Trigonometrische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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Mit der Geburt beginnen beim Menschen aktive und passive Phasen, die den körperlichen, seelischen und geistigen Bereich betreffen. Sie treten zyklisch immer wieder kehrend auf. Diese Zyklen heißen '''Biorythmen'''. Trägt man die Kurven auf, so sieht man Sinuslinien mit einer Periodenzeit von 23 Tagen für die körperliche Kurve, von 28 Tagen für die seelische Kurve und von 33 Tagen für die geistige Kurve.
Mit der Geburt beginnen beim Menschen aktive und passive Phasen, die den körperlich/physischen, seelisch/emotionalen und geistig/intelektuellen Bereich betreffen. Sie treten in zyklisch immer wieder kehrend auf. Diese Zyklen heißen '''Biorythmen'''. Trägt man die Kurven auf, so sieht man Sinuslinien mit einer Periodenzeit von 23 Tagen für die körperliche Kurve, von 28 Tagen für die seelische Kurve und von 33 Tagen für die geistige Kurve.
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Öffne diese Seite zum [http://www.tay-tec.de/biorhythm/biorhythm-applet.de.html Biorythmus] und betrachte die drei dargestellten Kurven. Überprüfe die Periodendauern der jeweiligen Zyklen. Was kannst du aus den Diagrammen noch ablesen?
 
Öffne diese Seite zum [http://www.tay-tec.de/biorhythm/biorhythm-applet.de.html Biorythmus] und betrachte die drei dargestellten Kurven. Überprüfe die Periodendauern der jeweiligen Zyklen. Was kannst du aus den Diagrammen noch ablesen?

Version vom 4. August 2008, 07:25 Uhr

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Inhaltsverzeichnis

Hallo!

Wäre es nicht toll, wenn Du hellsehen könntest? Wenn Du nur durch "scharfes Hinsehen" erkennen könntest, wie der Graph einer gegeben Funktion aussieht? Ohne Wertetabelle!

Für die linearen und die quadratischen Funktionen beherrscht Du diese Kunst vielleicht schon. Hier lernst Du dies nun für Sinus- und Cosinusfunktionen.

Viel Spass!


Mit der Geburt beginnen beim Menschen aktive und passive Phasen, die den körperlichen, seelischen und geistigen Bereich betreffen. Sie treten zyklisch immer wieder kehrend auf. Diese Zyklen heißen Biorythmen. Trägt man die Kurven auf, so sieht man Sinuslinien mit einer Periodenzeit von 23 Tagen für die körperliche Kurve, von 28 Tagen für die seelische Kurve und von 33 Tagen für die geistige Kurve.

Öffne diese Seite zum Biorythmus und betrachte die drei dargestellten Kurven. Überprüfe die Periodendauern der jeweiligen Zyklen. Was kannst du aus den Diagrammen noch ablesen?


Einfluss der Parameter bei der Sinusfunktion

In der Funktion f: x---> a sin(bx - c) + d sind a, b, c, d Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen.


Einfluss von a: f: x---> a sin(x)

Öffne dieses Applet:


Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von a ändern.

1. Was beobachtest du?

2. Verschiebe den Schieberegler auf a = 2.
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Graphen von fest?
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Funktionsterms f(x) fest?

3. Bevor du den Wert a = 3 (a = -1, a = 0,5) einstellst, überlege dir, was du mit den Graph der Sinusfunktion machen musst, damit du den Graph von f erhältst? Was ändert sich am Funktionsterm von f?

4. Überlege dir eine Funktionsgleichung, z.B. f(x)= 1,5 sin(x) und sage zunächst ohne Applet vorher, wie sie aussehen wird. Überprüfe dann durch das Verändern des Parameters a im Applet, ob deine Vorhersage richtig ist.

5. Formuliere dein Ergebnis über den Einfluss von a in f: x---> a sin(x)


Hefteintrag

Man erhält den Graph der Funktion f: x---> a sin(x) aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch

Sin a+.jpg

a > 0: Multiplikation aller Werte mit dem Faktor a, also für

0 < a < 1: Stauchung um den Faktor a

1 < a: Streckung um den Faktor a

Für negative a (a < 0) muss man den Graph noch an der x-Achse spiegeln.


Übertrage deine Ergebnisse auf a cos(x)


Einfluss von b: f: x---> sin(bx)

Öffne dieses Applet:


Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von b ändern.

1. Was beobachtest du?

2. Verschiebe den Schieberegler auf b = 2.
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Graphen von fest?
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Funktionsterms f(x) fest?

3. Bevor du den Wert b = 3 (b = -1, b = 0,5) einstellst, überlege dir, was du mit den Graph der Sinusfunktion machen musst, damit du den Graph von f erhältst? Was ändert sich am Funktionsterm von f?

4. Überlege dir eine Funktionsgleichung, z.B. f(x)= sin(1,5 x) und sage zunächst ohne Applet vorher, wie sie aussehen wird. Überprüfe dann durch das Verändern des Parameters b im Applet, ob deine Vorhersage richtig ist.

5. Formuliere dein Ergebnis über den Einfluss von b in f: x---> sin(bx)


Hefteintrag

Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(bx) aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch

b > 1: Stauchung in x-Richtung

0 < b < 1 Streckung in x-Richtung


Bei negativem b (b < 0) ist wegen sin(-x) = - sin(x) der Einfluss von a als Spiegeln an der x-Achse zu berücksichtigen!


Übertrage deine Ergebnisse auf cos(bx)


Einfluss von c: f: x---> sin(x+c)

Öffne dieses Applet:


Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von c ändern.

1. Was beobachtest du?

2. Verschiebe den Schieberegler auf c = 1.
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Graphen von fest?
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Funktionsterms f(x) fest?

3. Bevor du den Wert c = 2 (c = -1, c = 0,5, c = PI/2) einstellst, überlege dir, was du mit den Graph der Sinusfunktion machen musst, damit du den Graph von f erhältst? Was ändert sich am Funktionsterm von f?

4. Überlege dir eine Funktionsgleichung, z.B. f(x)= sin(x-1,5) und sage zunächst ohne Applet vorher, wie sie aussehen wird. Überprüfe dann durch das Verändern des Parameters c im Applet, ob deine Vorhersage richtig ist.

5. Formuliere dein Ergebnis über den Einfluss von c in f: x---> sin(x+c)

Hefteintrag

Sin c.jpg

Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(x-c) aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch Verschiebung um -c in Richtung der x-Achse.

Beachte dabei:

Ist c > 0, so verschiebe um den Betrag von c nach links entlang der x-Achse;

ist c < 0, so verschiebe um den Betrag von c nach rechts entlang der x-Achse.


Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x+c)


  • Einfluss von d: f: x---> sin(x)+d

Öffne dieses Applet:



Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von d ändern.

1. Was beobachtest du?

2. Verschiebe den Schieberegler auf d = 1.
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Graphen von fest?
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Funktionsterms f(x) fest?

3. Bevor du den Wert d = 2 (d = -1, d = 0,5) einstellst, überlege dir, was du mit den Graph der Sinusfunktion machen musst, damit du den Graph von f erhältst? Was ändert sich am Funktionsterm von f?

4. Überlege dir eine Funktionsgleichung, z.B. f(x)= sin(x) + 1,5 und sage zunächst ohne Applet vorher, wie sie aussehen wird. Überprüfe dann durch das Verändern des Parameters d im Applet, ob deine Vorhersage richtig ist.

5. Formuliere dein Ergebnis über den Einfluss von d in f: x---> sin(x)+d

Hefteintrag

Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(x)+d aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch Verschiebung um d in Richtung der y-Achse.


  • Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x)+d

Hier kannst beide Parameter c und d von sin(x+c)+d durch Verschieben des Graphen ändern und die Auswirkung auf den Funktionsterm betrachten.

Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x+c)+d


Zusammenfassung

In diesem Arbeitsblatt variierst du durch Schieberegler die verschiedenen Parameter. Beobachte die Auswirkung auf den Graphen. Bearbeite auch die darunter gestellten Aufgaben.

Finde zu den Graphen auf diesem Arbeitsblatt die zugehörigen Funktionsterme.

Was fällt auf, wenn du hier für b > 1 den Parameter c änderst?
In dem Applet auf dieser Seite werden die Parameter b und c anders verwendet. Finde den Unterschied zu den bisherigen Betrachtungen heraus.

Übertrage deine Ergebnisse auf a cos(bx+c)+d beziehungsweise a cos[b(x+c)]+d


Zum Schluss noch was zum Knobeln!!!

Anwendungen:

  • In dem Applet auf dieser Seite wird gezeigt, wie man eine Schwingung darstellen kann. Mit dem Schieberegler für t kannst du die Schwingung darstellen. Überlege dir die gestellten Aufgaben und finde dann mit den angegebenen Größen y_max und T einen Funktionsterm für die zugehörige Sinusschwingung.
  • In dem Applet auf diesem Arbeitsblatt werden die Parameter einer Sinusschwingung aus der Physik behandelt. Welche Parameter a,b,c,d entsprechen welchen physikalischen Größen a, f, phi_0?
  • In diesem Lernpfad zur harmonischen Schwingung findest du als Lernschritt 8 eine Aufgabe. Kannst du sie lösen? Fertige eine Zeichnung an! Finde die entsprechenden Größen a,b,c,d von a sin(b x - c)+d?

Teste Dich!

..............


1. Vergrößert \uparrow oder verkleinert \downarrow man den Wert einer Variablen der Funktion  f(x) = a\cdot \sin ( b\cdot x + c ) + d mit \ a,b,c,d \in \R und a,b\neq 0, so bewirkt dies eine Änderung des Graphen.

Klicke auf die richtigen Zuordnungen!

\uparrow \downarrow  \ a<0 \ 0<a<1 \ 1<a \ b<0 \ 0<b<1 \ 1<b
- Verschiebung nach oben
-Verschiebung nach unten
- Verschiebung nach rechts
- Verschiebung nach links
- Streckung in x-Richtung / Verkleinerung der Frequenz
- Stauchung in x-Richtung / Vergrößerung der Frequenz
- Streckung in y-Richtung / Vergrößerung der Amplitude
- Stauchung in y-Richtung / Verkleinerung der Amplitude
- Spiegelung an x-Achse
- Spiegelung an y-Achse

Punkte: 0 / 0


Super! Nun hast Du es geschafft und das Ende des Lernpfades erreicht.

Weitere Ideen:

  • Jupitermonde [[1]]
  • Skifahrer - Brücke


  • Oftmals sieht man auf einem Oszilloskop ein solches Bild:
Oszilloskop.jpg

Was kann man dort ablesen? Wie erhält man aus dem Bild die nötigen Informationen?
Wie liest man aus der angezeigten Kurve Nullstellen, maximale Amplitude, Abstände, ... ab?

Um ein solches Bild am Oszilloskop richtig zu interpretieren muss man verschiedene Sinusfunktionen f: x ---> a sin(b*x+c)+d betrachten. Welche Bedeutung haben dort die Parameter a, b, c, d?

In diesem Bild
Sin(2x-2).jpg
sind der Graph der Sinusfunktion (rot) und ein weiterer Graph einer Sinusfunktion (schwarz) zu sehen.

Du kennst die Nullstellen der Sinusfunktion. Wo sind sie?
Stelle in der Zeichnung fest an welchen Stellen der Graph der schwarzen Funktion Nullstellen hat und notiere sie.