschleunigung2009-03-28T15:20:54Z<p>Reinhard Schmidt: /* Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|Übungen 1]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen2|Übungen 2]] - [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine quadratische Funktion|Allgemeine quadratische Funktion]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen3|Übungen 3]] - <br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|Abschlusstest]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===<br />
<br />
Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.<br />
Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg. <br />
<br />
In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:<br /><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math> <br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und a<sub>B</sub> = Bremsbeschleunigung in m/s²). <br />
<br />
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.<br /><br />
''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.<br />
<br />
<br />
:::<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" /><br />
<br />
<br />&nbsp;<br />
<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=1|<br />
ARBEIT=<br />
Wie muss a<sub>B</sub> gewählt werden, damit ...<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?<br />
<br />
Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
#a<sub>B</sub> = 3,25 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 5,71 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 1,73 m/s<sup>2</sup><br />
}}<br />
}}<br />
<br />
<br />
In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt. <br />
<br />
{|<br />
<br />
|valign="top"|<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=2|<br />
ARBEIT=<br />
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei<br />
#60%, <br />
#75% <br />
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?<br />
<br />
Entnimm die erforderlichen Größen dem Video. <br />
<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
Bremswege:<br><br />
:s(60%) = 49 m <br><br />
:s(75%) = 47 m <br><br />
:s(100%) = 37 m <br><br />
<br />
Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:<br />
#a<sub>B</sub> = 7,87 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 8,21 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 10,43 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
andere Möglichkeit: <br />
Formel nach a<sub>B</sub> auflösen <br />
<br />
:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math><br />
<br />
dann die Werte einsetzen<br />
<br />
Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!<br />
<br />
v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
|valign="top"|<br />
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}<br />
<br />
|} <br />
<br />
<br />
<br />
Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren. <br />
Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:<br><br />
<math>s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> und dem Quadrat der Variablen.<br><br />
Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:<br />
<br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=3|<br />
ARBEIT=<br />
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v<sup>2</sup>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> wird kleiner, wenn a<sub>B</sub> größer wird. Wenn a<sub>B</sub> größer wird, verläuft der Graph flacher.<br />
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> größer, wenn a<sub>B</sub> kleiner wird. Wenn a<sub>B</sub> kleiner wird, verläuft der Graph steiler.<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
<br />
=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===<br />
<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form '''ax²'''. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.<br />
<br /><br />
{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung f(x)=ax² heißen '''Parabeln'''.<br />
<br />
Sie sind '''symmetrisch zur y-Achse.''' Der Punkt <math>S(0\!\,|\!\,0)</math> heißt '''Scheitel der Parabel''' und ist der tiefste Punkt.<br />
<br />
Ist a = 1 heißt der Graph '''Normalparabel'''.<br />
}}<br />
<br /><br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=4|<br />
ARBEIT=<br />
Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:<br />
Was passiert, wenn...<br /><br />
# ...a größer als 1 ist?<br /><br />
# ...a zwischen 0 und 1 liegt?<br /><br />
# ...a negativ ist?<br /><br />
:Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
# Ist a>0, dann ist die Parabel enger als die Normalparabel.<br />
# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter als die Normalparabel.<br />
# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.<br />
}}<br />
}}<br />
|width=20px|<br />
|valign="top"|<ggb_applet height="500" width="450" filename="Reinquadratisch.ggb" /><br />
<br />
<br><br />
Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit '''f(x) = ax²'''. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (<span style="color: darkred">nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!</span>).<br /><br />
Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.<br />
<br />
|}<br />
<br />
===Nochmal ganz langsam===<br />
:{{#ev:youtube|UCiaNcGIiOE|350}} {{#ev:youtube|yWAto5qEDJw|350}}<br />
<br />
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----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_BremsbeschleunigungQuadratische Funktionen - Bremsbeschleunigung2009-03-28T15:20:32Z<p>Reinhard Schmidt: /* Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|Übungen 1]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen2|Übungen 2]] - [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine quadratische Funktion|Allgemeine quadratische Funktion]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen3|Übungen 3]] - <br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|Abschlusstest]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===<br />
<br />
Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.<br />
Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg. <br />
<br />
In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:<br /><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math> <br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und a<sub>B</sub> = Bremsbeschleunigung in m/s²). <br />
<br />
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.<br /><br />
''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.<br />
<br />
<br />
:::<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" /><br />
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<br />&nbsp;<br />
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<br /><br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=1|<br />
ARBEIT=<br />
Wie muss a<sub>B</sub> gewählt werden, damit ...<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?<br />
<br />
Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
#a<sub>B</sub> = 3,25 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 5,71 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 1,73 m/s<sup>2</sup><br />
}}<br />
}}<br />
<br />
<br />
In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt. <br />
<br />
{|<br />
<br />
|valign="top"|<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=2|<br />
ARBEIT=<br />
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei<br />
#60%, <br />
#75% <br />
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?<br />
<br />
Entnimm die erforderlichen Größen dem Video. <br />
<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
Bremswege:<br><br />
:s(60%) = 49 m <br><br />
:s(75%) = 47 m <br><br />
:s(100%) = 37 m <br><br />
<br />
Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:<br />
#a<sub>B</sub> = 7,87 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 8,21 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 10,43 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
andere Möglichkeit: <br />
Formel nach a<sub>B</sub> auflösen <br />
<br />
:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math><br />
<br />
dann die Werte einsetzen<br />
<br />
Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!<br />
<br />
v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
<br />
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}}<br />
}}<br />
|valign="top"|<br />
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}<br />
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|} <br />
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<br />
<br />
Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren. <br />
Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:<br><br />
<math>s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> und dem Quadrat der Variablen.<br><br />
Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:<br />
<br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=3|<br />
ARBEIT=<br />
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v<sup>2</sup>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> wird kleiner, wenn a<sub>B</sub> größer wird. Wenn a<sub>B</sub> größer wird, verläuft der Graph flacher.<br />
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> größer, wenn a<sub>B</sub> kleiner wird. Wenn a<sub>B</sub> kleiner wird, verläuft der Graph steiler.<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
<br />
=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===<br />
<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form '''ax²'''. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.<br />
<br /><br />
{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung f(x)=ax² heißen '''Parabeln'''.<br />
<br />
Sie sind '''symmetrisch zur y-Achse.''' Der Punkt <math>S(0\!|\!0)</math> heißt '''Scheitel der Parabel''' und ist der tiefste Punkt.<br />
<br />
Ist a = 1 heißt der Graph '''Normalparabel'''.<br />
}}<br />
<br /><br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=4|<br />
ARBEIT=<br />
Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:<br />
Was passiert, wenn...<br /><br />
# ...a größer als 1 ist?<br /><br />
# ...a zwischen 0 und 1 liegt?<br /><br />
# ...a negativ ist?<br /><br />
:Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
# Ist a>0, dann ist die Parabel enger als die Normalparabel.<br />
# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter als die Normalparabel.<br />
# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.<br />
}}<br />
}}<br />
|width=20px|<br />
|valign="top"|<ggb_applet height="500" width="450" filename="Reinquadratisch.ggb" /><br />
<br />
<br><br />
Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit '''f(x) = ax²'''. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (<span style="color: darkred">nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!</span>).<br /><br />
Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.<br />
<br />
|}<br />
<br />
===Nochmal ganz langsam===<br />
:{{#ev:youtube|UCiaNcGIiOE|350}} {{#ev:youtube|yWAto5qEDJw|350}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br /><br />
<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_BremsbeschleunigungQuadratische Funktionen - Bremsbeschleunigung2009-03-28T15:19:48Z<p>Reinhard Schmidt: /* Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|Übungen 1]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen2|Übungen 2]] - [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine quadratische Funktion|Allgemeine quadratische Funktion]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen3|Übungen 3]] - <br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|Abschlusstest]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===<br />
<br />
Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.<br />
Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg. <br />
<br />
In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:<br /><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math> <br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und a<sub>B</sub> = Bremsbeschleunigung in m/s²). <br />
<br />
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.<br /><br />
''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.<br />
<br />
<br />
:::<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" /><br />
<br />
<br />&nbsp;<br />
<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=1|<br />
ARBEIT=<br />
Wie muss a<sub>B</sub> gewählt werden, damit ...<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?<br />
<br />
Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
#a<sub>B</sub> = 3,25 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 5,71 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 1,73 m/s<sup>2</sup><br />
}}<br />
}}<br />
<br />
<br />
In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt. <br />
<br />
{|<br />
<br />
|valign="top"|<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=2|<br />
ARBEIT=<br />
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei<br />
#60%, <br />
#75% <br />
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?<br />
<br />
Entnimm die erforderlichen Größen dem Video. <br />
<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
Bremswege:<br><br />
:s(60%) = 49 m <br><br />
:s(75%) = 47 m <br><br />
:s(100%) = 37 m <br><br />
<br />
Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:<br />
#a<sub>B</sub> = 7,87 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 8,21 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 10,43 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
andere Möglichkeit: <br />
Formel nach a<sub>B</sub> auflösen <br />
<br />
:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math><br />
<br />
dann die Werte einsetzen<br />
<br />
Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!<br />
<br />
v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
|valign="top"|<br />
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}<br />
<br />
|} <br />
<br />
<br />
<br />
Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren. <br />
Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:<br><br />
<math>s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> und dem Quadrat der Variablen.<br><br />
Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:<br />
<br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=3|<br />
ARBEIT=<br />
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v<sup>2</sup>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> wird kleiner, wenn a<sub>B</sub> größer wird. Wenn a<sub>B</sub> größer wird, verläuft der Graph flacher.<br />
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> größer, wenn a<sub>B</sub> kleiner wird. Wenn a<sub>B</sub> kleiner wird, verläuft der Graph steiler.<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
<br />
=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===<br />
<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form '''ax²'''. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.<br />
<br /><br />
{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung f(x)=ax² heißen '''Parabeln'''.<br />
<br />
Sie sind '''symmetrisch zur y-Achse.''' Der Punkt <math>S(0|0)</math> heißt '''Scheitel der Parabel''' und ist der tiefste Punkt.<br />
<br />
Ist a = 1 heißt der Graph '''Normalparabel'''.<br />
}}<br />
<br /><br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=4|<br />
ARBEIT=<br />
Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:<br />
Was passiert, wenn...<br /><br />
# ...a größer als 1 ist?<br /><br />
# ...a zwischen 0 und 1 liegt?<br /><br />
# ...a negativ ist?<br /><br />
:Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
# Ist a>0, dann ist die Parabel enger als die Normalparabel.<br />
# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter als die Normalparabel.<br />
# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.<br />
}}<br />
}}<br />
|width=20px|<br />
|valign="top"|<ggb_applet height="500" width="450" filename="Reinquadratisch.ggb" /><br />
<br />
<br><br />
Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit '''f(x) = ax²'''. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (<span style="color: darkred">nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!</span>).<br /><br />
Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.<br />
<br />
|}<br />
<br />
===Nochmal ganz langsam===<br />
:{{#ev:youtube|UCiaNcGIiOE|350}} {{#ev:youtube|yWAto5qEDJw|350}}<br />
<br />
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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
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|}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_BremsbeschleunigungQuadratische Funktionen - Bremsbeschleunigung2009-03-28T15:18:49Z<p>Reinhard Schmidt: /* Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|Übungen 1]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen2|Übungen 2]] - [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine quadratische Funktion|Allgemeine quadratische Funktion]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen3|Übungen 3]] - <br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|Abschlusstest]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===<br />
<br />
Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.<br />
Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg. <br />
<br />
In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:<br /><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math> <br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und a<sub>B</sub> = Bremsbeschleunigung in m/s²). <br />
<br />
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.<br /><br />
''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.<br />
<br />
<br />
:::<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" /><br />
<br />
<br />&nbsp;<br />
<br /><br />
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<br /><br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=1|<br />
ARBEIT=<br />
Wie muss a<sub>B</sub> gewählt werden, damit ...<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?<br />
<br />
Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
#a<sub>B</sub> = 3,25 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 5,71 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 1,73 m/s<sup>2</sup><br />
}}<br />
}}<br />
<br />
<br />
In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt. <br />
<br />
{|<br />
<br />
|valign="top"|<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=2|<br />
ARBEIT=<br />
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei<br />
#60%, <br />
#75% <br />
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?<br />
<br />
Entnimm die erforderlichen Größen dem Video. <br />
<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
Bremswege:<br><br />
:s(60%) = 49 m <br><br />
:s(75%) = 47 m <br><br />
:s(100%) = 37 m <br><br />
<br />
Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:<br />
#a<sub>B</sub> = 7,87 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 8,21 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 10,43 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
andere Möglichkeit: <br />
Formel nach a<sub>B</sub> auflösen <br />
<br />
:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math><br />
<br />
dann die Werte einsetzen<br />
<br />
Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!<br />
<br />
v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
|valign="top"|<br />
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}<br />
<br />
|} <br />
<br />
<br />
<br />
Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren. <br />
Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:<br><br />
<math>s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> und dem Quadrat der Variablen.<br><br />
Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:<br />
<br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=3|<br />
ARBEIT=<br />
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v<sup>2</sup>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> wird kleiner, wenn a<sub>B</sub> größer wird. Wenn a<sub>B</sub> größer wird, verläuft der Graph flacher.<br />
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> größer, wenn a<sub>B</sub> kleiner wird. Wenn a<sub>B</sub> kleiner wird, verläuft der Graph steiler.<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
<br />
=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===<br />
<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form '''ax²'''. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.<br />
<br /><br />
{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung f(x)=ax² heißen '''Parabeln'''.<br />
<br />
Sie sind '''symmetrisch zur y-Achse.''' Der Punkt <math>S(0|0)/math> heißt '''Scheitel der Parabel''' und ist der tiefste Punkt.<br />
<br />
Ist a = 1 heißt der Graph '''Normalparabel'''.<br />
}}<br />
<br /><br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=4|<br />
ARBEIT=<br />
Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:<br />
Was passiert, wenn...<br /><br />
# ...a größer als 1 ist?<br /><br />
# ...a zwischen 0 und 1 liegt?<br /><br />
# ...a negativ ist?<br /><br />
:Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
# Ist a>0, dann ist die Parabel enger als die Normalparabel.<br />
# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter als die Normalparabel.<br />
# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.<br />
}}<br />
}}<br />
|width=20px|<br />
|valign="top"|<ggb_applet height="500" width="450" filename="Reinquadratisch.ggb" /><br />
<br />
<br><br />
Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit '''f(x) = ax²'''. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (<span style="color: darkred">nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!</span>).<br /><br />
Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.<br />
<br />
|}<br />
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===Nochmal ganz langsam===<br />
:{{#ev:youtube|UCiaNcGIiOE|350}} {{#ev:youtube|yWAto5qEDJw|350}}<br />
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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_BremsbeschleunigungQuadratische Funktionen - Bremsbeschleunigung2009-03-28T15:17:18Z<p>Reinhard Schmidt: /* Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|Übungen 1]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen2|Übungen 2]] - [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine quadratische Funktion|Allgemeine quadratische Funktion]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen3|Übungen 3]] - <br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|Abschlusstest]]<br />
</div><br />
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<br />
=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===<br />
<br />
Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.<br />
Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg. <br />
<br />
In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:<br /><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math> <br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und a<sub>B</sub> = Bremsbeschleunigung in m/s²). <br />
<br />
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.<br /><br />
''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.<br />
<br />
<br />
:::<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" /><br />
<br />
<br />&nbsp;<br />
<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=1|<br />
ARBEIT=<br />
Wie muss a<sub>B</sub> gewählt werden, damit ...<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?<br />
<br />
Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
#a<sub>B</sub> = 3,25 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 5,71 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 1,73 m/s<sup>2</sup><br />
}}<br />
}}<br />
<br />
<br />
In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt. <br />
<br />
{|<br />
<br />
|valign="top"|<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=2|<br />
ARBEIT=<br />
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei<br />
#60%, <br />
#75% <br />
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?<br />
<br />
Entnimm die erforderlichen Größen dem Video. <br />
<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
Bremswege:<br><br />
:s(60%) = 49 m <br><br />
:s(75%) = 47 m <br><br />
:s(100%) = 37 m <br><br />
<br />
Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:<br />
#a<sub>B</sub> = 7,87 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 8,21 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 10,43 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
andere Möglichkeit: <br />
Formel nach a<sub>B</sub> auflösen <br />
<br />
:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math><br />
<br />
dann die Werte einsetzen<br />
<br />
Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!<br />
<br />
v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
|valign="top"|<br />
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}<br />
<br />
|} <br />
<br />
<br />
<br />
Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren. <br />
Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:<br><br />
<math>s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> und dem Quadrat der Variablen.<br><br />
Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:<br />
<br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=3|<br />
ARBEIT=<br />
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v<sup>2</sup>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> wird kleiner, wenn a<sub>B</sub> größer wird. Wenn a<sub>B</sub> größer wird, verläuft der Graph flacher.<br />
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> größer, wenn a<sub>B</sub> kleiner wird. Wenn a<sub>B</sub> kleiner wird, verläuft der Graph steiler.<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
<br />
=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===<br />
<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form '''ax²'''. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.<br />
<br /><br />
{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung f(x)=ax² heißen '''Parabeln'''.<br />
<br />
Sie sind '''symmetrisch zur y-Achse.''' Der Punkt S(0;0) heißt '''Scheitel der Parabel''' und ist der tiefste Punkt.<br />
<br />
Ist a = 1 heißt der Graph '''Normalparabel'''.<br />
}}<br />
<br /><br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=4|<br />
ARBEIT=<br />
Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:<br />
Was passiert, wenn...<br /><br />
# ...a größer als 1 ist?<br /><br />
# ...a zwischen 0 und 1 liegt?<br /><br />
# ...a negativ ist?<br /><br />
:Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
# Ist a>0, dann ist die Parabel enger als die Normalparabel.<br />
# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter als die Normalparabel.<br />
# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.<br />
}}<br />
}}<br />
|width=20px|<br />
|valign="top"|<ggb_applet height="500" width="450" filename="Reinquadratisch.ggb" /><br />
<br />
<br><br />
Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit '''f(x) = ax²'''. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (<span style="color: darkred">nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!</span>).<br /><br />
Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.<br />
<br />
|}<br />
<br />
===Nochmal ganz langsam===<br />
:{{#ev:youtube|UCiaNcGIiOE|350}} {{#ev:youtube|yWAto5qEDJw|350}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br /><br />
<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_BremsbeschleunigungQuadratische Funktionen - Bremsbeschleunigung2009-03-28T15:16:58Z<p>Reinhard Schmidt: /* Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|Übungen 1]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen2|Übungen 2]] - [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine quadratische Funktion|Allgemeine quadratische Funktion]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen3|Übungen 3]] - <br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|Abschlusstest]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===<br />
<br />
Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.<br />
Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg. <br />
<br />
In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:<br /><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math> <br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und a<sub>B</sub> = Bremsbeschleunigung in m/s²). <br />
<br />
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.<br /><br />
''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.<br />
<br />
<br />
:::<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" /><br />
<br />
<br />&nbsp;<br />
<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=1|<br />
ARBEIT=<br />
Wie muss a<sub>B</sub> gewählt werden, damit ...<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?<br />
<br />
Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
#a<sub>B</sub> = 3,25 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 5,71 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 1,73 m/s<sup>2</sup><br />
}}<br />
}}<br />
<br />
<br />
In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt. <br />
<br />
{|<br />
<br />
|valign="top"|<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=2|<br />
ARBEIT=<br />
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei<br />
#60%, <br />
#75% <br />
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?<br />
<br />
Entnimm die erforderlichen Größen dem Video. <br />
<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
Bremswege:<br><br />
:s(60%) = 49 m <br><br />
:s(75%) = 47 m <br><br />
:s(100%) = 37 m <br><br />
<br />
Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:<br />
#a<sub>B</sub> = 7,87 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 8,21 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 10,43 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
andere Möglichkeit: <br />
Formel nach a<sub>B</sub> auflösen <br />
<br />
:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math><br />
<br />
dann die Werte einsetzen<br />
<br />
Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!<br />
<br />
v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
|valign="top"|<br />
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}<br />
<br />
|} <br />
<br />
<br />
<br />
Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren. <br />
Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:<br><br />
<math>s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> und dem Quadrat der Variablen.<br><br />
Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:<br />
<br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=3|<br />
ARBEIT=<br />
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v<sup>2</sup>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> wird kleiner, wenn a<sub>B</sub> größer wird. Wenn a<sub>B</sub> größer wird, verläuft der Graph flacher.<br />
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> größer, wenn a<sub>B</sub> kleiner wird. Wenn a<sub>B</sub> kleiner wird, verläuft der Graph steiler.<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
<br />
=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===<br />
<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form '''ax²'''. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.<br />
<br /><br />
{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung f(x)=ax² heißen '''Parabeln'''.<br />
<br />
Sie sind '''symmetrisch zur y-Achse.''' Der Punkt S(0|0) heißt '''Scheitel der Parabel''' und ist der tiefste Punkt.<br />
<br />
Ist a = 1 heißt der Graph '''Normalparabel'''.<br />
}}<br />
<br /><br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=4|<br />
ARBEIT=<br />
Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:<br />
Was passiert, wenn...<br /><br />
# ...a größer als 1 ist?<br /><br />
# ...a zwischen 0 und 1 liegt?<br /><br />
# ...a negativ ist?<br /><br />
:Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
# Ist a>0, dann ist die Parabel enger als die Normalparabel.<br />
# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter als die Normalparabel.<br />
# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.<br />
}}<br />
}}<br />
|width=20px|<br />
|valign="top"|<ggb_applet height="500" width="450" filename="Reinquadratisch.ggb" /><br />
<br />
<br><br />
Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit '''f(x) = ax²'''. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (<span style="color: darkred">nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!</span>).<br /><br />
Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.<br />
<br />
|}<br />
<br />
===Nochmal ganz langsam===<br />
:{{#ev:youtube|UCiaNcGIiOE|350}} {{#ev:youtube|yWAto5qEDJw|350}}<br />
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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
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|}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_BremsbeschleunigungQuadratische Funktionen - Bremsbeschleunigung2009-03-28T15:11:38Z<p>Reinhard Schmidt: /* Unterschiedliche Straßenverhältnisse */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|Übungen 1]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen2|Übungen 2]] - [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine quadratische Funktion|Allgemeine quadratische Funktion]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen3|Übungen 3]] - <br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|Abschlusstest]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===<br />
<br />
Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten ''Bremsbeschleunigung'' zum Ausdruck.<br />
Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg. <br />
<br />
In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:<br /><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
<math>s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math> <br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und a<sub>B</sub> = Bremsbeschleunigung in m/s²). <br />
<br />
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.<br /><br />
''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.<br />
<br />
<br />
:::<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" /><br />
<br />
<br />&nbsp;<br />
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{{Arbeiten| <br />
NUMMER=1|<br />
ARBEIT=<br />
Wie muss a<sub>B</sub> gewählt werden, damit ...<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?<br /><br />
#...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?<br />
<br />
Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
#a<sub>B</sub> = 3,25 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 5,71 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 1,73 m/s<sup>2</sup><br />
}}<br />
}}<br />
<br />
<br />
In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt. <br />
<br />
{|<br />
<br />
|valign="top"|<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=2|<br />
ARBEIT=<br />
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei<br />
#60%, <br />
#75% <br />
#100% der Betriebstemperatur der Bremsen?<br />
<br />
Entnimm die erforderlichen Größen dem Video. <br />
<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<br />
Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
Bremswege:<br><br />
:s(60%) = 49 m <br><br />
:s(75%) = 47 m <br><br />
:s(100%) = 37 m <br><br />
<br />
Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:<br />
#a<sub>B</sub> = 7,87 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 8,21 m/s<sup>2</sup><br />
#a<sub>B</sub> = 10,43 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
andere Möglichkeit: <br />
Formel nach a<sub>B</sub> auflösen <br />
<br />
:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math><br />
<br />
dann die Werte einsetzen<br />
<br />
Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!<br />
<br />
v = 100 km/h = (100:3,6) m/s<br />
<br />
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}}<br />
}}<br />
|valign="top"|<br />
:{{#ev:youtube|2CevzuOT5_0|350}}<br />
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|} <br />
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<br />
Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren. <br />
Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:<br><br />
<math>s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2</math>. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> und dem Quadrat der Variablen.<br><br />
Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:<br />
<br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=3|<br />
ARBEIT=<br />
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v<sup>2</sup>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
<math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> wird kleiner, wenn a<sub>B</sub> größer wird. Wenn a<sub>B</sub> größer wird, verläuft der Graph flacher.<br />
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> größer, wenn a<sub>B</sub> kleiner wird. Wenn a<sub>B</sub> kleiner wird, verläuft der Graph steiler.<br />
<br />
}}<br />
}}<br />
<br />
=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===<br />
<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form '''ax²'''. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.<br />
<br /><br />
{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung f(x)=ax² heißen '''Parabeln'''.<br />
<br />
Sie sind '''symmetrisch zur y-Achse.''' Der Punkt S(0;0) heißt '''Scheitel der Parabel''' und ist der tiefste Punkt.<br />
<br />
Ist a = 1 heißt der Graph '''Normalparabel'''.<br />
}}<br />
<br /><br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=4|<br />
ARBEIT=<br />
Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:<br />
Was passiert, wenn...<br /><br />
# ...a größer als 1 ist?<br /><br />
# ...a zwischen 0 und 1 liegt?<br /><br />
# ...a negativ ist?<br /><br />
:Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².<br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
# Ist a>0, dann ist die Parabel enger als die Normalparabel.<br />
# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter als die Normalparabel.<br />
# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.<br />
}}<br />
}}<br />
|width=20px|<br />
|valign="top"|<ggb_applet height="500" width="450" filename="Reinquadratisch.ggb" /><br />
<br />
<br><br />
Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit '''f(x) = ax²'''. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (<span style="color: darkred">nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!</span>).<br /><br />
Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.<br />
<br />
|}<br />
<br />
===Nochmal ganz langsam===<br />
:{{#ev:youtube|UCiaNcGIiOE|350}} {{#ev:youtube|yWAto5qEDJw|350}}<br />
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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_BremswegQuadratische Funktionen - Bremsweg2009-03-28T15:03:05Z<p>Reinhard Schmidt: /* Tabelle, Graph und Formel */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|Übungen 1]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen2|Übungen 2]] - [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine quadratische Funktion|Allgemeine quadratische Funktion]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen3|Übungen 3]] - <br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|Abschlusstest]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
=== Einstieg ===<br />
[[Bild:YouTube_Bremsentest.jpg|right|300px]]<br />
'''Ist bei doppelter Geschwindigkeit auch der Bremsweg doppelt so lang?''' Was meinst du? <br />
<br />
Diese Frage wurde im Fernsehen bei Kopfball.de untersucht. In dem [http://www.wdr.de/tv/kopfball/sendungsbeitraege/2008/0406/bremsweg.jsp Video aus der Sendung] findest du eine Antwort!! <br />
<br />
<br />
=== Tabelle, Graph und Formel ===<br />
<br />
Die Polizei hat Messungen durchgeführt, um den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und seinem Bremsweg zu erkunden. Klar ist: Je schneller eine Auto fährt, desto länger ist sein Bremsweg. Aber ist das wirklich so einfach...?<br />
<br />
Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat:<br />
<br />
<br />
::::{|border="1" cellspacing="0" cellpadding="4" width="200"<br />
|align = "right"|'''Geschwindigkeit (in km/h)'''<br />
|align = "right"|<font size = "3">10</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">20</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">30</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">40</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">50</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">80</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">100</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">120</font><br />
<br />
|-<br />
|align = "right"|'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;Bremsweg (in m)'''<br />
|align = "right"|<font size = "3">1</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">4</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">9</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">16</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">25</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">64</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">100</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">144</font><br />
<br />
|}<br />
<br />
&nbsp;<br />
<br />
{{Arbeiten|NUMMER=1|<br />
ARBEIT=<br />
#Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem dar. Trage dabei nach rechts die Geschwindigkeit (in km/h) und nach oben den Bremsweg (in m) ein.<br />
#Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen (der keine "Ecken" haben sollte).<br />
#Ermittle anhand des Graphen einen Schätzwert für den Bremsweg bei 70 km/h.<br />
}}<br />
<br />
:&nbsp;'''Lösung:''' <ggb_applet height="31" width="130" type="button" filename="bremsweg01.ggb" /><br />
<br />
<br><br />
<br><br />
<br />
{{Arbeiten|NUMMER=2|<br />
ARBEIT=<br />
#Zwischen den Daten der Wertetabelle besteht ein ganz bestimmter Zusammenhang. Versuche eine Formel zu finden, mit deren Hilfe man aus der Geschwindigkeit den Bremsweg berechnen kann.<br />
#In der Fahrschule lernt man: BW = v/10 mal v/10 (Bremsweg = Geschwindigkeit durch 10 mal Geschwindigkeit durch 10).<br />
:Vergleiche diese Formel mit der von dir in a) gefundenen Formel.<br /><br /><br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
#z.B. <math>s = 0,01 \cdot v^2</math> oder <math>s = \frac{v^2}{100}</math>(dabei ist s der Bremsweg in Metern und v die Geschwindigkeit in km/h)<br /><br />
#Fahrschulformel: <math>s = \frac{v}{10} \cdot \frac{v}{10} = \frac{v^2}{100} = \frac{1}{100} \cdot v^2 = 0,01 \cdot v^2</math>. Die Formeln stimmen also überein.<br /><br />
: ''Bemerkung: Die Formeln stimmen nur für gewöhnliche, nicht für "Gefahren"-bremsungen.''<br />
}}<br />
<br />
}}<br />
<br />
<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="600"|In einem ruhigen Wohnviertel in Niederbremsbach hat Herr Mütze fast ein kleines Mädchen angefahren, das ihrem auf die Straße rollenden Ball hinterher lief. Obwohl das Mädchen mit dem Schrecken davonkam, soll nun geklärt werden, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h gehalten hatte. Dem Unfallprotokoll ist zu entnehmen, dass Herr Mütze eine Bremsspur von 30,25 Metern erzeugt hat.[[Bild:unfall1.gif|right]]<br />
|align = "right"|&nbsp;<br />
|align = "right"|<br />
[[Bild:Bundesarchiv Bild 183-J0710-0303-012, Wismar, Wendorf, Kinder mit Ball.jpg|200px]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
{{Arbeiten|NUMMER=3|<br />
ARBEIT=<br />
#Entscheide, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hatte.<br /><br />
#Berechne die Geschwindigkeit, die zu einem Bremsweg von 30,25 Metern führt.<br /><br /><br />
<br />
:{{Lösung versteckt|1=<br />
#Nach obiger Tabelle hätte Herr Mütze, falls er sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hätte, allenfalls einen Bremsweg von 25 m haben dürfen.<br /><br />
#<math>30,25 = 0,01 \cdot v^2 \Leftrightarrow 3025 = v^2\Leftrightarrow v = \pm \,55</math> <br />
:Nach der Formel aus Aufgabe 1 war Herr Mütze 55 km/h schnell.<br />
:''Bemerkung: Tatsächlich ist der Bremsweg bei einer "Gefahrenbremsung" nur etwa halb so lang wie in der obigen Tabelle angegeben. Geht man von einer "Gefahrenbremsung" aus, so käme man auf eine Geschwindigkeit von fast 78 km/h!''<br /><br />
}}<br />
<br />
}}<br />
<br />
<br /><br />
<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du, wie die Länge des Bremsweges von der "Bremsbeschleunigung" abhängig ist.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_%C3%9Cbungen_1Quadratische Funktionen - Übungen 12009-03-28T14:50:12Z<p>Reinhard Schmidt: </p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|Übungen 1]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen2|Übungen 2]] - [[Quadratische_Funktionen_-_allgemeine quadratische Funktion|Allgemeine quadratische Funktion]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen3|Übungen 3]] - <br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|Abschlusstest]]<br />
</div><br />
<br />
__NOTOC__<br />
{|<br />
<big>'''Aufgabe 1: Wie war das Wetter?'''</big><br />
|Die zulässige Höchstgeschwindigkeit beträgt innerhalb geschlossener Ortschaften 50 km/h. Unter idealen Bedingungen sollte ein Pkw in einer Gefahrensituation rechtzeitig vor Erreichen der Gefahrenstelle bremsen können. Der Wert der Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> und damit die Länge des Bremsweges ist aber abhängig von den Straßenverhältnissen. In der Tabelle sind einige Werte für die Bremsbeschleunigung eines Pkws auf einer asphaltierten Straße bei unterschiedlichen Witterungsverhältnissen angegeben. <br />
<br />
Ordne dem gegebenen Bremsweg s die passende Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> und die Straßenverhältnisse zu. <br />
<br />
'''Tipp:''' Du kannst die Übung durch Rechnen, mit Hilfe eines GeoGebra-Applets oder durch Nachdenken lösen.<br />
<br />
|width="20px"|<br />
|valign=top|<br />
{| class="prettytable" <br />
!Straßenverhältnisse<br />
!Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> in m/s<sup>2</sup><br />
|-<br />
|Asphalt trocken<br />
| align="center" | 6,5 bis 7,5 <br />
|-<br />
|Asphalt nass<br />
| align="center" | 5,0 bis 6,5<br />
|-<br />
|Neuschnee<br />
| align="center" | 2,0 bis 3,0<br />
|-<br />
|Glatteis<br />
| align="center" | 1,0 bis 1,5<br />
|}<br />
<br />
|}<br />
<br />
<div class="zuordnungs-quiz"><br />
<br />
{| <br />
| s = 13 m || a<sub>B</sub> = 7,4 m/s<sup>2</sup> || trockener Asphalt <br />
|-<br />
| s = 18 m || a<sub>B</sub> = 5,4 m/s<sup>2</sup> || nasser Asphalt<br />
|-<br />
| s = 80 m || a<sub>B</sub> = 1,2 m/s<sup>2</sup> || Glatteis<br />
|-<br />
| s = 37 m || a<sub>B</sub> = 2,6 m/s<sup>2</sup> || Neuschnee <br />
|}<br />
<br />
</div><br />
<br />
<br><br><br />
<br />
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Aufgabe 2: Lückentext'''</big><br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
Die Graph der Funktion f mit f(x)=ax² heißt <strong> Parabel </strong>. Ist a = 1, so heißt der Graph <strong> Normalparabel</strong>.<br><br />
Quadratische Funktionen mit dem Funktionsterm <strong>ax²</strong> liegen <strong>symmetrisch </strong> zur <strong>y-Achse</strong>.<br><br />
Der Punkt S (0;0) heißt <strong>Scheitel </strong>.<br><br />
Für a>0 gilt: Je <strong>größer </strong> a ist, desto steiler ist die Parabel. <br><br />
Für a>0 gilt: Je kleiner a ist, desto <strong> weiter </strong> ist die Parabel. <br><br />
</div><br />
<br><br />
<br><br />
<br />
<br />
</div><br />
<br><br><br />
<br />
{|<br />
<br />
|-<br />
|<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Aufgabe 3: Bestimme a'''</big><br />
<br />
Die beiden Parabeln haben die Funktionsgleichung '''f(x) = ax<sup>2</sup>'''.<br />
<br />
Finde jeweils heraus, welchen Wert a besitzt und erkläre wie du vorgegangen bist. <br />
{|<br />
|width=400px|<br />
<br />
[[Bild:Üb1_Parabel1.jpg|395px]]<br />
<br />
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;"><br />
&nbsp;{{Lösung versteckt|1=<br />
:#Der Punkt (4/4) liegt auf der Parabel.<br />
:#Es gilt also 4 = a·4<sup>2</sup>.<br />
:#Damit ist a = 0,25. <br />
}}<br />
</div><br />
|width=10px|<!--Diese Spalte bleibt leer und legt den Abstand zwischen Text und Bild fest--><br />
|valign="top" |<br />
[[Bild:Üb1_Parabel2.jpg|395px]]<br />
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;"><br />
&nbsp;{{Lösung versteckt|1=<br />
:#Der Punkt (1/-3) liegt auf der Parabel<br />
:#Es gilt also -3 = a·1<sup>2</sup><br />
:#Damit ist a = - 3. <br />
}}<br />
</div><br />
|}<br />
</div><br />
<br />
|}<br />
<br><br><br />
<br />
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Aufgabe 4: Term und Graph zuordnen'''</big><br />
<br />
Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.<br />
<div class="lueckentext-quiz"><br />
<br />
<br />
{| <br />
|- <br />
| [[Bild:Parabel_a_0_5a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_2a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_3a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_0_75a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_1_25a.jpg|150px]] || [[Bild:Parabel_a_0_2a.jpg|150px]] <br />
|- <br />
| <strong> 0,5x<sup>2</sup> </strong> || <strong> 2x<sup>2</sup> </strong> || <strong> 3x<sup>2</sup> </strong> || <strong> 0,75x<sup>2</sup> </strong> || <strong> 1,25x<sup>2</sup> </strong> || <strong> 0,2x<sup>2</sup> </strong><br />
|}<br />
<br />
</div><br />
</div><br />
<br><br><br />
<br />
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;"><br />
<big>'''Aufgabe 5: Multiple Choice'''</big><br />
<br />
'''Kreuze die zutreffenden Aussagen an. Es sind jeweils mehrere Antworten richtig. '''<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''f(x) = 3,5x<sup>2</sup>''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|14] liegt auf dem Graphen.) (Der Punkt [14|2] liegt nicht auf dem Graphen.)<br />
<br />
'''f(x) = - 0,5x<sup>2</sup>''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (!Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|-2] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [2|2] liegt auf dem Graphen.)<br />
<br />
'''f(x) = - 2x<sup>2</sup>''' (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (!Der Punkt [0|-2] liegt auf dem Graphen.) (Der Punkt [1|2] liegt oberhalb des Graphen.)<br />
<br />
'''f(x) = 0,2x<sup>2</sup>''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (!Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (!Der Punkt [-1|2] liegt auf dem Graphen.) (Der Punkt [-1|1] liegt oberhalb des Graphen.)<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes beschäftigst du dich mit dem Anhalteweg.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Datei:8_ax1nc_w.ggbDatei:8 ax1nc w.ggb2009-03-28T13:59:50Z<p>Reinhard Schmidt: hat eine neue Version von „Bild:8 ax1nc w.ggb“ hochgeladen: {{Information
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}</p>
<hr />
<div>{{Information_ohne_UploadWizard<br />
|Beschreibung = <br />
|Quelle = <br />
|Urheber = <br />
|Datum = <br />
|Genehmigung = <br />
|Andere Versionen = <br />
|Anmerkungen = <br />
}}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Potenzfunktionen_-_3._StufePotenzfunktionen - 3. Stufe2009-03-28T13:43:28Z<p>Reinhard Schmidt: /* Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen Test|Test]]'''</div><br />
<br />
<br />
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' <br />
<br />
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==<br />
<br />
=== Funktionsgraph kennenlernen ===<br />
<br />
{| cellspacing="10"<br />
|- style="vertical-align:top;"<br />
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= <br />
Rechts siehst Du den Graphen der Funktion mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{2,3,4,5\}</math>.<br /><br />
# Beschreibe den Graphen und achte dabei auf<br />
#* Definitionsbereich<br />
#* Monotonie<br />
#* größte und kleinste Funktionswerte<br />
# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre><br />
:{{Lösung versteckt|<br />
: zu 1) Der Definitionsbereich ist <math>{\Bbb D}={\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton an. Symmetrien (Achsen- bzw. Punktsymmetrie) findet man nur für die rot gestrichelten, nicht aber für die blauen Graphen.<br />
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen Graphen, sowohl in allen blauen als auch in allen roten. Begründung: Es gilt stets <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}</math>.<br />
}}<br />
}}<br><br />
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" <br />
filename="Woerler_001b.ggb" /><br />
|}<br />
<br />
=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 ===<br />
<br />
{| cellspacing="10"<br />
|- style="vertical-align:top;"<br />
| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT= <br />
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern. <br />
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf<br />
#* Definitionsbereich<br />
#* Symmetrie<br />
#* Monotonie<br />
#* größte und kleinste Funktionswerte<br />
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre><br />
:{{Lösung versteckt|<br />
: zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an.<br />
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen blauen Graphen. Begründung: Es gilt stets <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>.<br />
}}<br />
}}<br><br />
|| <ggb_applet height="350" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" <br />
filename="Woerler_001.ggb" /><br />
|}<br />
<!--<br />
neue Datei {{ggb|Woerler_001.ggb|datei}}--><br />
<br />
== Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln ==<br />
<br />
Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}.</math><br />
<br />
Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ist (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) <math>{\Bbb D} = {\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion <math>g</math> der Bauart <math>g(x)=x^n</math> und <math>g</math> die Umkehrfunktion zu <math>f</math> (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe nächstes Kapitel).<br />
<br />
Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:<br />
:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math><br />
<br />
Im Falle <math>n=3</math> nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <font style="vertical-align:27%;"><math>x^{\frac{1}{3}}</math></font> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>. Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:<br />
<br />
=== Beispiel: Quadratwurzeln ===<br />
<br />
[[Bild:diagonale.png|right|165px]] <br />
<br />
[[Bild:diagonale3.png|right|170px]]<br />
Beispielsweise ergibt sich die Länge <math>d</math> der '''Diagonale in einem Quadrat''' der Seitenlänge <math>a=1</math> über den Satz des Pythagoras (<math>a^2 + a^2 = d^2</math>) zu:<br />
:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =d^2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math><br />
Die Lösung ist <font style="vertical-align:18%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.<br />
<br />
<br />
Auch die Länge der '''Raumdiagonale <math>D</math> im Einheitswürfel ('''das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>d^2 + s^2 = D^2</math>) zu:<br />
:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = D^2 \quad \Rightarrow \quad D = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math><br />
Die Lösung ist also <math>\textstyle D = \sqrt{3}</math> angeben.<br />
<br />
=== Beispiel: Kubikwurzel ===<br />
<br />
Das Volumen <math>V</math> eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge <math>s=5</math> ergibt sich über:<br /><br />
:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math><br />
<br />
Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen <math>V=27</math> durch ziehen der 3.-Wurzel:<br />
:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math><br />
<br />
== Einfluss von Parametern ==<br />
<br />
<ggb_applet height="400" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" <br />
filename="8_ax1nc_w.ggb" /><br />
<br />
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= <br />
In nebenstehendem Applet kannst Du die Parameter <math>a</math> und <math>c</math> mit den Schiebereglern verändern.<br /><br />
# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?<br />
# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?<br />
:{{Lösung versteckt|<br />
: Der Parameter <math>a</math> bewirkt für <math>a>1</math> eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für <math>0<a<1</math> eine Stauchung in y-Richtung; für <math>a=0</math> erhält man eine konstante Funktion mit <math>f(x)=c</math>. Wird <math>a</math> negativ, so wird <math>f</math> zu einer monoton fallenden Funktion.<br />Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert <math>y</math> der Wert <math>c</math> addiert wird.<br />
}}<br><br />
}}<br />
<br />
<!--{{ggb|8_ax1nc_w.ggb|Datei hochladen}}--><br />
<br />
== *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==<br />
<small>(freilwillig)</small><br />
==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup><sub>0</sub> ====<br />
<br />
Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: <math>\sqrt[3]{-8}= -2,</math><br />
<br />
Wegen <br />
:<math>(-2)^3 = -8</math> <br />
<br />
erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt: <br />
<br />
:<math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math><br />
<br />
<br />
Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:<br />
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math><br />
<br />
==== Wurzelfunktion auf ganz IR ====<br />
<br />
Will man eine Wurzelfunktion ''g'' dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa ''g'' derart, dass<br />
:<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>. <br />
Dann gilt: ID<sub>g</sub> = IR.</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Potenzfunktionen_-_3._StufePotenzfunktionen - 3. Stufe2009-03-28T13:41:02Z<p>Reinhard Schmidt: /* Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen Test|Test]]'''</div><br />
<br />
<br />
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' <br />
<br />
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==<br />
<br />
=== Funktionsgraph kennenlernen ===<br />
<br />
{| cellspacing="10"<br />
|- style="vertical-align:top;"<br />
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= <br />
Rechts siehst Du den Graphen der Funktion mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{2,3,4,5\}</math>.<br /><br />
# Beschreibe den Graphen und achte dabei auf<br />
#* Definitionsbereich<br />
#* Monotonie<br />
#* größte und kleinste Funktionswerte<br />
# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre><br />
:{{Lösung versteckt|<br />
: zu 1) Der Definitionsbereich ist <math>{\Bbb D}={\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton an. Symmetrien (Achsen- bzw. Punktsymmetrie) findet man nur für die rot gestrichelten, nicht aber für die blauen Graphen.<br />
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen Graphen, sowohl in allen blauen als auch in allen roten. Begründung: Es gilt stets <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}</math>.<br />
}}<br />
}}<br><br />
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" <br />
filename="Woerler_001b.ggb" /><br />
|}<br />
<br />
=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 ===<br />
<br />
{| cellspacing="10"<br />
|- style="vertical-align:top;"<br />
| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT= <br />
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern. <br />
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf<br />
#* Definitionsbereich<br />
#* Symmetrie<br />
#* Monotonie<br />
#* größte und kleinste Funktionswerte<br />
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre><br />
:{{Lösung versteckt|<br />
: zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an.<br />
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen blauen Graphen. Begründung: Es gilt stets <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>.<br />
}}<br />
}}<br><br />
|| <ggb_applet height="350" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" <br />
filename="Woerler_001.ggb" /><br />
|}<br />
<!--<br />
neue Datei {{ggb|Woerler_001.ggb|datei}}--><br />
<br />
== Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln ==<br />
<br />
Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}.</math><br />
<br />
Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ID ist - wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben - nicht negativ (Nähere Erläuterungen hierzu: siehe unten) , also <math>ID = IR<sup>+</sup><sub>0</sub></math>. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion <math>g</math> der Bauart <math>g(x)=x^n</math> und <math>g</math> die Umkehrfunktion zu <math>f</math> (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe nächstes Kapitel).<br />
<br />
Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:<br />
:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math><br />
<br />
Im Falle <math>n=3</math> nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <font style="vertical-align:27%;"><math>x^{\frac{1}{3}}</math></font> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>. Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:<br />
<br />
=== Beispiel: Quadratwurzeln ===<br />
<br />
[[Bild:diagonale.png|right|165px]] <br />
<br />
[[Bild:diagonale3.png|right|170px]]<br />
Beispielsweise ergibt sich die Länge <math>d</math> der '''Diagonale in einem Quadrat''' der Seitenlänge <math>a=1</math> über den Satz des Pythagoras (<math>a^2 + a^2 = d^2</math>) zu:<br />
:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =d^2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math><br />
Die Lösung ist <font style="vertical-align:18%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.<br />
<br />
<br />
Auch die Länge der '''Raumdiagonale <math>D</math> im Einheitswürfel ('''das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>d^2 + s^2 = D^2</math>) zu:<br />
:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = D^2 \quad \Rightarrow \quad D = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math><br />
Die Lösung ist also <math>\textstyle D = \sqrt{3}</math> angeben.<br />
<br />
=== Beispiel: Kubikwurzel ===<br />
<br />
Das Volumen <math>V</math> eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge <math>s=5</math> ergibt sich über:<br /><br />
:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math><br />
<br />
Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen <math>V=27</math> durch ziehen der 3.-Wurzel:<br />
:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math><br />
<br />
== Einfluss von Parametern ==<br />
<br />
<ggb_applet height="400" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" <br />
filename="8_ax1nc_w.ggb" /><br />
<br />
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= <br />
In nebenstehendem Applet kannst Du die Parameter <math>a</math> und <math>c</math> mit den Schiebereglern verändern.<br /><br />
# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?<br />
# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?<br />
:{{Lösung versteckt|<br />
: Der Parameter <math>a</math> bewirkt für <math>a>1</math> eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für <math>0<a<1</math> eine Stauchung in y-Richtung; für <math>a=0</math> erhält man eine konstante Funktion mit <math>f(x)=c</math>. Wird <math>a</math> negativ, so wird <math>f</math> zu einer monoton fallenden Funktion.<br />Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert <math>y</math> der Wert <math>c</math> addiert wird.<br />
}}<br><br />
}}<br />
<br />
<!--{{ggb|8_ax1nc_w.ggb|Datei hochladen}}--><br />
<br />
== *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==<br />
<small>(freilwillig)</small><br />
==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup><sub>0</sub> ====<br />
<br />
Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: <math>\sqrt[3]{-8}= -2,</math><br />
<br />
Wegen <br />
:<math>(-2)^3 = -8</math> <br />
<br />
erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt: <br />
<br />
:<math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math><br />
<br />
<br />
Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:<br />
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math><br />
<br />
==== Wurzelfunktion auf ganz IR ====<br />
<br />
Will man eine Wurzelfunktion ''g'' dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa ''g'' derart, dass<br />
:<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>. <br />
Dann gilt: ID<sub>g</sub> = IR.</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Potenzfunktionen_-_3._StufePotenzfunktionen - 3. Stufe2009-03-28T13:22:21Z<p>Reinhard Schmidt: </p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen Test|Test]]'''</div><br />
<br />
<br />
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' <br />
<br />
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==<br />
<br />
=== Funktionsgraph kennenlernen ===<br />
<br />
{| cellspacing="10"<br />
|- style="vertical-align:top;"<br />
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= <br />
Rechts siehst Du den Graphen der Funktion mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{2,3,4,5\}</math>.<br /><br />
# Beschreibe den Graphen und achte dabei auf<br />
#* Definitionsbereich<br />
#* Monotonie<br />
#* größte und kleinste Funktionswerte<br />
# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre><br />
:{{Lösung versteckt|<br />
: zu 1) Der Definitionsbereich ist <math>{\Bbb D}={\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton an. Symmetrien (Achsen- bzw. Punktsymmetrie) findet man nur für die rot gestrichelten, nicht aber für die blauen Graphen.<br />
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen Graphen, sowohl in allen blauen als auch in allen roten. Begründung: Es gilt stets <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}</math>.<br />
}}<br />
}}<br><br />
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" <br />
filename="Woerler_001b.ggb" /><br />
|}<br />
<br />
=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 ===<br />
<br />
{| cellspacing="10"<br />
|- style="vertical-align:top;"<br />
| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT= <br />
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern. <br />
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf<br />
#* Definitionsbereich<br />
#* Symmetrie<br />
#* Monotonie<br />
#* größte und kleinste Funktionswerte<br />
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre><br />
:{{Lösung versteckt|<br />
: zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an.<br />
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen blauen Graphen. Begründung: Es gilt stets <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>.<br />
}}<br />
}}<br><br />
|| <ggb_applet height="350" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" <br />
filename="Woerler_001.ggb" /><br />
|}<br />
<!--<br />
neue Datei {{ggb|Woerler_001.ggb|datei}}--><br />
<br />
== Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln ==<br />
<br />
Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}.</math><br />
<br />
Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ID ist - wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben - nicht negativ (Nähere Erläuterungen hierzu: siehe unten) , also ID = IR<sup>+</sup><sub>0</sub>. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion <math>g</math> der Bauart <math>g(x)=x^n</math> und <math>g</math> die Umkehrfunktion zu <math>f</math> (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe nächstes Kapitel).<br />
<br />
Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:<br />
:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math><br />
<br />
Im Falle <math>n=3</math> nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <font style="vertical-align:27%;"><math>x^{\frac{1}{3}}</math></font> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>. Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:<br />
<br />
=== Beispiel: Quadratwurzeln ===<br />
<br />
[[Bild:diagonale.png|right|165px]] <br />
<br />
[[Bild:diagonale3.png|right|170px]]<br />
Beispielsweise ergibt sich die Länge <math>d</math> der '''Diagonale in einem Quadrat''' der Seitenlänge <math>a=1</math> über den Satz des Pythagoras (<math>a^2 + a^2 = d^2</math>) zu:<br />
:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =d^2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math><br />
Die Lösung ist <font style="vertical-align:18%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.<br />
<br />
<br />
Auch die Länge der '''Raumdiagonale <math>D</math> im Einheitswürfel ('''das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>d^2 + s^2 = D^2</math>) zu:<br />
:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = D^2 \quad \Rightarrow \quad D = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math><br />
Die Lösung ist also <math>\textstyle D = \sqrt{3}</math> angeben.<br />
<br />
=== Beispiel: Kubikwurzel ===<br />
<br />
Das Volumen <math>V</math> eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge <math>s=5</math> ergibt sich über:<br /><br />
:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math><br />
<br />
Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen <math>V=27</math> durch ziehen der 3.-Wurzel:<br />
:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math><br />
<br />
== Einfluss von Parametern ==<br />
<br />
<ggb_applet height="400" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" <br />
filename="8_ax1nc_w.ggb" /><br />
<br />
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= <br />
In nebenstehendem Applet kannst Du die Parameter <math>a</math> und <math>c</math> mit den Schiebereglern verändern.<br /><br />
# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?<br />
# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?<br />
:{{Lösung versteckt|<br />
: Der Parameter <math>a</math> bewirkt für <math>a>1</math> eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für <math>0<a<1</math> eine Stauchung in y-Richtung; für <math>a=0</math> erhält man eine konstante Funktion mit <math>f(x)=c</math>. Wird <math>a</math> negativ, so wird <math>f</math> zu einer monoton fallenden Funktion.<br />Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert <math>y</math> der Wert <math>c</math> addiert wird.<br />
}}<br><br />
}}<br />
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<!--{{ggb|8_ax1nc_w.ggb|Datei hochladen}}--><br />
<br />
== *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==<br />
<small>(freilwillig)</small><br />
==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup><sub>0</sub> ====<br />
<br />
Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: <math>\sqrt[3]{-8}= -2,</math><br />
<br />
Wegen <br />
:<math>(-2)^3 = -8</math> <br />
<br />
erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt: <br />
<br />
:<math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math><br />
<br />
<br />
Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:<br />
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math><br />
<br />
==== Wurzelfunktion auf ganz IR ====<br />
<br />
Will man eine Wurzelfunktion ''g'' dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa ''g'' derart, dass<br />
:<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>. <br />
Dann gilt: ID<sub>g</sub> = IR.</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Potenzfunktionen_-_3._StufePotenzfunktionen - 3. Stufe2009-03-28T13:18:20Z<p>Reinhard Schmidt: </p>
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<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen Test|Test]]'''</div><br />
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<br />
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' <br />
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== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==<br />
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=== Funktionsgraph kennenlernen ===<br />
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{| cellspacing="10"<br />
|- style="vertical-align:top;"<br />
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= <br />
Rechts siehst Du den Graphen der Funktion mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{1,2,3,4,5\}</math>.<br /><br />
# Beschreibe den Graphen und achte dabei auf<br />
#* Definitionsbereich<br />
#* Monotonie<br />
#* größte und kleinste Funktionswerte<br />
# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre><br />
:{{Lösung versteckt|<br />
: zu 1) Der Definitionsbereich ist <math>{\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an. Symmetrien (Achsen- bzw. Punktsymmetrie) findet man nur für die rot gestrichelten, nicht aber für die blauen Graphen.<br />
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen Graphen, sowohl in allen blauen, als auch in allen roten. Begründung: Es gilt stets <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>.<br />
}}<br />
}}<br><br />
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" <br />
filename="Woerler_001b.ggb" /><br />
|}<br />
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=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 ===<br />
<br />
{| cellspacing="10"<br />
|- style="vertical-align:top;"<br />
| {{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT= <br />
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern. <br />
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf<br />
#* Definitionsbereich<br />
#* Symmetrie<br />
#* Monotonie<br />
#* größte und kleinste Funktionswerte<br />
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre><br />
:{{Lösung versteckt|<br />
: zu 1) Der Definitionsbereich der blauen Graphen ist nicht-negativ. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an.<br />
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen blauen Graphen. Begründung: Es gilt stets <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>.<br />
}}<br />
}}<br><br />
|| <ggb_applet height="350" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" <br />
filename="Woerler_001.ggb" /><br />
|}<br />
<!--<br />
neue Datei {{ggb|Woerler_001.ggb|datei}}--><br />
<br />
== Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln ==<br />
<br />
Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}.</math><br />
<br />
Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ID ist - wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben - nicht negativ (Nähere Erläuterungen hierzu: siehe unten) , also ID = IR<sup>+</sup><sub>0</sub>. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion <math>g</math> der Bauart <math>g(x)=x^n</math> und <math>g</math> die Umkehrfunktion zu <math>f</math> (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe nächstes Kapitel).<br />
<br />
Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:<br />
:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math><br />
<br />
Im Falle <math>n=3</math> nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <font style="vertical-align:27%;"><math>x^{\frac{1}{3}}</math></font> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>. Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:<br />
<br />
=== Beispiel: Quadratwurzeln ===<br />
<br />
[[Bild:diagonale.png|right|165px]] <br />
<br />
[[Bild:diagonale3.png|right|170px]]<br />
Beispielsweise ergibt sich die Länge <math>d</math> der '''Diagonale in einem Quadrat''' der Seitenlänge <math>a=1</math> über den Satz des Pythagoras (<math>a^2 + a^2 = d^2</math>) zu:<br />
:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =d^2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math><br />
Die Lösung ist <font style="vertical-align:18%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.<br />
<br />
<br />
Auch die Länge der '''Raumdiagonale <math>D</math> im Einheitswürfel ('''das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>d^2 + s^2 = D^2</math>) zu:<br />
:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = D^2 \quad \Rightarrow \quad D = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math><br />
Die Lösung ist also <math>\textstyle D = \sqrt{3}</math> angeben.<br />
<br />
=== Beispiel: Kubikwurzel ===<br />
<br />
Das Volumen <math>V</math> eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge <math>s=5</math> ergibt sich über:<br /><br />
:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math><br />
<br />
Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen <math>V=27</math> durch ziehen der 3.-Wurzel:<br />
:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math><br />
<br />
== Einfluss von Parametern ==<br />
<br />
<ggb_applet height="400" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" <br />
filename="8_ax1nc_w.ggb" /><br />
<br />
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= <br />
In nebenstehendem Applet kannst Du die Parameter <math>a</math> und <math>c</math> mit den Schiebereglern verändern.<br /><br />
# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?<br />
# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?<br />
:{{Lösung versteckt|<br />
: Der Parameter <math>a</math> bewirkt für <math>a>1</math> eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für <math>0<a<1</math> eine Stauchung in y-Richtung; für <math>a=0</math> erhält man eine konstante Funktion mit <math>f(x)=c</math>. Wird <math>a</math> negativ, so wird <math>f</math> zu einer monoton fallenden Funktion.<br />Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert <math>y</math> der Wert <math>c</math> addiert wird.<br />
}}<br><br />
}}<br />
<br />
<!--{{ggb|8_ax1nc_w.ggb|Datei hochladen}}--><br />
<br />
== *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==<br />
<small>(freilwillig)</small><br />
==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup><sub>0</sub> ====<br />
<br />
Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: <math>\sqrt[3]{-8}= -2,</math><br />
<br />
Wegen <br />
:<math>(-2)^3 = -8</math> <br />
<br />
erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt: <br />
<br />
:<math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math><br />
<br />
<br />
Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:<br />
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math><br />
<br />
==== Wurzelfunktion auf ganz IR ====<br />
<br />
Will man eine Wurzelfunktion ''g'' dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa ''g'' derart, dass<br />
:<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>. <br />
Dann gilt: ID<sub>g</sub> = IR.</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Datei:Didaktischer_Kommentar_quad_Fkt.pdfDatei:Didaktischer Kommentar quad Fkt.pdf2008-11-22T20:03:42Z<p>Reinhard Schmidt: hat eine neue Version von „Bild:Didaktischer Kommentar quad Fkt.pdf“ hochgeladen: * Beschreibung: Didaktischer Kommentar zum Lernpfad: Einführung in die quadratischen Funktionen
* Autor: Reinhard Schmidt
* Datum: 7.10.2008, aktualisiert 22.11.200</p>
<hr />
<div>* Beschreibung: Didaktischer Kommentar zum Lernpfad: Einführung in die quadratischen Funktionen<br />
* Autor: Reinhard Schmidt<br />
* Datum: 7.10.2008<br />
* Lizenz: {{MV-Lizenz}}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Datei:Didaktischer_Kommentar_quad_Fkt.pdfDatei:Didaktischer Kommentar quad Fkt.pdf2008-11-22T20:01:39Z<p>Reinhard Schmidt: hat eine neue Version von „Bild:Didaktischer Kommentar quad Fkt.pdf“ hochgeladen: * Beschreibung: Didaktischer Kommentar zum Lernpfad: Einführung in die quadratischen Funktionen
* Autor: Reinhard Schmidt
* Datum: 7.10.2008, aktualisiert 22.11.200</p>
<hr />
<div>* Beschreibung: Didaktischer Kommentar zum Lernpfad: Einführung in die quadratischen Funktionen<br />
* Autor: Reinhard Schmidt<br />
* Datum: 7.10.2008<br />
* Lizenz: {{MV-Lizenz}}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Datei:Didaktischer_Kommentar_quad_Fkt.pdfDatei:Didaktischer Kommentar quad Fkt.pdf2008-11-22T20:01:01Z<p>Reinhard Schmidt: hat eine neue Version von „Bild:Didaktischer Kommentar quad Fkt.pdf“ hochgeladen: * Beschreibung: Didaktischer Kommentar zum Lernpfad: Einführung in die quadratischen Funktionen
* Autor: Reinhard Schmidt
* Datum: 7.10.2008, aktualisiert 22.11.200</p>
<hr />
<div>* Beschreibung: Didaktischer Kommentar zum Lernpfad: Einführung in die quadratischen Funktionen<br />
* Autor: Reinhard Schmidt<br />
* Datum: 7.10.2008<br />
* Lizenz: {{MV-Lizenz}}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Datei:Didaktischer_Kommentar_quad_Fkt.pdfDatei:Didaktischer Kommentar quad Fkt.pdf2008-11-22T19:58:08Z<p>Reinhard Schmidt: hat eine neue Version von „Bild:Didaktischer Kommentar quad Fkt.pdf“ hochgeladen: * Beschreibung: Didaktischer Kommentar zum Lernpfad: Einführung in die quadratischen Funktionen
* Autor: Reinhard Schmidt
* Datum: 7.10.2008, aktualisiert 22.11.200</p>
<hr />
<div>* Beschreibung: Didaktischer Kommentar zum Lernpfad: Einführung in die quadratischen Funktionen<br />
* Autor: Reinhard Schmidt<br />
* Datum: 7.10.2008<br />
* Lizenz: {{MV-Lizenz}}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Datei:Didaktischer_Kommentar_quad_Fkt.pdfDatei:Didaktischer Kommentar quad Fkt.pdf2008-11-22T19:56:50Z<p>Reinhard Schmidt: hat eine neue Version von „Bild:Didaktischer Kommentar quad Fkt.pdf“ hochgeladen: * Beschreibung: Didaktischer Kommentar zum Lernpfad: Einführung in die quadratischen Funktionen
* Autor: Reinhard Schmidt
* Datum: 7.10.2008, aktualisiert 22.11.200</p>
<hr />
<div>* Beschreibung: Didaktischer Kommentar zum Lernpfad: Einführung in die quadratischen Funktionen<br />
* Autor: Reinhard Schmidt<br />
* Datum: 7.10.2008<br />
* Lizenz: {{MV-Lizenz}}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_Teste_dein_WissenQuadratische Funktionen - Teste dein Wissen2008-11-22T19:08:25Z<p>Reinhard Schmidt: /* Interaktive Übungen */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen|Übungen]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]]<br />
- [[Quadratische_Funktionen_-_Teste_dein_Wissen|Teste dein Wissen!]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
== Interaktive Übungen ==<br />
Im vorigen Kapitel hatten wir es mit einer Funktion zu tun, die neben dem reinquadratischen Teil (dem Bremsweg) auch noch einen linearen Teil (den Reaktionsweg) besaß.<br />
Den allgemeinsten Fall einer quadratischen Funktion haben wir, wenn die Funktionsgleichung die Form <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>f(x)=ax^2+bx+c </math>'''&nbsp;</span> hat.<br />
<br />
An Funktionen mit derartigen Gleichungen sollst du nun dein Wissen erproben:<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=1|<br />
ARBEIT=<br />
Experimentiere mit dem Applet und erläutere, welchen Einfluss die Parameter a, b und c auf den Verlauf des Graphen haben.<br />
<br />
}}<br />
<br />
<ggb_applet height="400" width="950" filename="Parabeln_test.ggb" /><br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=2|<br />
ARBEIT=<br />
Stelle die drei Schieberegler so ein, dass der schwarze Graph genau auf dem<br />
<br />
'''a)''' roten<br />
<br />
'''b)''' grünen<br />
<br />
'''c)''' blauen<br />
<br />
Graphen liegt.<br />
<br />
}}<br />
<br />
<ggb_applet height="550" width="950" filename="Parabeln.ggb" /><br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=3|<br />
ARBEIT=<br />
In den Aufgaben '''2b)''' und '''c)''' hast du wahrscheinlich einen Zusammenhang (''"Wenn zwei Graphen spiegelbildlich bezüglich der y-Achse liegen, dann ..."'') entdeckt. <br />
Experimentiere erneut mit dem ersten Applet und bestätige deine Vermutung.<br />
}}<br />
<br />
== Arbeitsblätter ==<br />
*[http://www.sinus.lernnetz.de/aufgaben1/materialien/mathematik/sek_I/quadratische_funktionen.doc Arbeitsblatt aus dem Sinus-Lernnetz]<br />
<br />
<br />
== Links ==<br />
*Ideen zum Thema [[Quadratische_Funktion/Wurfparabel|"Wurfparabel"]]<br />
*[http://wiki.zum.de/Quadratische_Funktion Allgemeines zu Quadratischen Funktionen]<br />
*{{wpde|Bremsweg|Bremsweg bei Wikipedia}}<br />
<br />
<br />
{{Information|<br />
TITEL= Allgemeine Überlegungen|<br />
INFO= Term -> Graph &nbsp; &nbsp; - &nbsp; &nbsp; Graph -> Term [Geogebra-Schieberegler] &nbsp; &nbsp; - &nbsp; &nbsp; Nullstellen &nbsp; &nbsp; - &nbsp; &nbsp; Scheitel<br />
}}<br />
<br />
&nbsp;<br />
<br />
{{Autoren|[[Benutzer:Reinhard Schmidt|Reinhard Schmidt]], [[Benutzer:Christian Schmidt|Christian Schmidt]], [[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]], [[Benutzer:Andrea Schellmann|Andrea Schellmann]] und [[Benutzer:Gabi Jauck|Gabi Jauck]]}}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_Teste_dein_WissenQuadratische Funktionen - Teste dein Wissen2008-11-22T19:04:39Z<p>Reinhard Schmidt: /* Interaktive Übungen */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen|Übungen]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]]<br />
- [[Quadratische_Funktionen_-_Teste_dein_Wissen|Teste dein Wissen!]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
== Interaktive Übungen ==<br />
Liebe Gabi, könntest du diesen Teil übernehmen?<br />
<br />
Im vorigen Kapitel hatten wir es mit einer Funktion zu tun, die neben dem reinquadratischen Teil (dem Bremsweg) auch noch einen linearen Teil (den Reaktionsweg) besaß.<br />
Den allgemeinsten Fall einer quadratischen Funktion haben wir, wenn die Funktionsgleichung die Form <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>f(x)=ax^2+bx+c </math>'''&nbsp;</span> hat.<br />
<br />
An Funktionen mit derartigen Gleichungen sollst du nun dein Wissen erproben:<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=1|<br />
ARBEIT=<br />
Experimentiere mit dem Applet und erläutere, welchen Einfluss die Parameter a, b und c auf den Verlauf des Graphen haben.<br />
<br />
}}<br />
<br />
<ggb_applet height="400" width="950" filename="Parabeln_test.ggb" /><br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=2|<br />
ARBEIT=<br />
Stelle die drei Schieberegler so ein, dass der schwarze Graph genau auf dem<br />
<br />
'''a)''' roten<br />
<br />
'''b)''' grünen<br />
<br />
'''c)''' blauen<br />
<br />
Graphen liegt.<br />
<br />
}}<br />
<br />
<ggb_applet height="550" width="950" filename="Parabeln.ggb" /><br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=3|<br />
ARBEIT=<br />
In den Aufgaben '''2b)''' und '''c)''' hast du wahrscheinlich einen Zusammenhang (''"Wenn zwei Graphen spiegelbildlich bezüglich der y-Achse liegen, dann ..."'') entdeckt. <br />
Experimentiere erneut mit dem ersten Applet und bestätige deine Vermutung.<br />
}}<br />
<br />
== Arbeitsblätter ==<br />
*[http://www.sinus.lernnetz.de/aufgaben1/materialien/mathematik/sek_I/quadratische_funktionen.doc Arbeitsblatt aus dem Sinus-Lernnetz]<br />
<br />
<br />
== Links ==<br />
*Ideen zum Thema [[Quadratische_Funktion/Wurfparabel|"Wurfparabel"]]<br />
*[http://wiki.zum.de/Quadratische_Funktion Allgemeines zu Quadratischen Funktionen]<br />
*{{wpde|Bremsweg|Bremsweg bei Wikipedia}}<br />
<br />
<br />
{{Information|<br />
TITEL= Allgemeine Überlegungen|<br />
INFO= Term -> Graph &nbsp; &nbsp; - &nbsp; &nbsp; Graph -> Term [Geogebra-Schieberegler] &nbsp; &nbsp; - &nbsp; &nbsp; Nullstellen &nbsp; &nbsp; - &nbsp; &nbsp; Scheitel<br />
}}<br />
<br />
&nbsp;<br />
<br />
{{Autoren|[[Benutzer:Reinhard Schmidt|Reinhard Schmidt]], [[Benutzer:Christian Schmidt|Christian Schmidt]], [[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]], [[Benutzer:Andrea Schellmann|Andrea Schellmann]] und [[Benutzer:Gabi Jauck|Gabi Jauck]]}}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_Teste_dein_WissenQuadratische Funktionen - Teste dein Wissen2008-11-22T19:03:46Z<p>Reinhard Schmidt: /* Interaktive Übungen */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen|Übungen]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]]<br />
- [[Quadratische_Funktionen_-_Teste_dein_Wissen|Teste dein Wissen!]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
== Interaktive Übungen ==<br />
Liebe Gabi, könntest du diesen Teil übernehmen?<br />
<br />
Im vorigen Kapitel hatten wir es mit einer Funktion zu tun, die neben dem reinquadratischen Teil (dem Bremsweg) auch noch einen linearen Teil (den Reaktionsweg) besaß.<br />
Den allgemeinsten Fall einer quadratischen Funktion haben wir, wenn die Funktionsgleichung die Form <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>f(x)=ax^2+bx+c </math>'''&nbsp;</span> hat.<br />
<br />
An Funktionen mit derartigen Gleichungen sollst du nun dein Wissen erproben:<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=1|<br />
ARBEIT=<br />
Experimentiere mit dem Applet und erläutere, welchen Einfluss die Parameter a, b und c auf den Verlauf des Graphen haben.<br />
<br />
}}<br />
<br />
<ggb_applet height="400" width="950" filename="Parabeln_test.ggb" /><br />
<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=2|<br />
ARBEIT=<br />
Stelle die drei Schieberegler so ein, dass der schwarze Graph genau auf dem<br />
<br />
'''a)''' roten<br />
<br />
'''b)''' grünen<br />
<br />
'''c)''' blauen<br />
<br />
Graphen liegt.<br />
<br />
}}<br />
<br />
<ggb_applet height="400" width="950" filename="Parabeln.ggb" /><br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=3|<br />
ARBEIT=<br />
In den Aufgaben '''2b)''' und '''c)''' hast du wahrscheinlich einen Zusammenhang (''"Wenn zwei Graphen spiegelbildlich bezüglich der y-Achse liegen, dann ..."'') entdeckt. <br />
Experimentiere erneut mit dem ersten Applet und bestätige deine Vermutung.<br />
}}<br />
<br />
== Arbeitsblätter ==<br />
*[http://www.sinus.lernnetz.de/aufgaben1/materialien/mathematik/sek_I/quadratische_funktionen.doc Arbeitsblatt aus dem Sinus-Lernnetz]<br />
<br />
<br />
== Links ==<br />
*Ideen zum Thema [[Quadratische_Funktion/Wurfparabel|"Wurfparabel"]]<br />
*[http://wiki.zum.de/Quadratische_Funktion Allgemeines zu Quadratischen Funktionen]<br />
*{{wpde|Bremsweg|Bremsweg bei Wikipedia}}<br />
<br />
<br />
{{Information|<br />
TITEL= Allgemeine Überlegungen|<br />
INFO= Term -> Graph &nbsp; &nbsp; - &nbsp; &nbsp; Graph -> Term [Geogebra-Schieberegler] &nbsp; &nbsp; - &nbsp; &nbsp; Nullstellen &nbsp; &nbsp; - &nbsp; &nbsp; Scheitel<br />
}}<br />
<br />
&nbsp;<br />
<br />
{{Autoren|[[Benutzer:Reinhard Schmidt|Reinhard Schmidt]], [[Benutzer:Christian Schmidt|Christian Schmidt]], [[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]], [[Benutzer:Andrea Schellmann|Andrea Schellmann]] und [[Benutzer:Gabi Jauck|Gabi Jauck]]}}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Datei:Parabeln.ggbDatei:Parabeln.ggb2008-11-22T18:55:26Z<p>Reinhard Schmidt: * Beschreibung: GeoGebra-Applet
* Autor: Reinhard Schmidt
* Datum: 22. 11. 2008
* Lizenz: {{MV-Lizenz}}</p>
<hr />
<div>* Beschreibung: GeoGebra-Applet<br />
* Autor: Reinhard Schmidt<br />
* Datum: 22. 11. 2008<br />
* Lizenz: {{MV-Lizenz}}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Datei:Parabeln_test.ggbDatei:Parabeln test.ggb2008-11-22T18:54:41Z<p>Reinhard Schmidt: * Beschreibung: GeoGebra-Applet
* Autor: Reinhard Schmidt
* Datum: 22. 11. 2008
* Lizenz: {{MV-Lizenz}}</p>
<hr />
<div>* Beschreibung: GeoGebra-Applet<br />
* Autor: Reinhard Schmidt<br />
* Datum: 22. 11. 2008<br />
* Lizenz: {{MV-Lizenz}}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_Teste_dein_WissenQuadratische Funktionen - Teste dein Wissen2008-11-22T18:42:53Z<p>Reinhard Schmidt: /* Interaktive Übungen */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen|Übungen]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]]<br />
- [[Quadratische_Funktionen_-_Teste_dein_Wissen|Teste dein Wissen!]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
== Interaktive Übungen ==<br />
Liebe Gabi, könntest du diesen Teil übernehmen?<br />
<br />
Im vorigen Kapitel hatten wir es mit einer Funktion zu tun, die neben dem reinquadratischen Teil (dem Bremsweg) auch noch einen linearen Teil (den Reaktionsweg) besaß.<br />
Den allgemeinsten Fall einer quadratischen Funktion haben wir, wenn die Funktionsgleichung die Form <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>f(x)=ax^2+bx+c </math>'''&nbsp;</span> hat.<br />
<br />
An Funtkionen mit derartigen Gleichungen sollst du nun dein Wissen erproben:<br />
<br />
== Arbeitsblätter ==<br />
*[http://www.sinus.lernnetz.de/aufgaben1/materialien/mathematik/sek_I/quadratische_funktionen.doc Arbeitsblatt aus dem Sinus-Lernnetz]<br />
<br />
<br />
== Links ==<br />
*Ideen zum Thema [[Quadratische_Funktion/Wurfparabel|"Wurfparabel"]]<br />
*[http://wiki.zum.de/Quadratische_Funktion Allgemeines zu Quadratischen Funktionen]<br />
*{{wpde|Bremsweg|Bremsweg bei Wikipedia}}<br />
<br />
<br />
{{Information|<br />
TITEL= Allgemeine Überlegungen|<br />
INFO= Term -> Graph &nbsp; &nbsp; - &nbsp; &nbsp; Graph -> Term [Geogebra-Schieberegler] &nbsp; &nbsp; - &nbsp; &nbsp; Nullstellen &nbsp; &nbsp; - &nbsp; &nbsp; Scheitel<br />
}}<br />
<br />
&nbsp;<br />
<br />
{{Autoren|[[Benutzer:Reinhard Schmidt|Reinhard Schmidt]], [[Benutzer:Christian Schmidt|Christian Schmidt]], [[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]], [[Benutzer:Andrea Schellmann|Andrea Schellmann]] und [[Benutzer:Gabi Jauck|Gabi Jauck]]}}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_BremsbeschleunigungQuadratische Funktionen - Bremsbeschleunigung2008-11-22T18:18:08Z<p>Reinhard Schmidt: /* Unterschiedliche Straßenverhältnisse */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen|Übungen]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]]<br />
- [[Quadratische_Funktionen_-_Teste_dein_Wissen|Teste dein Wissen!]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ==<br />
<br />
Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist natürlich Unsinn. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten <span style="color: red">"Bremsbeschleunigung"</span> zum Ausdruck.<br />
Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg. <br />
<br />
In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:<br /><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
<math>s=\frac{1}{2a}\cdot v^2</math> <br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit in m/s und a = Bremsbeschleunigung in m/s²). <br />
<br />
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.<br /><br />
''Hinweis:'' Der Einfachkeit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.<br />
<br />
<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" /><br />
<br />
<br />&nbsp;<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=1|<br />
ARBEIT=<br />
Wie muss a gewählt werden, damit ...<br /><br />
a) ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?<br /><br />
b) ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?<br /><br />
c) ...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?<br />
<br />
Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
zu a) a = 3,25 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
zu b) a = 5,71 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
zu c) a = 1,73 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
}}<br />
<br />
}}<br />
<br />
<br />
Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren. <br />
Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:<br />
<math>s(v)=\frac{1}{2a}\cdot v^2</math>.<br />
<br />
Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a}</math> und dem Quadrat der Variablen. Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=2|<br />
ARBEIT=<br />
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von <math>v^2</math>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a}</math> kleiner bzw. größer wird?<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
<math>\frac{1}{2a}</math> wird kleiner, wenn a größer wird. Wenn a größer wird, verläuft der Graph flacher.<br />
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a}</math> größer, wenn a kleiner wird. Wenn a kleiner wird, verläuft der Graph steiler.<br />
<br />
}}<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ==<br />
<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="370"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form Zahl mal Variable im Quadrat. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen (welches ja bekanntlich Geraden sind).<br /><br /><br />
Das Applet rechts zeigt den Graphen einer reinquadratischen Funktion, d.h. einer Funktion, deren Funktionsterm die Form ax² hat. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (<span style="color: red">nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!</span>).<br /><br />
Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=3|<br />
ARBEIT=<br />
Untersuche nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:<br />
Was passiert, wenn ...<br /><br />
:... a negativ ist?<br /><br />
:... a zwischen 0 und 1 liegt?<br /><br />
:... a größer als 1 ist?<br /><br />
Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².<br />
}}<br />
|align = "right"|&nbsp;<br />
|align = "right"|<ggb_applet height="480" width="500" filename="Reinquadratisch.ggb" /><br />
<br />
|}<br />
<br />
{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung f(x)=ax² heißen Parabeln.<br />
<br />
Für a>0 gilt: Je größer a ist, desto steiler ist die Parabel.}}<br />
<br />
<br /><br />
<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}<br />
<br />
----<br />
&nbsp;<br />
{{Autoren|[[Benutzer:Reinhard Schmidt|Reinhard Schmidt]], [[Benutzer:Christian Schmidt|Christian Schmidt]], [[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]], [[Benutzer:Andrea Schellmann|Andrea Schellmann]] und [[Benutzer:Gabi Jauck|Gabi Jauck]]}}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_BremsbeschleunigungQuadratische Funktionen - Bremsbeschleunigung2008-11-22T18:09:02Z<p>Reinhard Schmidt: /* Unterschiedliche Straßenverhältnisse */</p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen|Übungen]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]]<br />
- [[Quadratische_Funktionen_-_Teste_dein_Wissen|Teste dein Wissen!]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ==<br />
<br />
Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist natürlich Unsinn. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten <span style="color: red">"Bremsbeschleunigung"</span> zum Ausdruck.<br />
Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg. <br />
<br />
In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:<br /><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
<math>s=\frac{1}{2a}\cdot v^2</math> <br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit in m/s und a = Bremsbeschleunigung in m/s²). <br />
<br />
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.<br /><br />
''Hinweis:'' Der Einfachkeit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.<br />
<br />
<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" /><br />
<br />
<br />&nbsp;<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=1|<br />
ARBEIT=<br />
Wie muss a gewählt werden, damit ...<br /><br />
a) ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?<br /><br />
b) ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?<br /><br />
c) ...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?<br />
<br />
Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
zu a) a = 3,25 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
zu b) a = 5,71 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
zu c) a = 1,73 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
}}<br />
<br />
}}<br />
<br />
<br />
<span style="color: red">fehlt Übergang</span><br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=2|<br />
ARBEIT=<br />
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von <math>v^2</math>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a}</math> kleiner bzw. größer wird?<br />
<span style="color: red">fehlt Lösung, Aufgabe erst später stellen</span><br />
<br />
{{Lösung versteckt|2=<br />
<math>\frac{1}{2a}</math> wird kleiner, wenn a größer wird. Wenn a größer wird, verläuft der Graph flacher.<br />
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a}</math> größer, wenn a kleiner wird. Wenn a kleiner wird, verläuft der Graph steiler.<br />
<br />
}}<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ==<br />
<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="370"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form Zahl mal Variable im Quadrat. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen (welches ja bekanntlich Geraden sind).<br /><br /><br />
Das Applet rechts zeigt den Graphen einer reinquadratischen Funktion, d.h. einer Funktion, deren Funktionsterm die Form ax² hat. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (<span style="color: red">nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!</span>).<br /><br />
Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=3|<br />
ARBEIT=<br />
Untersuche nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:<br />
Was passiert, wenn ...<br /><br />
:... a negativ ist?<br /><br />
:... a zwischen 0 und 1 liegt?<br /><br />
:... a größer als 1 ist?<br /><br />
Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².<br />
}}<br />
|align = "right"|&nbsp;<br />
|align = "right"|<ggb_applet height="480" width="500" filename="Reinquadratisch.ggb" /><br />
<br />
|}<br />
<br />
{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung f(x)=ax² heißen Parabeln.<br />
<br />
Für a>0 gilt: Je größer a ist, desto steiler ist die Parabel.}}<br />
<br />
<br /><br />
<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}<br />
<br />
----<br />
&nbsp;<br />
{{Autoren|[[Benutzer:Reinhard Schmidt|Reinhard Schmidt]], [[Benutzer:Christian Schmidt|Christian Schmidt]], [[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]], [[Benutzer:Andrea Schellmann|Andrea Schellmann]] und [[Benutzer:Gabi Jauck|Gabi Jauck]]}}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Benutzer_Diskussion:Reinhard_SchmidtBenutzer Diskussion:Reinhard Schmidt2008-10-17T21:56:03Z<p>Reinhard Schmidt: /* Grafiken */</p>
<hr />
<div>== Grafiken==<br />
Hallo,<br />
<br />
ist es ok, die Grafiken [[:Bild:Maehnrot.jpg]] und [[:Bild:Team.gif]] auch im ZUM-Wiki zu verwenden?<br />
<br />
Ich finde sie prägnant und eindeutig in ihrer Aussage. Zudem haben sie den unschätzbaren Vorteil, dass sie individueller wirken andere von uns verwendeten Grafiken.<br />
<br />
Falls ja, dann würde ich die Grafiken ins ZUM-Wiki kopieren und dort unter die "ZUM-Wiki-Lizenz" stellen, die identisch mit der [[Vorlage:MV-Lizenz|MV-Lizenz]] ist.<br />
<br />
Gruß --&nbsp;[[Benutzer:Karl Kirst|Karl Kirst]]&nbsp;<small>17:08, 15. Okt. 2008 (UTC)</small><br /><br /><br />
<br />
Ja, natürlich, die können gerne da verwendet werden.<br />
<br />
Viele Grüße,<br />
<br />
[[Benutzer:Reinhard Schmidt|Reinhard Schmidt]]&nbsp;<small>17:08, 15. Okt. 2008 (UTC)</small></div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Benutzer_Diskussion:Reinhard_SchmidtBenutzer Diskussion:Reinhard Schmidt2008-10-17T21:55:37Z<p>Reinhard Schmidt: /* Grafiken */</p>
<hr />
<div>== Grafiken==<br />
Hallo,<br />
<br />
ist es ok, die Grafiken [[:Bild:Maehnrot.jpg]] und [[:Bild:Team.gif]] auch im ZUM-Wiki zu verwenden?<br />
<br />
Ich finde sie prägnant und eindeutig in ihrer Aussage. Zudem haben sie den unschätzbaren Vorteil, dass sie individueller wirken andere von uns verwendeten Grafiken.<br />
<br />
Falls ja, dann würde ich die Grafiken ins ZUM-Wiki kopieren und dort unter die "ZUM-Wiki-Lizenz" stellen, die identisch mit der [[Vorlage:MV-Lizenz|MV-Lizenz]] ist.<br />
<br />
Gruß --&nbsp;[[Benutzer:Karl Kirst|Karl Kirst]]&nbsp;<small>17:08, 15. Okt. 2008 (UTC)</small><br /><br />
<br />
Ja, natürlich, die können gerne da verwendet werden.<br />
<br />
Viele Grüße,<br />
<br />
[[Benutzer:Reinhard Schmidt|Reinhard Schmidt]]&nbsp<small>17:08, 15. Okt. 2008 (UTC)</small></div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Einf%C3%BChrung_in_quadratische_FunktionenEinführung in quadratische Funktionen2008-10-12T21:41:19Z<p>Reinhard Schmidt: </p>
<hr />
<div>{{Kasten1000|<br />
<br />
BREITE =100%|<br />
ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|<br />
INHALT1=<br />
Dieser Lernpfad bietet einen Einstieg in das wichtige Thema "Quadratische Funktionen". <br />
Die Einführung in das Thema soll am Beispiel des Bremsweges eines Autos, genauer gesagt anhand des Zusammenhangs zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und der Länge seines Bremsweges erfolgen. Der Lernpfand enthält eine Reihe von interaktiven Übungen, insbesondere auch einige GeoGebra-Applets.|<br />
INHALT2=Kompetenzen:|<br />
INHALT2a=<br />
'''Das kannst du schon:'''<br />
*Bei linearen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln<br />
*Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben (Handhabung von GeoGebra)<br />
*von der graphischen Darstellung unmittelbar auf die Darstellung als Formel schließen<br />
*Eigenschaften linearer Funktionen aus der Termdarstellung ablesen und sie begründen |<br />
INHALT2b=<br />
'''Das kannst du lernen:'''<br />
*Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell<br />
*Parabeln als Graphen quadratischer Funktionen identifizieren<br />
*Bei quadratischen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln<br />
*Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben |<br />
INHALT3=<br />
Für die Lehrerinnen und Lehrer:<br /><br />
{{pdf|Didaktischer_Kommentar_quad_Fkt.pdf|Didaktischer Kommentar}}<br />
<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />Der Lernpfad ist in fünf Kapitel eingeteilt, die du sinnvollerweise in der vorgeschlagenen Reihenfolge bearbeitest:<br />
<div style="border: 1px solid red; padding:4px;"><br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "right" width="120"|&nbsp;<br />
|align = "right"|[[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|'''Der Bremsweg''']]<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />&nbsp;<br />
|align = "left"|[[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|'''Unterschiedliche Straßenverhältnisse''']]<br /><br /><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Bild:parabelbrems.gif]]<br />
|align = "left"|&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Quadratische_Funktionen_-_Übungen|'''Übungen''']]<br /><br /><br /><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|'''Der Anhalteweg''']]<br /><br /><br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Quadratische_Funktionen_-_Teste_dein_Wissen|'''Teste dein Wissen!''']]&nbsp;<br />
|align = "left"|<br />
|}<br />
</div><br />
<br />Starten solltest du also mit dem [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]]:<br />
<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Zunächst wollen wir den Bremsweg eines Autos unter die Lupe nehmen...'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|'''Hier geht es los''']]'''.'''<br />
<br />
|}<br />
<br />
----<br />
&nbsp;<br />
<br />
{{Autoren|[[Benutzer:Reinhard Schmidt|Reinhard Schmidt]], [[Benutzer:Christian Schmidt|Christian Schmidt]], [[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]], [[Benutzer:Andrea Schellmann|Andrea Schellmann]] und [[Benutzer:Gabi Jauck|Gabi Jauck]]}}<br />
<br />
<br />
[[zw:Quadratische Funktionen/Einführung]]</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Einf%C3%BChrung_in_quadratische_FunktionenEinführung in quadratische Funktionen2008-10-11T22:48:38Z<p>Reinhard Schmidt: </p>
<hr />
<div>{{Kasten1000|<br />
<br />
BREITE =100%|<br />
ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|<br />
INHALT1=<br />
Dieser Lernpfad bietet einen Einstieg in das wichtige Thema "Quadratische Funktionen". <br />
Die Einführung in das Thema soll am Beispiel des Bremsweges eines Autos, genauer gesagt anhand des Zusammenhangs zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und der Länge seines Bremsweges erfolgen. Der Lernpfand enthält eine Reihe von interaktiven Übungen, insbesondere auch einige GeoGebra-Applets.|<br />
INHALT2=Kompetenzen:|<br />
INHALT2a=<br />
'''Das kannst du schon:'''<br />
*Bei linearen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln<br />
*Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben (Handhabung von GeoGebra)<br />
*von der graphischen Darstellung unmittelbar auf die Darstellung als Formel schließen<br />
*Eigenschaften linearer Funktionen aus der Termdarstellung ablesen und sie begründen |<br />
INHALT2b=<br />
'''Das kannst du lernen:'''<br />
*Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell<br />
*Parabeln als Graphen quadratischer Funktionen identifizieren<br />
*Bei quadratischen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln<br />
*Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben |<br />
INHALT3=<br />
Für die Lehrerinnen und Lehrer:<br /><br />
{{pdf|Didaktischer_Kommentar_quad_Fkt.pdf|Didaktischer Kommentar}}<br />
<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />Der Lernpfad ist in fünf Kapitel eingeteilt, die du sinnvollerweise in der vorgeschlagenen Reihenfolge bearbeitest:<br />
<div style="border: 1px solid red; padding:4px;"><br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "right" width="120"|&nbsp;<br />
|align = "right"|[[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Der Bremsweg]]<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />&nbsp;<br />
|align = "left"|[[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]]<br /><br /><br />
[[Bild:parabelbrems.gif]]<br />
|align = "left"|&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Quadratische_Funktionen_-_Übungen|Übungen]]<br /><br /><br /><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Der Anhalteweg]]<br /><br /><br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Quadratische_Funktionen_-_Teste_dein_Wissen|Teste dein Wissen!]]&nbsp;<br />
|align = "left"|<br />
|}<br />
</div><br />
<br />Starten solltest du also mit dem [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]]:<br />
<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Zunächst wollen wir den Bremsweg eines Autos unter die Lupe nehmen...'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|'''Hier geht es los''']]'''.'''<br />
<br />
|}<br />
<br />
----<br />
&nbsp;<br />
<br />
{{Autoren|[[Benutzer:Reinhard Schmidt|Reinhard Schmidt]], [[Benutzer:Christian Schmidt|Christian Schmidt]], [[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]], [[Benutzer:Andrea Schellmann|Andrea Schellmann]] und [[Benutzer:Gabi Jauck|Gabi Jauck]]}}<br />
<br />
<br />
[[zw:Quadratische Funktionen/Einführung]]</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Einf%C3%BChrung_in_quadratische_FunktionenEinführung in quadratische Funktionen2008-10-11T22:28:15Z<p>Reinhard Schmidt: </p>
<hr />
<div>{{Kasten1000|<br />
<br />
BREITE =100%|<br />
ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|<br />
INHALT1=<br />
Dieser Lernpfad bietet einen Einstieg in das wichtige Thema "Quadratische Funktionen". <br />
Die Einführung in das Thema soll am Beispiel des Bremsweges eines Autos, genauer gesagt anhand des Zusammenhangs zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und der Länge seines Bremsweges erfolgen. Der Lernpfand enthält eine Reihe von interaktiven Übungen, insbesondere auch einige GeoGebra-Applets.|<br />
INHALT2=Kompetenzen:|<br />
INHALT2a=<br />
'''Das kannst du schon:'''<br />
*Bei linearen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln<br />
*Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben (Handhabung von GeoGebra)<br />
*von der graphischen Darstellung unmittelbar auf die Darstellung als Formel schließen<br />
*Eigenschaften linearer Funktionen aus der Termdarstellung ablesen und sie begründen |<br />
INHALT2b=<br />
'''Das kannst du lernen:'''<br />
*Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell<br />
*Parabeln als Graphen quadratischer Funktionen identifizieren<br />
*Bei quadratischen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln<br />
*Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben |<br />
INHALT3=<br />
Für die Lehrerinnen und Lehrer:<br /><br />
{{pdf|Didaktischer_Kommentar_quad_Fkt.pdf|Didaktischer Kommentar}}<br />
<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />Der Lernpfad ist in fünf Kapitel eingeteilt, die du sinnvollerweise in der vorgeschlagenen Reihenfolge bearbeitest:<br />
<div style="border: 1px solid red; padding:4px;"><br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "right" width="120"|&nbsp;<br />
|align = "right"|[[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Der Bremsweg]]<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />&nbsp;<br />
|align = "left"|[[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]]<br /><br /><br />
[[Bild:parabelbrems.gif]]<br />
|align = "left"|&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Quadratische_Funktionen_-_Übungen|Übungen]]<br /><br /><br /><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Der Anhalteweg]]<br /><br /><br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Quadratische_Funktionen_-_Teste_dein_Wissen|Teste dein Wissen!]]&nbsp;<br />
|align = "left"|<br />
|}<br />
</div><br />
<br />Starten solltest du also mit dem [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]]:<br />
<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Zunächst wollen wir den Bremsweg eines Autos unter die Lupe nehmen...'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|'''Hier geht es los''']]'''.'''<br />
<br />
|}<br />
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&nbsp;<br />
<br />
{{Autoren|[[Benutzer:Reinhard Schmidt|Reinhard Schmidt]], [[Benutzer:Christian Schmidt|Christian Schmidt]], [[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]], [[Benutzer:Andrea Schellmann|Andrea Schellmann]] und [[Benutzer:Gabi Jauck|Gabi Jauck]]}}<br />
<br />
<br />
[[zw:Quadratische Funktionen/Einführung]]</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Einf%C3%BChrung_in_quadratische_FunktionenEinführung in quadratische Funktionen2008-10-11T22:26:30Z<p>Reinhard Schmidt: </p>
<hr />
<div>{{Kasten1000|<br />
<br />
BREITE =100%|<br />
ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|<br />
INHALT1=<br />
Dieser Lernpfad bietet einen Einstieg in das wichtige Thema "Quadratische Funktionen". <br />
Die Einführung in das Thema soll am Beispiel des Bremsweges eines Autos, genauer gesagt anhand des Zusammenhangs zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und der Länge seines Bremsweges erfolgen. Der Lernpfand enthält eine Reihe von interaktiven Übungen, insbesondere auch einige GeoGebra-Applets.|<br />
INHALT2=Kompetenzen:|<br />
INHALT2a=<br />
'''Das kannst du schon:'''<br />
*Bei linearen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln<br />
*Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben (Handhabung von GeoGebra)<br />
*von der graphischen Darstellung unmittelbar auf die Darstellung als Formel schließen<br />
*Eigenschaften linearer Funktionen aus der Termdarstellung ablesen und sie begründen |<br />
INHALT2b=<br />
'''Das kannst du lernen:'''<br />
*Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell<br />
*Parabeln als Graphen quadratischer Funktionen identifizieren<br />
*Bei quadratischen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln<br />
*Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben |<br />
INHALT3=<br />
Für die Lehrerinnen und Lehrer:<br /><br />
{{pdf|Didaktischer_Kommentar_quad_Fkt.pdf|Didaktischer Kommentar}}<br />
<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />Der Lernpfad ist in fünf Kapitel eingeteilt, die du sinnvollerweise in der vorgeschlagenen Reihenfolge bearbeitest:<br />
<div style="border: 1px solid red; padding:4px;"><br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "right" width="120"|&nbsp;<br />
|align = "right"|[[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Der Bremsweg]]<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />&nbsp;<br />
|align = "left"|[[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]]<br /><br /><br />
[[Bild:parabelbrems.gif]]<br />
|align = "left"|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Quadratische_Funktionen_-_Übungen|Übungen]]<br /><br /><br /><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
[[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Der Anhalteweg]]<br /><br /><br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Quadratische_Funktionen_-_Teste_dein_Wissen|Teste dein Wissen!]]&nbsp;<br />
|align = "left"|<br />
|}<br />
</div><br />
<br />Starten solltest du also mit dem [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]]:<br />
<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Zunächst wollen wir den Bremsweg eines Autos unter die Lupe nehmen...'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|'''Hier geht es los''']]'''.'''<br />
<br />
|}<br />
<br />
----<br />
&nbsp;<br />
<br />
{{Autoren|[[Benutzer:Reinhard Schmidt|Reinhard Schmidt]], [[Benutzer:Christian Schmidt|Christian Schmidt]], [[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]], [[Benutzer:Andrea Schellmann|Andrea Schellmann]] und [[Benutzer:Gabi Jauck|Gabi Jauck]]}}<br />
<br />
<br />
[[zw:Quadratische Funktionen/Einführung]]</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_BremswegQuadratische Funktionen - Bremsweg2008-10-11T22:19:14Z<p>Reinhard Schmidt: </p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen|Übungen]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]]<br />
- [[Quadratische_Funktionen_-_Teste_dein_Wissen|Teste dein Wissen!]]<br />
</div><br />
<br />
== Einstieg ==<br />
<br />
Die Frage nach dem Bremsweg ist gar nicht mal so einfach. Zunächst wird man wohl annehmen, dass ein Auto bei doppelter Geschwindigkeit auch einen doppelt so langen Bremsweg hat. Diese Frage wurde am 6. April 2008 bei kopfball.de untersucht: <br />
<br />
[http://www.kopfball.de/arcflm.phtml?kbsec=arcflm&selFilm=810&dr=datum Ist bei doppelter Geschwindigkeit auch der Bremsweg doppelt so lang?]<br />
<br />
== Tabelle, Graph und Formel ==<br />
<br />
Die Polizei hat Messungen durchgeführt, um den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und seinem Bremsweg zu erkunden. Klar ist: Je schneller eine Auto fährt, desto länger ist sein Bremsweg. Aber ist das wirklich so einfach...?<br />
<br />
Du kannst den Zusammenhang selbst untersuchen. Hier sind die Daten, die die Polizei gesammelt hat:<br />
<br />
{|border="2" cellspacing="0" cellpadding="4" width="200"<br />
|align = "right"|'''Geschwindigkeit (in km/h)'''<br />
|align = "right"|<font size = "3">10</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">20</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">30</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">40</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">50</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">80</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">100</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">120</font><br />
<br />
|-<br />
|align = "right"|'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;Bremsweg (in m)'''<br />
|align = "right"|<font size = "3">1</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">4</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">9</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">16</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">25</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">64</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">100</font><br />
|align = "right"|<font size = "3">144</font><br />
<br />
|}<br />
<br />
&nbsp;<br />
<br />
{{Arbeiten|NUMMER=1|<br />
ARBEIT=<br />
a) Stelle die Daten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem dar. Trage dabei nach rechts die Geschwindigkeit (in km/h) und nach oben den Bremsweg (in m) an.<br />
<br />
b) Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen (der keine "Ecken" haben sollte).<br />
<br />
c) Ermittle anhand des Graphen einen Schätzwert für den Bremsweg bei 70 km/h.<br />
}}<br />
<br />
:&nbsp;'''Lösung:''' <ggb_applet height="31" width="130" type="button" filename="bremsweg01.ggb" /><br />
<br />
<br><br />
<br><br />
<br />
{{Arbeiten|NUMMER=2|<br />
ARBEIT=<br />
a) Zwischen den Daten der Wertetabelle besteht ein ganz bestimmter Zusammenhang. Versuche eine Formel zu finden, mit deren Hilfe man aus der Geschwindigkeit den Bremsweg berechnen kann.<br />
<br />
b) In der Fahrschule lernt man: BW = v/10 mal v/10 (Bremsweg = Geschwindigkeit durch 10 mal Geschwindigkeit durch 10).<br /><br />
Vergleiche diese Formel mit der von dir in a) gefundenen Formel.<br /><br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
zu a): <br />
<br />
z.B. <math>s = 0,01 \cdot v^2</math> oder <math>s = \frac{v^2}{100}</math>(dabei ist s der Bremsweg in Metern und v die Geschwindigkeit in km/h)<br /><br />
zu b): <br />
<br />
Fahrschulformel: <math>s = \frac{v}{10} \cdot \frac{v}{10} = \frac{v^2}{100} = \frac{1}{100} \cdot v^2 = 0,01 \cdot v^2</math>. Die Formeln stimmen also überein.<br /><br />
: ''Bemerkung: Die Formeln stimmen nur für gewöhnliche, nicht für "Gefahren"-bremsungen.''<br />
}}<br />
<br />
}}<br />
<br />
<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="600"|Im ruhigen Dörfchen Niederbremsbach hat Herr Mütze ein kleines Mädchen angefahren, das ihrem auf die Straße rollenden Ball hinterher lief. Obwohl das Mädchen mit dem Schrecken davonkam, soll nun geklärt werden, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h gehalten hatte. Dem Unfallprotokoll ist zu entnehmen, dass Herr Mütze einen Bremsweg von 30,25 Metern hatte.<br />
|align = "right"|&nbsp;<br />
|align = "right"|[[Bild:unfall1.gif]]<br />
<br />
|}<br />
<span style="color: red">Bild ergänzen: Ball, Mädchen, Hr.Mütze</span><br />
<br />
{{Arbeiten|NUMMER=3|<br />
ARBEIT=<br />
a) Entscheide, ob sich Herr Mütze an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hatte.<br /><br />
b) Berechne die Geschwindigkeit, die zu einem Bremsweg von 30,25 Metern führt.<br /><br /><br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
zu a): <br />
<br />
Nach obiger Tabelle hätte Herr Mütze, falls er sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten hätte, allenfalls einen Bremsweg von 25 m haben dürfen.<br /><br />
<br />
zu b): <br />
<br />
<math>30,25 = 0,01 \cdot v^2 \Leftrightarrow 3025 = v^2\Leftrightarrow v = \pm \,55</math> <br />
<br />
Nach der Formel aus Aufgabe 1 war Herr Mütze 55 km/h schnell.<br />
<br />
:''Bemerkung: Tatsächlich ist der Bremsweg bei einer "Gefahrenbremsung" nur etwa halb so lang wie in der obigen Tabelle angegeben. Geht man von einer "Gefahrenbremsung" aus, so käme man auf eine Geschwindigkeit von fast 78 km/h!''<br /><br />
}}<br />
<br />
}}<br />
<br />
<br /><br />
<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du, wie die Länge des Bremsweges von der "Bremsbeschleunigung" abhängig ist.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}<br />
<br />
----<br />
&nbsp;<br />
<br />
{{Autoren|[[Benutzer:Reinhard Schmidt|Reinhard Schmidt]], [[Benutzer:Christian Schmidt|Christian Schmidt]], [[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]], [[Benutzer:Andrea Schellmann|Andrea Schellmann]] und [[Benutzer:Gabi Jauck|Gabi Jauck]]}}</div>Reinhard Schmidthttp://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_-_BremsbeschleunigungQuadratische Funktionen - Bremsbeschleunigung2008-10-11T22:18:58Z<p>Reinhard Schmidt: </p>
<hr />
<div><div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"><br />
[[Einführung_in_quadratische_Funktionen|Einführung]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsweg|Bremsweg]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Bremsbeschleunigung|Unterschiedliche Straßenverhältnisse]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen|Übungen]] - [[Quadratische_Funktionen_-_Anhalteweg|Anhalteweg]]<br />
- [[Quadratische_Funktionen_-_Teste_dein_Wissen|Teste dein Wissen!]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ==<br />
<br />
Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist natürlich Unsinn. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten <span style="color: red">"Bremsbeschleunigung"</span> zum Ausdruck.<br />
Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg. <br />
<br />
In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:<br /><br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />
<math>s=\frac{1}{2a}\cdot v^2</math> <br />
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit in m/s und a = Bremsbeschleunigung in m/s²). <br />
<br />
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.<br /><br />
''Hinweis:'' Der Einfachkeit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.<br />
<br />
<ggb_applet height="400" width="800" filename="Strassenverhaeltnisse.ggb" /><br />
<br />
<br />&nbsp;<br />
<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=1|<br />
ARBEIT=<br />
Wie muss a gewählt werden, damit ...<br /><br />
a) ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?<br /><br />
b) ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?<br /><br />
c) ...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?<br />
<br />
Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.<br />
<br />
{{Lösung versteckt|1=<br />
zu a) a = 3,25 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
zu b) a = 5,71 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
zu c) a = 1,73 m/s<sup>2</sup><br />
<br />
}}<br />
<br />
}}<br />
<br />
<br />
<span style="color: red">fehlt Übergang</span><br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=2|<br />
ARBEIT=<br />
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von <math>v^2</math>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a}</math> kleiner bzw. größer wird?<br />
<span style="color: red">fehlt Lösung, Aufgabe erst später stellen</span><br />
}}<br />
<br />
== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ==<br />
<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="370"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form Zahl mal Variable im Quadrat. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen (welches ja bekanntlich Geraden sind).<br /><br /><br />
Das Applet rechts zeigt den Graphen einer reinquadratischen Funktion, d.h. einer Funktion, deren Funktionsterm die Form ax² hat. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (<span style="color: red">nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!</span>).<br /><br />
Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.<br />
{{Arbeiten| <br />
NUMMER=3|<br />
ARBEIT=<br />
Untersuche nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:<br />
Was passiert, wenn ...<br /><br />
:... a negativ ist?<br /><br />
:... a zwischen 0 und 1 liegt?<br /><br />
:... a größer als 1 ist?<br /><br />
Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².<br />
}}<br />
|align = "right"|&nbsp;<br />
|align = "right"|<ggb_applet height="480" width="500" filename="Reinquadratisch.ggb" /><br />
<br />
|}<br />
<br />
{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung f(x)=ax² heißen Parabeln.<br />
<br />
Für a>0 gilt: Je größer a ist, desto steiler ist die Parabel.}}<br />
<br />
<br /><br />
<br />
----<br />
{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"<br />
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]<br />
|align = "left"|'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.'''<br /> <br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''<br />
<br />
|}<br />
<br />
----<br />
&nbsp;<br />
{{Autoren|[[Benutzer:Reinhard Schmidt|Reinhard Schmidt]], [[Benutzer:Christian Schmidt|Christian Schmidt]], [[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]], [[Benutzer:Andrea Schellmann|Andrea Schellmann]] und [[Benutzer:Gabi Jauck|Gabi Jauck]]}}</div>Reinhard Schmidt