Trigonometrische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 3. September 2008, 20:49 Uhr

Beschreibung
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Inhaltsverzeichnis

Hallo!

Wäre es nicht toll, wenn Du hellsehen könntest? Wenn Du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest?

Für die linearen und die quadratischen Funktionen beherrscht Du diese Kunst wahrscheinlich schon. Dann wirst Du vieles von Deinem Wissen auf die Sinus- und Cosinusfunktion übertragen können.

Viel Spass!


Mit der Geburt beginnen beim Menschen aktive und passive Phasen, die den körperlichen, seelischen und geistigen Bereich betreffen. Sie treten zyklisch immer wiederkehrend auf. Diese Zyklen heißen Biorythmen. Wir wollen nur untersuchen, wie man solch unterschiedliche Graphen mathematisch mit Hilfe von Parametern darstellen kann.


Einfluss der Parameter bei der allgemeinen Sinusfunktion

In der Funktion

 x \rightarrow a\cdot \sin ( b\cdot x + c ) + d

sind \ a,b,c,d Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Im Folgenden seien \ a,b,c,d \in \R und a,b\neq 0.

Hinweis: Bei den GeoGebra-Applets ist die x-Achse in Einheiten von  \pi beschriftet. Indem man die x-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit 1 umstellen.


Einfluss von a

Wir betrachten nun den Einfluss von  \ a in

 x \rightarrow a\cdot \sin x  .

Öffne dieses Applet:


Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von  \ a ändern.

  • Stelle den Schieberegler auf  \ a = 2 ein. Wie ändert sich der Graph?
  • Überlege Dir, wie sich der Wert  \ a = 3  \ (\ a = -1, \ a = 0,5) auf den Graphen auswirkt und überprüfe Deine Vermutung.
  • Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.


Hefteintrag

Man erhält den Graph der Funktion f: x---> a sin(x) aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch

Sin a+.jpg

a > 0: Multiplikation aller Werte mit dem Faktor a, also für

0 < a < 1: Stauchung um den Faktor a

1 < a: Streckung um den Faktor a

Für negative a (a < 0) muss man den Graph noch an der x-Achse spiegeln.


Übertrage deine Ergebnisse auf a cos(x)


Einfluss von b

Wir betrachten nun den Einfluss von  \ b in

 x \rightarrow \sin ( b\cdot x )

Öffne dieses Applet:


Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von b ändern.

1. Was beobachtest du?

2. Verschiebe den Schieberegler auf b = 2.
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Graphen von fest?
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Funktionsterms f(x) fest?

3. Bevor du den Wert b = 3 (b = -1, b = 0,5) einstellst, überlege dir, was du mit den Graph der Sinusfunktion machen musst, damit du den Graph von f erhältst? Was ändert sich am Funktionsterm von f?

4. Überlege dir eine Funktionsgleichung, z.B. f(x)= sin(1,5 x) und sage zunächst ohne Applet vorher, wie sie aussehen wird. Überprüfe dann durch das Verändern des Parameters b im Applet, ob deine Vorhersage richtig ist.

5. Formuliere dein Ergebnis über den Einfluss von b in f: x---> sin(bx)


Hefteintrag

Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(bx) aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch

b > 1: Stauchung in x-Richtung

0 < b < 1 Streckung in x-Richtung

Hinweis: Bei negativem b (b < 0) ist wegen sin(-x) = - sin(x) der Einfluss von a als Spiegeln an der x-Achse zu berücksichtigen!


Übertrage deine Ergebnisse auf cos(bx)


Einfluss von c

Wir betrachten nun den Einfluss von  \ c in

 x \rightarrow \sin ( x + c )

Öffne dieses Applet:


Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von c ändern.

1. Was beobachtest du?

2. Verschiebe den Schieberegler auf c = 1.
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Graphen von fest?
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Funktionsterms f(x) fest?

3. Bevor du den Wert c = 2 (c = -1, c = 0,5, c = PI/2) einstellst, überlege dir, was du mit den Graph der Sinusfunktion machen musst, damit du den Graph von f erhältst? Was ändert sich am Funktionsterm von f?

4. Überlege dir eine Funktionsgleichung, z.B. f(x)= sin(x-1,5) und sage zunächst ohne Applet vorher, wie sie aussehen wird. Überprüfe dann durch das Verändern des Parameters c im Applet, ob deine Vorhersage richtig ist.

5. Formuliere dein Ergebnis über den Einfluss von c in f: x---> sin(x+c)

Hefteintrag

Sin c.jpg

Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(x-c) aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch Verschiebung um -c in Richtung der x-Achse.

Beachte dabei:

Ist c > 0, so verschiebe um den Betrag von c nach links entlang der x-Achse;

ist c < 0, so verschiebe um den Betrag von c nach rechts entlang der x-Achse.


Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x+c)


Einfluss von d

Wir betrachten nun den Einfluss von  \ d in

 x \rightarrow \sin x + d

Öffne dieses Applet:



Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von d ändern.

1. Was beobachtest du?

2. Verschiebe den Schieberegler auf d = 1.
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Graphen von fest?
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Funktionsterms f(x) fest?

3. Bevor du den Wert d = 2 (d = -1, d = 0,5) einstellst, überlege dir, was du mit den Graph der Sinusfunktion machen musst, damit du den Graph von f erhältst? Was ändert sich am Funktionsterm von f?

4. Überlege dir eine Funktionsgleichung, z.B. f(x)= sin(x) + 1,5 und sage zunächst ohne Applet vorher, wie sie aussehen wird. Überprüfe dann durch das Verändern des Parameters d im Applet, ob deine Vorhersage richtig ist.

5. Formuliere dein Ergebnis über den Einfluss von d in f: x---> sin(x)+d

Hefteintrag

Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(x)+d aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch Verschiebung um d in Richtung der y-Achse.


  • Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x)+d

Hier kannst beide Parameter c und d von sin(x+c)+d durch Verschieben des Graphen ändern und die Auswirkung auf den Funktionsterm betrachten.

Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x+c)+d


Zusammenfassung

In diesem Arbeitsblatt variierst du durch Schieberegler die verschiedenen Parameter. Beobachte die Auswirkung auf den Graphen. Bearbeite auch die darunter gestellten Aufgaben.

Finde zu den Graphen auf diesem Arbeitsblatt die zugehörigen Funktionsterme.

Was fällt auf, wenn du hier für b > 1 den Parameter c änderst?
In dem Applet auf dieser Seite werden die Parameter b und c anders verwendet. Finde den Unterschied zu den bisherigen Betrachtungen heraus.

Übertrage deine Ergebnisse auf a cos(bx+c)+d beziehungsweise a cos[b(x+c)]+d


Zum Schluss noch was zum Knobeln!!!

Anwendungen:

  • In dem Applet auf dieser Seite wird gezeigt, wie man eine Schwingung darstellen kann. Mit dem Schieberegler für t kannst du die Schwingung darstellen. Überlege dir die gestellten Aufgaben und finde dann mit den angegebenen Größen y_max und T einen Funktionsterm für die zugehörige Sinusschwingung.
  • In dem Applet auf diesem Arbeitsblatt werden die Parameter einer Sinusschwingung aus der Physik behandelt. Welche Parameter a,b,c,d entsprechen welchen physikalischen Größen a, f, phi_0?
  • In diesem Lernpfad zur harmonischen Schwingung findest du als Lernschritt 8 eine Aufgabe. Kannst du sie lösen? Fertige eine Zeichnung an! Finde die entsprechenden Größen a,b,c,d von a sin(b x - c)+d?

Teste Dich!

..............


1. Vergrößert \uparrow oder verkleinert \downarrow man den Wert einer Variablen der Funktion  f(x) = a\cdot \sin ( b\cdot x + c ) + d mit \ a,b,c,d \in \R und a,b\neq 0, so bewirkt dies eine Änderung des Graphen.

Klicke auf die richtigen Zuordnungen!

\uparrow \downarrow  \ a<0 \ 0<a<1 \ 1<a \ b<0 \ 0<b<1 \ 1<b
- Verschiebung nach oben
-Verschiebung nach unten
- Verschiebung nach rechts
- Verschiebung nach links
- Streckung in x-Richtung / Verkleinerung der Frequenz
- Stauchung in x-Richtung / Vergrößerung der Frequenz
- Streckung in y-Richtung / Vergrößerung der Amplitude
- Stauchung in y-Richtung / Verkleinerung der Amplitude
- Spiegelung an x-Achse
- Spiegelung an y-Achse

Punkte: 0 / 0


Super! Nun hast Du es geschafft und das Ende des Lernpfades erreicht.

Aufgaben

  • Auf einem Oszilloskop sieht man folgendes Bild:
Oszilloskop.jpg

Was kann man dort ablesen? Wie erhält man aus dem Bild die nötigen Informationen?
Wie liest man aus der angezeigten Kurve Nullstellen, maximale Amplitude, Abstände, ... ab?

  • In diesem Bild
    Sin(2x-2).jpg
    sind der Graph der Sinusfunktion (rot) und ein weiterer Graph einer Sinusfunktion (schwarz) zu sehen.

Du kennst die Nullstellen der Sinusfunktion. Wo sind sie?
Stelle in der Zeichnung fest an welchen Stellen der Graph der schwarzen Funktion Nullstellen hat und notiere sie.
Wo hat der Graph der schwarzen Funktion Hochpunkte/Tiefpunkte?
Wo ist er streng monoton fallend/steigend?