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<big>Wann ist ein Sektglas halb voll?</big>
 
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Ein Sektglas ist oben kegelförmig. Der Radius R der Deckfläche ist 2,5 cm, die Höhe H des Kegels 8 cm. Bei der Füllhöhe h = 7,639 cm ist das Glas mit 0,2 l gefüllt. (1 l = 1 dm³)
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Ein Sektglas ist oben kegelförmig. Der Radius R der Deckfläche ist 2,5 cm, die Höhe H des Kegels 8 cm. Bei der Füllhöhe h = 7,639 cm ist das Glas genau mit 0,2 l gefüllt. (1 l = 1 dm³)
  
 
Nun interessiert die Frage, bei welcher Höhe der Sektoberfläche ist das Glas halb voll?<br>
 
Nun interessiert die Frage, bei welcher Höhe der Sektoberfläche ist das Glas halb voll?<br>

Version vom 28. Juni 2012, 06:00 Uhr

  Aufgabe xy  Stift.gif
Sektglas.jpg

Wann ist ein Sektglas halb voll?

Ein Sektglas ist oben kegelförmig. Der Radius R der Deckfläche ist 2,5 cm, die Höhe H des Kegels 8 cm. Bei der Füllhöhe h = 7,639 cm ist das Glas genau mit 0,2 l gefüllt. (1 l = 1 dm³)

Nun interessiert die Frage, bei welcher Höhe der Sektoberfläche ist das Glas halb voll?
Dabei verstehen wir unter halb voll, dass das Glas das halbe Volumen, also 0,1l enthalten soll.

Mit h bezeichnen wir die Füllhöhe.

1. Gib eine Formel für das Volumen mit Füllhöhe h an.

2. Bestimme mit Hilfe des Strahlensatzes einen Zusammenhang zwischen h, H , R und r.

3. Gib nun eine Abhängigkeit des Volumens von h an.

4. Löse dein Ergebnis aus 3. nach h auf.

5. Bestimme zu V = \frac{1}{2}V_0 die passende Höhe h.

Die Abhängigkeit der Füllhöhe vom Volumen kann man auch schreiben als Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): h = H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0} , wobei V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H das Glasvolumen ist. Es kommt im wesentlichen auf den Quotienten \frac{V}{V_0}, den wir mit q = \frac{V}{V_0} bezeichnen.

6. Leite aus  V = \frac{1}{3}r^2 \pi h die Formel Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): h = H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}

her. 

Im folgenden Applet ist die Füllhöhe h als Funktion des Quotienten q = \frac{V}{V_0} angegeben.


7. Bestimme graphisch und rechnerisch bei welcher Höhe h das eingefüllte Volumen 25%, 40%, 75% des Glasvolumens ist.


Sektglas strahlensatz.jpg

1.  V = \frac{1}{3}r^2\pi h

2. \frac{h}{H}=\frac{r}{R}

3. Mit  r = \frac{hR}{H} ergibt sich  V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3}
\frac{R^2}{H^2}\pi h^3

4. Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): h = \sqrt[3]{\frac{3VH^2}{R^2 \pi}


5.  h = H \sqrt[3]{\frac{1}{2}}=0,7937H\approx 0,8H = 6,4 cm

Ein kegelförmiges Sektglas ist also bei rund 80% der Füllhöhe halb voll.

6.  V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3}\frac{R^2}{H^2}\pi h^3 = \frac{1}{3}R^2\pi H \frac{h^3}{H^3}=V_0 (\frac{h}{H})^3, wobei V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H das Glasvolumen ist.
Nach h auflösen:  h =H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}}

7. 5,0 cm; 5,9 cm; 7,3 cm





2

Test sin 1.jpg Test sin 2.jpg Test sin 3.jpg Test sin 4.jpg Test sin 5.jpg Test sin 6.jpg
-\cos [\frac{x}{2}] -0,5 \cdot \sin [2x] 2 \cdot \sin [x] sin [x] cos [x]  \cos[x+\frac{\pi}{4}]



4

Memory

-\cos \frac{x}{2} Test sin 1.jpg
-0,5 \cdot \sin (2x) Test sin 2.jpg
2 \cdot\sin x Test sin 3.jpg
\sin x Test sin 4.jpg
\cos x Test sin 5.jpg
\cos(x+\frac{\pi}{4}) Test sin 6.jpg


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