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  Aufgabe xy  Stift.gif
Sektglas.jpg


Wann ist ein Sektglas halb voll?


Ein Sektglas ist kegelförmig. Der Radius R der Deckfläche ist 5 cm, die Höhe H des Kegels 8 cm. Bei der Füllhöhe h = 7,88 cm ist das Glas genau mit 0,2 l gefüllt. (1 l = 1 dm³)

1. Nun interessiert die Frage, bei welcher Höhe ist das Glas halb voll?
Dabei verstehen wir unter halb voll, dass das Glas das halbe Volumen, also 0,1l enthalten soll.

Mit h bezeichnen wir die Füllhöhe.

a) Gib eine Formel für das Volumen V mit Füllhöhe h an.

b) Bestimme mit Hilfe des Strahlensatzes einen Zusammenhang zwischen h, H , R und r.

c) Gib nun eine Abhängigkeit des Volumens von h an.

d) Löse dein Ergebnis aus 3. nach h auf.

e) Bestimme zu V = \frac{1}{2}V_0 die passende Höhe h.

2. Die Abhängigkeit der Füllhöhe vom Volumen kann man auch schreiben als Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): h = H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0} , wobei V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H das Glasvolumen ist. Es ist V_0=209,44cm^3. Es kommt im wesentlichen auf den Quotienten \frac{V}{V_0} an, den wir mit q = \frac{V}{V_0} bezeichnen.

a) Leite aus  V = \frac{1}{3}r^2 \pi h die Formel Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): h = H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}

her. 

b) Gib für die Funktion  h: q \rightarrow h(q) die Funktionsgleichung, die Definitions- und die Wertemenge an.

Im folgenden Applet ist die Füllhöhe h als Funktion des Quotienten q = \frac{V}{V_0} angegeben.


c) Bestimme graphisch und rechnerisch bei welcher Höhe h das eingefüllte Volumen 25%, 40%, 75% des Glasvolumens ist.


Sektglas strahlensatz.jpg

1a)  V = \frac{1}{3}r^2\pi h

1b) \frac{h}{H}=\frac{r}{R}

1c) Mit  r = \frac{hR}{H} ergibt sich  V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3}
\frac{R^2}{H^2}\pi h^3

1d) Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): h = \sqrt[3]{\frac{3VH^2}{R^2 \pi}


1e)  h = 6,25 cm

Ein kegelförmiges Sektglas ist also bei rund 80% der Füllhöhe halb voll.

2a)  V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3}\frac{R^2}{H^2}\pi h^3 = \frac{1}{3}R^2\pi H \frac{h^3}{H^3}=V_0 (\frac{h}{H})^3, wobei V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H das Glasvolumen ist.
Nach h auflösen:  h =H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}}

2b) h(q) = 8 \sqrt[3]{q}; D=[0;1] und W = [0;8]

2c) 5,0 cm; 5,9 cm; 7,3 cm





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Test sin 1.jpg Test sin 2.jpg Test sin 3.jpg Test sin 4.jpg Test sin 5.jpg Test sin 6.jpg
-\cos [\frac{x}{2}] -0,5 \cdot \sin [2x] 2 \cdot \sin [x] sin [x] cos [x]  \cos[x+\frac{\pi}{4}]



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Memory

-\cos \frac{x}{2} Test sin 1.jpg
-0,5 \cdot \sin (2x) Test sin 2.jpg
2 \cdot\sin x Test sin 3.jpg
\sin x Test sin 4.jpg
\cos x Test sin 5.jpg
\cos(x+\frac{\pi}{4}) Test sin 6.jpg


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