Trigonometrische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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Hier sollen sich die Schüler mit der Variation der Parameter von Sinus- und Cosinusfunktionen beschäftigen. Die Schüler sollen die Auswirkungen dieser Variation erarbeiten und anschließend beschreiben können.
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[[Benutzer:Silvia Joachim|<b>Silvia Joachim</b>]], [[Benutzer:Karlo Haberl|<b>Karl Haberl</b>]] und [[Benutzer:Franz Embacher|<b>Franz Embacher</b>]]
  
'''Informationen für den Lehrer:'''
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{{Kasten1000| BREITE =100%|
* Zeitbedarf: etwa 2 Unterrichtsstunden
+
ÜBERSCHRIFT =Über diesen Lernpfad| INHALT1=Hier sollen sich die SchülerInnen mit der Variation von Parametern in Sinus- und Kosinusfunktionen beschäftigen und ihre Auswirkung erarbeiten und beschreiben können.|
* Lehrplanbezug: .....
+
INHALT2=Kompetenzen| INHALT2a='''Das kannst du schon'''
* Arbeitsblätter
+
  
===(Ideen)===
+
*Darstellungsformen von Funktionen
Motivation: Jupitermonde [[http://docs.kde.org/stable/de/kdeedu/kstars/tool-jmoons.html]]
+
*Kenntnis der Auswirkung von Variationen in den Darstellungsformen von linearen und quadratischen Funktionen
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*Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen
  
  
=== Hallo! ===
+
Wenn du die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen und ihrer Graphen wiederholen möchtest, rufe [[Trigonometrische Funktionen/Wiederholung|diese Seite]] auf.
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| INHALT2b='''Das kannst du lernen'''
  
Wäre es nicht toll, wenn Du hellsehen könntest? Wenn Du nur durch "scharfes Hinsehen" erkennen könntest, wie der Graph einer gegeben Funktion aussieht? Ohne Wertetabelle!
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*Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion und umgekehrt.
 +
| INHALT3=Für LehrerInnen:<br />
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[[/Didaktischer Kommentar|Didaktischer Kommentar]]}}
  
Für die linearen und die quadratischen Funktionen beherrscht Du diese Kunst vielleicht schon. Hier lernst Du dies nun für Sinus- und Cosinusfunktionen.
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{{Trigonometrische Funktionen}}
  
Viel Spass!
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{|
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|[[Bild:Hellsehen.jpg|150px]]||
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Hallo! Wäre es nicht toll, wenn du hellsehen könntest? Wenn du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest? Wenn du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen könntest?
  
(Bild mit Kristallkugel fehlt noch)
+
Für die linearen und die [[Trigonometrische_Funktionen/Quadratische Funktionen|quadratischen Funktionen]] beherrschst du diese Kunst wahrscheinlich schon. Dann wirst du vieles von deinem Wissen auf die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion übertragen können.
  
=== Die Sinusfunktion ===
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{{#ev:youtube|nw2Oksmik2A|150}}
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|}
  
Oftmals sieht man auf einem Oszilloskop ein solches Bild:
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{|
[[bild:oszilloskop.jpg|center|500px]]
+
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Was kann man dort ablesen? Wie erhält man aus dem Bild die nötigen Informationen?<br>
+
'''Hinweise:'''
Wie liest man aus der angezeigten Kurve Nullstellen, maximale Amplitude, Abstände, ... ab?
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Um ein solches Bild am Oszilloskop richtig zu interpretieren muss man verschiedene Sinusfunktionen f: x ---> a sin(b*x+c)+d betrachten. Welche Bedeutung haben dort die Parameter a, b, c, d?
+
*Denke bitte daran die Hefteinträge in dein Heft zu übernehmen!
  
In diesem Bild [[bild:sin(2x-2).jpg|center]] sind der Graph der Sinusfunktion (rot) und ein weiterer Graph einer Sinusfunktion (schwarz) zu sehen.<br>
+
*Bei den GeoGebra-Applets ist die <math>\ x</math>-Achse mit Vielfachen von <math> \pi </math> beschriftet. Indem man die <math>\ x</math>-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit'' cm ''umstellen.
Du kennst die Nullstellen der Sinusfunktion. Wo sind sie?<br>
+
 
Stelle in der Zeichnung fest an welchen Stellen der Graph der schwarzen Funktion Nullstellen hat und notiere sie.<br>
+
*Zu den meisten Aufgaben gibt es Lösungen, diese befinden sich am Ende der jeweiligen Seite. Bearbeite zuerst die Aufgaben, mache dir Notizen und vergleiche diese erst zum Schluss mit den Lösungen!
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|
 +
{{#ev:youtube|j3cCtx-bao0|150}}
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|}
  
  
 
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=== Einfluss der Parameter ===
+
{|
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|
 +
Dieser Lernpfad enthält zwei Stationen, die du am besten nacheinander bearbeitest. Klicke dazu einfach auf die gewünschte Station!
  
In der Funktion f: x---> a sin(bx - c) + d sind a, b, c, d Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen.
+
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
 
+
*'''[[Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter|Station 1: Erforsche hier den Einfluss der Parameter auf das Aussehen des Graphen!]]'''
* '''Einfluss von d''': f: x---> sin(x)+d<br>
+
</div>
 
+
<graphviz>
Öffne dieses Applet:
+
digraph G {
 
+
rankdir=RL;
<ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="sin_d.ggb" /> <br>
+
"Term" -> "Graph"[label="                                                       "];
 
+
edge [color = white]; "Term" -> "Hellsehen";
 
+
"Hellsehen" -> "Graph";
 
+
edge [color = black]; rankdir=LR;
Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von d ändern. <br>
+
"Graph" -> "Term"; 
 
+
}
1. Was beobachtest du?<br>
+
</graphviz>
 
+
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
2. Verschiebe den Schieberegler auf d = 1. <br>
+
*'''[[Trigonometrische Funktionen/Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen|Station 2: Erfahre hier, wie du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen kannst - und mehr!]]'''</div>
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Graphen von fest?<br>
+
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Funktionsterms f(x) fest?<br>
+
 
+
3. Bevor du den Wert d = 2 (d = -1, d = 0,5) einstellst, überlege dir, was du mit den Graph der Sinusfunktion machen musst, damit du den Graph von f erhältst? Was ändert sich am Funktionsterm von f?<br>
+
 
+
4. Überlege dir eine Funktionsgleichung, z.B. f(x)= sin(x) + 1,5 und sage zunächst ohne Applet vorher, wie sie aussehen wird. Überprüfe dann durch das Verändern des Parameters d im Applet, ob deine Vorhersage richtig ist.<br>
+
 
+
5. Formuliere dein Ergebnis über den Einfluss von d in f: x---> sin(x)+d<br><br>
+
 
+
''Hefteintrag'' {{versteckt|
+
    [[Bild:sin_d.jpg|center]]
+
Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(x)+d aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch Verschiebung um d in Richtung der y-Achse.
+
}}
+
 
+
 
+
* Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x)+d
+
  
 
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'''Einfluss von c''': f: x---> sin(x-c)<br>
+
===Physik-Ecke===
  
Öffne dieses Applet:  
+
{| border=0
 +
|{{#ev:youtube|jlZ3fCw5m1U|150}}
 +
|rowspan=2 |
 +
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
 +
*'''[[Trigonometrische Funktionen/Anwendungen in der Physik|Lerne hier einige Anwendungen in der Physik kennen!]]'''</div>
 +
|}
  
<ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="sin_c.ggb" /> <br>
+
|
 
+
:{{#ev:youtube|eAKO-C8Duac|150}}
Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von c ändern. <br>
+
|}
 
+
1. Was beobachtest du?<br>
+
 
+
2. Verschiebe den Schieberegler auf c = 1. <br>
+
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Graphen von fest?<br>
+
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Funktionsterms f(x) fest?<br>
+
 
+
3. Bevor du den Wert c = 2 (c = -1, c = 0,5, c = PI/2) einstellst, überlege dir, was du mit den Graph der Sinusfunktion machen musst, damit du den Graph von f erhältst? Was ändert sich am Funktionsterm von f?<br>
+
 
+
4. Überlege dir eine Funktionsgleichung, z.B. f(x)= sin(x-1,5) und sage zunächst ohne Applet vorher, wie sie aussehen wird. Überprüfe dann durch das Verändern des Parameters c im Applet, ob deine Vorhersage richtig ist.<br>
+
 
+
5. Formuliere dein Ergebnis über den Einfluss von c in f: x---> sin(x-c)<br><br>
+
 
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''Hefteintrag'' {{versteckt|
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    [[Bild:sin_c.jpg|center]]
+
Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(x-c) aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch Verschiebung um c in Richtung der x-Achse.
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}}
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Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x-c)
+
  
 
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[http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr5.html Hier] kannst beide Parameter c und d durch Verschieben des Graphen ändern und die Auswirkung auf den Funktionsterm betrachten.
+
===Experimentier-Ecke===
 
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Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x-c)+d
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'''Einfluss von b''': f: x---> sin(bx)<br>
+
 
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Öffne dieses Applet:
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<ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="sin_b.ggb" /><br>
+
 
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Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von b ändern. <br>
+
 
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1. Was beobachtest du?<br>
+
 
+
2. Verschiebe den Schieberegler auf b = 2. <br>
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Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Graphen von fest?<br>
+
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Funktionsterms f(x) fest?<br>
+
 
+
3. Bevor du den Wert b = 3 (b = -1, b = 0,5) einstellst, überlege dir, was du mit den Graph der Sinusfunktion machen musst, damit du den Graph von f erhältst? Was ändert sich am Funktionsterm von f?<br>
+
 
+
4. Überlege dir eine Funktionsgleichung, z.B. f(x)= sin(1,5 x) und sage zunächst ohne Applet vorher, wie sie aussehen wird. Überprüfe dann durch das Verändern des Parameters b im Applet, ob deine Vorhersage richtig ist.<br>
+
 
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5. Formuliere dein Ergebnis über den Einfluss von b in f: x---> sin(bx)<br><br>
+
 
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''Hefteintrag'' {{versteckt|
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    [[Bild:sin_b.jpg|center]]
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Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(bx) aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch
+
 
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b > 1: Stauchung in x-Richtung
+
 
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0 < b < 1 Streckung in x-Richtung
+
  
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{|
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{{Arbeit|ARBEIT=
 +
Du hast doch bestimmt einen Zirkel, oder? Genauer gesagt benötigst du nicht den Zirkel, sondern nur die Bleistiftmine für dieses Experiment. Die Mine sollte schräg angefeilt sein. Nimm die Mine aus dem Zirkel und lege sie auf ein Blatt Papier. Wenn du die Mine nun mit einem leichten Druck über das Papier rollst, kannst du den Graphen einer Sinusfunktion erkennen. Diesen kannst du dann gerne noch mit einem Stift nachfahren.
 
}}
 
}}
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|{{#ev:youtube|UfDOp2oE7-k|150}}||
  
 
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|}
Bei negativem b (b < 0) ist wegen sin(-x) = - sin(x) der Einfluss von a als Spiegeln an der x-Achse zu berücksichtigen!
+
 
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Übertrage deine Ergebnisse auf cos(bx)
+
  
 
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Nun hast du es wirklich geschafft und den ganzen Lernpfad bearbeitet. Du kannst stolz sein - gut gemacht!
  
'''Einfluss von a''': f: x---> a sin(x)<br>
+
<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alles Wichtige notiert hast!
  
Öffne dieses Applet:
+
Ich wünsche dir noch einen schönen Tag!
 
+
||{{#ev:youtube|nbT16tnv2V4|150}}
<ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="sin_a.ggb" /> <br>
+
|}
 
+
Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von a ändern. <br>
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1. Was beobachtest du?<br>
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2. Verschiebe den Schieberegler auf a = 2. <br>
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Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Graphen von fest?<br>
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Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Funktionsterms f(x) fest?<br>
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3. Bevor du den Wert a = 3 (a = -1, a = 0,5) einstellst, überlege dir, was du mit den Graph der Sinusfunktion machen musst, damit du den Graph von f erhältst? Was ändert sich am Funktionsterm von f?<br>
+
 
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4. Überlege dir eine Funktionsgleichung, z.B. f(x)= 1,5 sin(x) und sage zunächst ohne Applet vorher, wie sie aussehen wird. Überprüfe dann durch das Verändern des Parameters a im Applet, ob deine Vorhersage richtig ist.<br>
+
 
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5. Formuliere dein Ergebnis über den Einfluss von a in f: x---> a sin(x)<br><br>
+
 
+
 
+
 
+
''Hefteintrag'' {{versteckt|
+
Man erhält den Graph der Funktion f: x---> a sin(x) aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch
+
[[Bild:sin_a+.jpg|center]]
+
a > 0: Multiplikation aller Werte mit dem Faktor a, also für
+
 
+
0 < a < 1: Stauchung um den Faktor a
+
 
+
1 < a: Streckung um den Faktor a
+
 
+
Für negative a (a < 0) muss man den Graph noch an der x-Achse spiegeln.
+
[[Bild:sin_a-.jpg|center]]
+
 
+
}}
+
 
+
 
+
Übertrage deine Ergebnisse auf  a cos(x)
+
  
 
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=== Zusammenfassung ===
 
  
In diesem [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr10.html Arbeitsblatt] variierst du durch Schieberegler die verschiedenen Parameter. Beobachte die Auswirkung auf den Graphen. Bearbeite auch die darunter gestellten Aufgaben.
+
{{Autoren|[[Benutzer:Silvia Joachim|<b>Silvia Joachim</b>]], [[Benutzer:Karlo Haberl|<b>Karl Haberl</b>]] und [[Benutzer:Franz Embacher|<b>Franz Embacher</b>]]}}
  
Finde zu den Graphen auf diesem [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr11.html Arbeitsblatt] die zugehörigen Funktionsterme.
 
 
Was fällt auf, wenn du [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr10.html hier] für b > 1 den Parameter c änderst?<br>
 
In dem Applet auf [http://www.gymnasium-walldorf.de/mathematik/trigo_otto/trigo.html dieser Seite] werden die Parameter b und c anders verwendet. Finde den Unterschied zu den bisherigen Betrachtungen heraus.
 
 
Übertrage deine Ergebnisse auf a cos(bx-c)+d beziehungsweise a cos[b(x-c)]+d
 
  
 
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=== Zum Schluss noch was zum Knobeln!!! ===
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[[Kategorie:Trigonometrische Funktionen|!]]
 
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'''Anwendungen:'''
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* In dem Applet auf dieser [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/wellen/welle1.html Seite] ist die Entstehung einer Schwingung dargestellt. Mit dem Schieberegler für t kannst du die Schwingung darstellen. Überlege dir die gestellten Aufgaben und finde dann mit den angegebenen Größen y_max und T einen Funktionsterm für die zugehörige Sinusschwingung.
+
 
+
* In dem Applet auf diesem [http://www.geogebra.org/de/examples/fourier/Arbeitsblaetter/1_sinusschwingung-allg.html Arbeitsblatt] werden die Parameter einer Sinusschwingung aus der Physik behandelt. Welche Parameter a,b,c,d entsprechen welchen physikalischen Größen a, f, phi_0?
+
 
+
* Finde zu den Parametern a, b, c, d aus diesem [http://www.mathe-online.at/lernpfade/harmonischeSchwingung/entsprechenden Arbeitsblatt] zur harmonischen Schwingung deren entsprechende Größen.
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=== Teste Dich! ===
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..............
+
 
+
  
Super! Nun hast Du es geschafft und das Ende des Lernpfades erreicht.
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[[zum-wiki:Trigonometrische Funktionen]]

Aktuelle Version vom 3. Juli 2016, 12:35 Uhr

Silvia Joachim, Karl Haberl und Franz Embacher

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Über diesen Lernpfad

Hier sollen sich die SchülerInnen mit der Variation von Parametern in Sinus- und Kosinusfunktionen beschäftigen und ihre Auswirkung erarbeiten und beschreiben können.

Kompetenzen

Das kannst du schon

  • Darstellungsformen von Funktionen
  • Kenntnis der Auswirkung von Variationen in den Darstellungsformen von linearen und quadratischen Funktionen
  • Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen


Wenn du die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen und ihrer Graphen wiederholen möchtest, rufe diese Seite auf.

Das kannst du lernen

  • Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion und umgekehrt.
  Pfeil.gif Für LehrerInnen:

Didaktischer Kommentar

Einführung - Einfluss der Parameter - Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr - Anwendungen in der Physik

Hellsehen.jpg

Hallo! Wäre es nicht toll, wenn du hellsehen könntest? Wenn du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest? Wenn du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen könntest?

Für die linearen und die quadratischen Funktionen beherrschst du diese Kunst wahrscheinlich schon. Dann wirst du vieles von deinem Wissen auf die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion übertragen können.

Hinweise:

  • Denke bitte daran die Hefteinträge in dein Heft zu übernehmen!
  • Bei den GeoGebra-Applets ist die \ x-Achse mit Vielfachen von  \pi beschriftet. Indem man die \ x-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit cm umstellen.
  • Zu den meisten Aufgaben gibt es Lösungen, diese befinden sich am Ende der jeweiligen Seite. Bearbeite zuerst die Aufgaben, mache dir Notizen und vergleiche diese erst zum Schluss mit den Lösungen!



Dieser Lernpfad enthält zwei Stationen, die du am besten nacheinander bearbeitest. Klicke dazu einfach auf die gewünschte Station!

<graphviz> digraph G { rankdir=RL; "Term" -> "Graph"[label=" "]; edge [color = white]; "Term" -> "Hellsehen"; "Hellsehen" -> "Graph"; edge [color = black]; rankdir=LR; "Graph" -> "Term"; } </graphviz>


Physik-Ecke


Experimentier-Ecke

  Aufgabe   Stift.gif

Du hast doch bestimmt einen Zirkel, oder? Genauer gesagt benötigst du nicht den Zirkel, sondern nur die Bleistiftmine für dieses Experiment. Die Mine sollte schräg angefeilt sein. Nimm die Mine aus dem Zirkel und lege sie auf ein Blatt Papier. Wenn du die Mine nun mit einem leichten Druck über das Papier rollst, kannst du den Graphen einer Sinusfunktion erkennen. Diesen kannst du dann gerne noch mit einem Stift nachfahren.


Nun hast du es wirklich geschafft und den ganzen Lernpfad bearbeitet. Du kannst stolz sein - gut gemacht!

Hefteintrag: Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alles Wichtige notiert hast!

Ich wünsche dir noch einen schönen Tag!



Team.gif
Dieser Lernpfad wurde erstellt von:

Silvia Joachim, Karl Haberl und Franz Embacher