Trigonometrische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Benutzer:Silvia Joachim|<b>Silvia Joachim</b>]], [[Benutzer:Karlo Haberl|<b>Karl Haberl</b>]] und [[Benutzer:Franz Embacher|<b>Franz Embacher</b>]]
  
BREITE =100%|
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{{Kasten1000| BREITE =100%|  
ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|
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ÜBERSCHRIFT =Über diesen Lernpfad| INHALT1=Hier sollen sich die SchülerInnen mit der Variation von Parametern in Sinus- und Kosinusfunktionen beschäftigen und ihre Auswirkung erarbeiten und beschreiben können.|
INHALT1=
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INHALT2=Kompetenzen| INHALT2a='''Das kannst du schon'''
'''Informationen für den Lehrer'''
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Hier sollen sich die Schüler mit der Variation von Parametern in Sinus- und Kosinusfunktionen beschäftigen und deren Auswirkungen erarbeiten und beschreiben können.
+
*Darstellungsformen von Funktionen
 +
*Kenntnis der Auswirkung von Variationen in den Darstellungsformen von linearen und quadratischen Funktionen
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*Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen
  
[Trigonometrische Funktionen/Didaktischer Kommentar|Didaktischer Kommentar]]
 
}}
 
  
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Wenn du die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen und ihrer Graphen wiederholen möchtest, rufe [[Trigonometrische Funktionen/Wiederholung|diese Seite]] auf.
=== Hellsehen ===
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| INHALT2b='''Das kannst du lernen'''
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*Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion und umgekehrt.
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| INHALT3=Für LehrerInnen:<br />
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[[/Didaktischer Kommentar|Didaktischer Kommentar]]}}
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{{Trigonometrische Funktionen}}
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|Wäre es nicht toll, wenn du hellsehen könntest? Wenn du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest? Wenn du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen könntest?
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|[[Bild:Hellsehen.jpg|150px]]||
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Hallo! Wäre es nicht toll, wenn du hellsehen könntest? Wenn du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest? Wenn du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen könntest?
  
Für die linearen und die quadratischen Funktionen beherrscht du diese Kunst wahrscheinlich schon. Dann wirst du vieles von Deinem Wissen auf die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion übertragen können.
+
Für die linearen und die [[Trigonometrische_Funktionen/Quadratische Funktionen|quadratischen Funktionen]] beherrschst du diese Kunst wahrscheinlich schon. Dann wirst du vieles von deinem Wissen auf die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion übertragen können.  
  
 
|
 
|
:{{#ev:youtube|mSgduUqD_RE|150}}
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{{#ev:youtube|nw2Oksmik2A|150}}
 
|}
 
|}
  
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{|
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 +
'''Hinweise:'''
  
===Einfluss der Parameter===
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*Denke bitte daran die Hefteinträge in dein Heft zu übernehmen!
  
Wiederholung:
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*Bei den GeoGebra-Applets ist die <math>\ x</math>-Achse mit Vielfachen von <math> \pi </math> beschriftet. Indem man die <math>\ x</math>-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit'' cm ''umstellen.
:* [http://www.mathe-online.at/mathint/fun2/i.html#WfunInv Steckbrief der Sinus- und Kosinusfunktion]
+
  
<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Am besten verwendest du hierfür dein Heft im Querformat. Formuliere eine Überschrift und übernehme alle mit gelb gekennzeichneten Texte. Natürlich darfst du dir aber auch noch zusätzlich Notizen machen.
+
*Zu den meisten Aufgaben gibt es Lösungen, diese befinden sich am Ende der jeweiligen Seite. Bearbeite zuerst die Aufgaben, mache dir Notizen und vergleiche diese erst zum Schluss mit den Lösungen!
+
|
 +
{{#ev:youtube|j3cCtx-bao0|150}}
 +
|}
  
{{Merksatz|MERK=
 
Die <span style="background-color:yellow;">allgemeine Sinusfunktion</span> lautet
 
  
:<span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math> x\rightarrow a\cdot\sin(b\cdot x+c)+d </math>'''&nbsp;</span>.
+
----
  
Entsprechend lautet die <span style="background-color:yellow;">allgemeine Kosinusfunktion</span>
+
{|
 +
|
 +
Dieser Lernpfad enthält zwei Stationen, die du am besten nacheinander bearbeitest. Klicke dazu einfach auf die gewünschte Station!
  
:<span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math> x \rightarrow a\cdot \cos ( b\cdot x + c ) + d </math>'''&nbsp;</span>.
+
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
 
+
*'''[[Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter|Station 1: Erforsche hier den Einfluss der Parameter auf das Aussehen des Graphen!]]'''
Dabei sind <math>\ a,b,c,d </math> Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Im Folgenden seien <math>\ a,b,c,d \in \R </math> und <math>a,b\neq 0</math>.}}
+
</div>
 
+
<graphviz>
<math> \rightarrow </math> ''Hinweis: Bei den GeoGebra-Applets ist die <math>\ x</math>-Achse mit Vielfachen von <math> \pi </math> beschriftet. Indem man die <math>\ x</math>-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit'' cm ''umstellen.''
+
digraph G {
----
+
rankdir=RL;
Arbeiten in Expertenteams {{versteckt|
+
"Term" -> "Graph"[label="                                                       "];
 
+
edge [color = white]; "Term" -> "Hellsehen";
<graphviz>digraph G {
+
"Hellsehen" -> "Graph";
node [URL="http://www.wikischool.de/wiki/\N"]
+
edge [color = black]; rankdir=LR;  
"Einteilung in ABC-Expertenteams" -> "Team A";
+
"Graph" -> "Term";
"Einteilung in ABC-Expertenteams" -> "Team B";
+
"Einteilung in ABC-Expertenteams" -> "Team C";
+
"Einteilung in ABC-Expertenteams" -> "Team D";
+
"Team A" -> "Untersuche den \n Einfluss von a!";
+
"Team B" -> "Untersuche den \n Einfluss von b!";
+
"Team C" -> "Untersuche den \n Einfluss von c!";
+
"Team D" -> "Untersuche den \n Einfluss von d!";
+
 
}
 
}
 
</graphviz>
 
</graphviz>
}}
+
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
 +
*'''[[Trigonometrische Funktionen/Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen|Station 2: Erfahre hier, wie du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen kannst - und mehr!]]'''</div>
  
 
{| class="wikitable"
 
|- class="hintergrundfarbe5"
 
! style="background-color:#ffff00;" | Einfluss von <math> \ a </math> !!  style="background-color:#ffff00;" |Einfluss von <math> \ b </math>  !! style="background-color:#ffff00;" |Einfluss von <math> \ c </math>  !!  style="background-color:#ffff00;" |Einfluss von <math> \ d </math>
 
|-
 
|   
 
Untersuche [[Einfluss von a|hier]] den Einfluss von
 
 
:<math> \ a </math>
 
 
auf die Graphen der Funktionen
 
 
:<math> x \rightarrow a\cdot \sin x  </math>
 
 
und
 
 
:<math> x \rightarrow a\cdot \cos x  </math>.
 
||
 
Untersuche [[Einfluss von b|hier]] den Einfluss von
 
 
:<math> \ b </math>
 
 
auf die Graphen der Funktionen
 
 
:<math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math>
 
 
und
 
 
:<math> x \rightarrow \cos ( b\cdot x ) </math>.
 
||
 
Untersuche [[Einfluss von c|hier]] den Einfluss von
 
 
:<math> \ c </math>
 
 
auf die Graphen der Funktionen
 
 
:<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math>
 
 
und
 
 
:<math> x \rightarrow \cos ( x + c ) </math>.
 
||
 
Untersuche [[Einfluss von d|hier]] den Einfluss von
 
 
:<math> \ d </math>
 
 
auf die Graphen der Funktionen
 
 
:<math> x \rightarrow \sin x + d </math>
 
 
und
 
 
:<math> x \rightarrow \cos x + d </math>.
 
|}
 
 
Arbeiten in Expertenteams {{versteckt|
 
 
 
<graphviz>digraph G {
 
node [URL="http://www.wikischool.de/wiki/\N"]
 
"Einteilung in 123-Expertenteams" -> "Team 1";
 
"Einteilung in 123-Expertenteams" -> "Team 2";
 
"Einteilung in 123-Expertenteams" -> "Team 3";
 
"Einteilung in 123-Expertenteams" -> "Team ...";
 
"Team 1" -> "Austausch über den\n Einfluss von a, b, c, d";
 
"Team 2" -> "Austausch über den\n Einfluss von a, b, c, d";
 
"Team 3" -> "Austausch über den\n Einfluss von a, b, c, d";
 
"Team ..." -> "Austausch über den\n Einfluss von a, b, c, d";
 
"Austausch über den\n Einfluss von a, b, c, d" -> "Vervollständigen \n des Hefteintrages"; "Vervollständigen \n des Hefteintrages" -> "Bearbeiten der \n folgenden Aufgaben";
 
"Austausch über den\n Einfluss von a, b, c, d" -> "Vervollständigen \n des Hefteintrages"; "Vervollständigen \n des Hefteintrages" -> "Bearbeiten der \n folgenden Aufgaben";
 
"Austausch über den\n Einfluss von a, b, c, d" -> "Vervollständigen \n des Hefteintrages"; "Vervollständigen \n des Hefteintrages" -> "Bearbeiten der \n folgenden Aufgaben";
 
"Austausch über den\n Einfluss von a, b, c, d" -> "Vervollständigen \n des Hefteintrages"; "Vervollständigen \n des Hefteintrages" -> "Bearbeiten der \n folgenden Aufgaben";
 
}
 
</graphviz>
 
}}
 
 
----
 
----
  
'''Sinus und Kosinus'''
+
===Physik-Ecke===
  
{{Arbeit|ARBEIT=  
+
{| border=0
 +
|{{#ev:youtube|jlZ3fCw5m1U|150}}
 +
|rowspan=2 |
 +
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
 +
*'''[[Trigonometrische Funktionen/Anwendungen in der Physik|Lerne hier einige Anwendungen in der Physik kennen!]]'''</div>
 +
|}
  
Wie hängen die Sinus- und die Kosinusfunktion zusammen? Erstelle die Graphen
+
|
der Funktionen <math>\,\!\sin(x+\frac{\pi}{2})</math> und <math>\,\!\cos(x)</math> und
+
:{{#ev:youtube|eAKO-C8Duac|150}}
betrachte sie! Was fällt dir auf?}}
+
|}
  
''Lösung:'' {{versteckt|
 
Ja genau, die Graphen der beiden Funktionen sind identisch. Genauer gesagt:
 
{{Merksatz|MERK=
 
<span style="background-color:yellow;"> Man erhält den Graphen der Kosinusfunktion indem man den Graphen der Sinusfunktion um <math>\frac{\pi}{2}</math> nach links verschiebt.
 
 
Deshalb verhält sich die allgemeine Kosinusfunktion bei Variation ihrer Parameter genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.
 
}}
 
</span>
 
 
}}
 
 
----
 
----
  
'''Jetzt noch was zum Knobeln!!!'''
+
===Experimentier-Ecke===
 
+
Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen heraus gefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.
+
 
+
  
 +
{|
 +
|
 
{{Arbeit|ARBEIT=
 
{{Arbeit|ARBEIT=
# In diesem [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr10.html Arbeitsblatt] kannst du die verschiedenen Parameter variieren und die Auswirkungen auf den Graphen beobachten. Bearbeite auch die darunter gestellten Aufgaben.
+
Du hast doch bestimmt einen Zirkel, oder? Genauer gesagt benötigst du nicht den Zirkel, sondern nur die Bleistiftmine für dieses Experiment. Die Mine sollte schräg angefeilt sein. Nimm die Mine aus dem Zirkel und lege sie auf ein Blatt Papier. Wenn du die Mine nun mit einem leichten Druck über das Papier rollst, kannst du den Graphen einer Sinusfunktion erkennen. Diesen kannst du dann gerne noch mit einem Stift nachfahren.
#[http://www.mathe-online.at/mathint/fun2/applet_b_funerk3.html Funktionen erkennen]
+
#[http://www.mathe-online.at/mathint/fun2/applet_b_grapherk3.html Graphen erkennen]
+
 
}}
 
}}
----
+
|{{#ev:youtube|UfDOp2oE7-k|150}}||
  
===Bestimmung einer Funktionsgleichung aus dem Graphen===
+
|}
 
+
Man kann dem Graphen einer Funktion ansehen, wie eine mögliche zugehörige Funktionsgleichung lautet. Öffne das folgende Applet und klicke in das leere Kontrollkästchen.
+
 
+
<ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="sinusfunktion_2.ggb" /> <br>
+
  
 
----
 
----
  
===Anwendungen in der Physik===
+
{|
Wiederholung: [http://www.zum.de/dwu/pas002vs.htm Frequenz und Amplitude]
+
|
+
Nun hast du es wirklich geschafft und den ganzen Lernpfad bearbeitet. Du kannst stolz sein - gut gemacht!
[[bild:oszilloskop.jpg|center|300px]]
+
  
{{Arbeit|ARBEIT=
+
<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alles Wichtige notiert hast!
Auf einem Oszilloskop sieht man obiges Bild.
+
* Was kann man dort ablesen?
+
* Wie erhält man aus dem Bild die nötigen Informationen?<br>
+
* Wie liest man aus der angezeigten Kurve Nullstellen, maximale Amplitude, Abstände, ... ab?
+
}}
+
  
{{Lösung versteckt|1=
+
Ich wünsche dir noch einen schönen Tag!
 +
||{{#ev:youtube|nbT16tnv2V4|150}}
 +
|}
  
a) Die Sinuskurve ist um 0,75 nach oben verschoben.
+
----
  
Der Abstand zwischen Hoch- und Tiefpunkt der Sinuslinie ist 4,5, also ist die Amplitude 2,25.
 
  
Die Periodendauer ist 3,75.
+
{{Autoren|[[Benutzer:Silvia Joachim|<b>Silvia Joachim</b>]], [[Benutzer:Karlo Haberl|<b>Karl Haberl</b>]] und [[Benutzer:Franz Embacher|<b>Franz Embacher</b>]]}}
  
Die Sinuskurve fängt mit 0,25 am linken Rand an.
 
 
b) Es sind d = 0,75, a = 2,25, b = 2*PI/3,75 und c = -0,224.
 
 
}}
 
 
{{Arbeit|ARBEIT=
 
 
* In dem Applet auf dieser [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/wellen/welle1.html Seite] wird gezeigt, wie man eine Schwingung darstellen kann. Mit dem Schieberegler für t kannst du die Schwingung darstellen. Überlege dir die gestellten Aufgaben und finde dann mit den angegebenen Größen y_max und T einen Funktionsterm für die zugehörige Sinusschwingung.
 
* In dem Applet auf diesem [http://www.geogebra.org/de/examples/fourier/Arbeitsblaetter/1_sinusschwingung-allg.html Arbeitsblatt] werden die Parameter einer Sinusschwingung aus der Physik behandelt. Welche Parameter a,b,c,d entsprechen welchen physikalischen Größen a, f, phi_0?
 
* In diesem [http://www.mathe-online.at/lernpfade/harmonischeSchwingung/ Lernpfad] zur harmonischen Schwingung findest du als Lernschritt 8 eine Aufgabe. Kannst du sie lösen? Fertige eine Zeichnung an! Finde die entsprechenden Größen a,b,c,d von a sin(b x + c)+d?
 
}}
 
  
 
----
 
----
  
Super! Nun hast du es geschafft und das Ende des Lernpfades erreicht.
+
[[Kategorie:Trigonometrische Funktionen|!]]
 
+
<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Lese dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alle gelb hinterlegten Texte übernommen hast.
+
+
Nun hast du es wirklich geschafft. Du kannst stolz sein - gut gemacht! Ich wünsche dir noch einen schönen Tag!
+
 
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+
 
+
===Zusatzaufgaben===
+
{{Arbeit|ARBEIT=
+
In dem unteren Bild sind der Graph der Sinusfunktion (rot) und ein weiterer Graph einer Sinusfunktion (schwarz) zu sehen.<br>
+
* Du kennst die Nullstellen der Sinusfunktion. Wo sind sie?<br>
+
* Stelle in der Zeichnung fest an welchen Stellen der Graph der schwarzen Funktion Nullstellen hat und notiere sie.<br>
+
* Wo hat der Graph der schwarzen Funktion Hochpunkte/Tiefpunkte?<br>
+
* Wo ist er streng monoton fallend/steigend?
+
}}
+
[[bild:sin(2x-2).jpg|center]]  
+
 
+
{{Lösung versteckt|1=
+
a) Die Nullstellen der Sinusfunktion sind bei allen Vielfachen von PI, also x = k*PI.
+
 
+
b) Die Nullstellen der "schwarzen" Funktion sind bei x = 1, 1+PI/2, 1+PI, ...
+
 
+
c) Hochpunkte sind bei x = 1 + PI/4, 1 + 5/4*PI, ...<br>
+
Tiefpunkte sind bei x = 1 - PI/4, 1 + 3/4*PI, ...
+
 
+
d) Der Graph ist zwischen Tief- und Hochpunkt jeweils streng monoton steigend und zwischen Hoch- und Tiefpunkt jeweils streng monoton fallend.
+
 
+
 
+
}}
+
 
+
{{Arbeit|ARBEIT=
+
 
+
* [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr5.html Hier] kannst beide Parameter c und d von sin(x+c)+d durch Verschieben des Graphen ändern und die Auswirkung auf den Funktionsterm betrachten. Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x+c)+d.
+
* In diesem [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr11.html Arbeitsblatt] sollst du die zu den Graphen gehörenden Funktionsterme finden.
+
* Was fällt auf, wenn du [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr10.html hier] für <math>\ b > 1</math> den Parameter <math>\ c</math> änderst?<br>
+
* In dem Applet auf [http://www.gymnasium-walldorf.de/mathematik/trigo_otto/trigo.html dieser Seite] werden die Parameter <math>\ b</math> und <math>\ c</math> anders verwendet. Finde den Unterschied zu den bisherigen Betrachtungen heraus.
+
* Übertrage deine Ergebnisse auf a cos(bx+c)+d beziehungsweise a cos[b(x+c)]+d
+
}}
+
 
+
  
[[zw:Trigonometrische Funktionen]]
+
[[zum-wiki:Trigonometrische Funktionen]]

Aktuelle Version vom 3. Juli 2016, 12:35 Uhr

Silvia Joachim, Karl Haberl und Franz Embacher

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Über diesen Lernpfad

Hier sollen sich die SchülerInnen mit der Variation von Parametern in Sinus- und Kosinusfunktionen beschäftigen und ihre Auswirkung erarbeiten und beschreiben können.

Kompetenzen

Das kannst du schon

  • Darstellungsformen von Funktionen
  • Kenntnis der Auswirkung von Variationen in den Darstellungsformen von linearen und quadratischen Funktionen
  • Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen


Wenn du die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen und ihrer Graphen wiederholen möchtest, rufe diese Seite auf.

Das kannst du lernen

  • Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion und umgekehrt.
  Pfeil.gif Für LehrerInnen:

Didaktischer Kommentar

Einführung - Einfluss der Parameter - Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr - Anwendungen in der Physik

Hellsehen.jpg

Hallo! Wäre es nicht toll, wenn du hellsehen könntest? Wenn du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest? Wenn du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen könntest?

Für die linearen und die quadratischen Funktionen beherrschst du diese Kunst wahrscheinlich schon. Dann wirst du vieles von deinem Wissen auf die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion übertragen können.

Hinweise:

  • Denke bitte daran die Hefteinträge in dein Heft zu übernehmen!
  • Bei den GeoGebra-Applets ist die \ x-Achse mit Vielfachen von  \pi beschriftet. Indem man die \ x-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit cm umstellen.
  • Zu den meisten Aufgaben gibt es Lösungen, diese befinden sich am Ende der jeweiligen Seite. Bearbeite zuerst die Aufgaben, mache dir Notizen und vergleiche diese erst zum Schluss mit den Lösungen!



Dieser Lernpfad enthält zwei Stationen, die du am besten nacheinander bearbeitest. Klicke dazu einfach auf die gewünschte Station!

<graphviz> digraph G { rankdir=RL; "Term" -> "Graph"[label=" "]; edge [color = white]; "Term" -> "Hellsehen"; "Hellsehen" -> "Graph"; edge [color = black]; rankdir=LR; "Graph" -> "Term"; } </graphviz>


Physik-Ecke


Experimentier-Ecke

  Aufgabe   Stift.gif

Du hast doch bestimmt einen Zirkel, oder? Genauer gesagt benötigst du nicht den Zirkel, sondern nur die Bleistiftmine für dieses Experiment. Die Mine sollte schräg angefeilt sein. Nimm die Mine aus dem Zirkel und lege sie auf ein Blatt Papier. Wenn du die Mine nun mit einem leichten Druck über das Papier rollst, kannst du den Graphen einer Sinusfunktion erkennen. Diesen kannst du dann gerne noch mit einem Stift nachfahren.


Nun hast du es wirklich geschafft und den ganzen Lernpfad bearbeitet. Du kannst stolz sein - gut gemacht!

Hefteintrag: Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alles Wichtige notiert hast!

Ich wünsche dir noch einen schönen Tag!



Team.gif
Dieser Lernpfad wurde erstellt von:

Silvia Joachim, Karl Haberl und Franz Embacher