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<big>Wann ist ein Sektglas halb voll?</big>
 
  
Ein Sektglas ist oben kegelförmig. Der Radius R der Deckfläche ist 2,5 cm, die Höhe H des Kegels 8 cm. Bei der Füllhöhe h = 7,639 cm ist das Glas mit 0,2 l gefüllt. (1 l = 1 dm³)
 
  
Nun interessiert die Frage, wann ist das Glas halb voll?<br>
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<colorize>Wann ist ein Sektglas halb voll?</colorize>
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Ein Sektglas ist kegelförmig. Der Radius R der Deckfläche ist 5 cm, die Höhe H des Kegels 8 cm. Bei der Füllhöhe h = 7,88 cm ist das Glas genau mit 0,2 l gefüllt. (1 l = 1 dm³)
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1. Nun interessiert die Frage, bei welcher Höhe ist das Glas halb voll?<br>
 
Dabei verstehen wir unter halb voll, dass das Glas das halbe Volumen, also 0,1l enthalten soll.  
 
Dabei verstehen wir unter halb voll, dass das Glas das halbe Volumen, also 0,1l enthalten soll.  
  
 
Mit h bezeichnen wir die Füllhöhe.
 
Mit h bezeichnen wir die Füllhöhe.
  
1. Gib eine Formel für das Volumen mit Füllhöhe h an.  
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a) Gib eine Formel für das Volumen V mit Füllhöhe h an.  
  
2. Bestimme mit Hilfe des Strahlensatzes einen Zusammenhang zwischen h, H , R und r.   
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b) Bestimme mit Hilfe des Strahlensatzes einen Zusammenhang zwischen h, H , R und r.   
  
3. Gib nun eine Abhängigkeit des Volumens von h an.  
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c) Gib nun eine Abhängigkeit des Volumens von h an.  
  
4. Löse dein Ergebnis aus 3. nach h auf.
+
d) Löse dein Ergebnis aus 3. nach h auf.
  
5. Bestimme zu <math>V = \frac{1}{2}V_0</math> die passende Höhe h.
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e) Bestimme zu <math>V = \frac{1}{2}V_0</math> die passende Höhe h.
  
Im folgenden Applet ist die Füllhöhe h als Funktion des Quotienten <math>\frac{V}{V_0}</math> angegeben.  
+
2. Die Abhängigkeit der Füllhöhe vom Volumen kann man auch schreiben als <math>h = H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}</math>, wobei <math>V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H</math> das Glasvolumen ist. Es  ist <math>V_0=209,44cm^3</math>. Es kommt im wesentlichen auf den Quotienten <math>\frac{V}{V_0}</math> an, den wir mit <math>q = \frac{V}{V_0}</math> bezeichnen.  
  
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a) Leite aus <math> V = \frac{1}{3}r^2 \pi h</math> die Formel <math>h = H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}</math> her.
  
6. Bestimme graphisch und rechnerisch bei welcher Höhe h das eingefüllte Volumen 25%, 40%, 75% des Glasvolumens ist.
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b) Gib für die Funktion <math> h: q \rightarrow h(q)</math> die Funktionsgleichung, die Definitions- und die Wertemenge an.
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Im folgenden Applet ist die Füllhöhe h als Funktion des Quotienten <math>q = \frac{V}{V_0}</math> angegeben.
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c) Bestimme graphisch und rechnerisch bei welcher Höhe h das eingefüllte Volumen 25%, 40%, 75% des Glasvolumens ist.
  
 
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1. <math> V = \frac{1}{3}r^2\pi h</math>
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3. Mit <math> r = \frac{hR}{H}</math> ergibt sich <math> V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3}
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1c) Mit <math> r = \frac{hR}{H}</math> ergibt sich <math> V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3}
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1d) <math> h = \sqrt[3]{\frac{3VH^2}{R^2 \pi}</math>
 
   
 
   
5. <math> h = H \sqrt[3]{\frac{1}{2}}=0,7937H\approx 0,8H = 6,4 cm</math>
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1e) <math> h = 6,25 cm</math>
  
 
Ein kegelförmiges Sektglas ist also bei rund 80% der Füllhöhe halb voll.
 
Ein kegelförmiges Sektglas ist also bei rund 80% der Füllhöhe halb voll.
  
6. 5,0 cm; 5,9 cm; 7,3 cm
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Nach h auflösen: <math> h =H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}}</math>
  
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Aktuelle Version vom 29. Juni 2012, 13:08 Uhr

  Aufgabe xy  Stift.gif
Sektglas.jpg


Wann ist ein Sektglas halb voll?


Ein Sektglas ist kegelförmig. Der Radius R der Deckfläche ist 5 cm, die Höhe H des Kegels 8 cm. Bei der Füllhöhe h = 7,88 cm ist das Glas genau mit 0,2 l gefüllt. (1 l = 1 dm³)

1. Nun interessiert die Frage, bei welcher Höhe ist das Glas halb voll?
Dabei verstehen wir unter halb voll, dass das Glas das halbe Volumen, also 0,1l enthalten soll.

Mit h bezeichnen wir die Füllhöhe.

a) Gib eine Formel für das Volumen V mit Füllhöhe h an.

b) Bestimme mit Hilfe des Strahlensatzes einen Zusammenhang zwischen h, H , R und r.

c) Gib nun eine Abhängigkeit des Volumens von h an.

d) Löse dein Ergebnis aus 3. nach h auf.

e) Bestimme zu V = \frac{1}{2}V_0 die passende Höhe h.

2. Die Abhängigkeit der Füllhöhe vom Volumen kann man auch schreiben als Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): h = H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0} , wobei V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H das Glasvolumen ist. Es ist V_0=209,44cm^3. Es kommt im wesentlichen auf den Quotienten \frac{V}{V_0} an, den wir mit q = \frac{V}{V_0} bezeichnen.

a) Leite aus  V = \frac{1}{3}r^2 \pi h die Formel Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): h = H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}

her. 

b) Gib für die Funktion  h: q \rightarrow h(q) die Funktionsgleichung, die Definitions- und die Wertemenge an.

Im folgenden Applet ist die Füllhöhe h als Funktion des Quotienten q = \frac{V}{V_0} angegeben.


c) Bestimme graphisch und rechnerisch bei welcher Höhe h das eingefüllte Volumen 25%, 40%, 75% des Glasvolumens ist.


Sektglas strahlensatz.jpg

1a)  V = \frac{1}{3}r^2\pi h

1b) \frac{h}{H}=\frac{r}{R}

1c) Mit  r = \frac{hR}{H} ergibt sich  V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3}
\frac{R^2}{H^2}\pi h^3

1d) Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): h = \sqrt[3]{\frac{3VH^2}{R^2 \pi}


1e)  h = 6,25 cm

Ein kegelförmiges Sektglas ist also bei rund 80% der Füllhöhe halb voll.

2a)  V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3}\frac{R^2}{H^2}\pi h^3 = \frac{1}{3}R^2\pi H \frac{h^3}{H^3}=V_0 (\frac{h}{H})^3, wobei V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H das Glasvolumen ist.
Nach h auflösen:  h =H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}}

2b) h(q) = 8 \sqrt[3]{q}; D=[0;1] und W = [0;8]

2c) 5,0 cm; 5,9 cm; 7,3 cm





2

Test sin 1.jpg Test sin 2.jpg Test sin 3.jpg Test sin 4.jpg Test sin 5.jpg Test sin 6.jpg
-\cos [\frac{x}{2}] -0,5 \cdot \sin [2x] 2 \cdot \sin [x] sin [x] cos [x]  \cos[x+\frac{\pi}{4}]



4

Memory

-\cos \frac{x}{2} Test sin 1.jpg
-0,5 \cdot \sin (2x) Test sin 2.jpg
2 \cdot\sin x Test sin 3.jpg
\sin x Test sin 4.jpg
\cos x Test sin 5.jpg
\cos(x+\frac{\pi}{4}) Test sin 6.jpg


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