Trigonometrische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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K (Einfluss der Parameter bei der Sinusfunktion)
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{{Information| TITEL = '''Informationen für den Lehrer:'''| INFO = Hier sollen sich die Schüler mit der Variation von Parametern in Sinus- und Kosinusfunktionen beschäftigen und deren Auswirkungen erarbeiten und beschreiben können.
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[[Benutzer:Silvia Joachim|<b>Silvia Joachim</b>]], [[Benutzer:Karlo Haberl|<b>Karl Haberl</b>]] und [[Benutzer:Franz Embacher|<b>Franz Embacher</b>]]
  
* Zeitbedarf: etwa 2 Unterrichtsstunden
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{{Kasten1000| BREITE =100%|
 
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ÜBERSCHRIFT =Über diesen Lernpfad| INHALT1=Hier sollen sich die SchülerInnen mit der Variation von Parametern in Sinus- und Kosinusfunktionen beschäftigen und ihre Auswirkung erarbeiten und beschreiben können.|
Bekannt ist:
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INHALT2=Kompetenzen| INHALT2a='''Das kannst du schon'''
  
 
*Darstellungsformen von Funktionen
 
*Darstellungsformen von Funktionen
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*Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen
 
*Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen
  
Ziele:
 
  
*Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion, und umgekehrt.  
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Wenn du die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen und ihrer Graphen wiederholen möchtest, rufe [[Trigonometrische Funktionen/Wiederholung|diese Seite]] auf.  
*Unterschiedliche Variablenbezeichnungen identifizieren können
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| INHALT2b='''Das kannst du lernen'''
}}
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*Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion und umgekehrt.
=== Hallo! ===
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| INHALT3=Für LehrerInnen:<br />
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[[/Didaktischer Kommentar|Didaktischer Kommentar]]}}
  
Wäre es nicht toll, wenn Du hellsehen könntest? Wenn Du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest?
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{{Trigonometrische Funktionen}}
  
Für die linearen und die quadratischen Funktionen beherrscht Du diese Kunst wahrscheinlich schon. Dann wirst Du vieles von Deinem Wissen auf die Sinus- und Cosinusfunktion übertragen können.
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|[[Bild:Hellsehen.jpg|150px]]||
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Hallo! Wäre es nicht toll, wenn du hellsehen könntest? Wenn du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest? Wenn du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen könntest?
  
Viel Spass!
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Für die linearen und die [[Trigonometrische_Funktionen/Quadratische Funktionen|quadratischen Funktionen]] beherrschst du diese Kunst wahrscheinlich schon. Dann wirst du vieles von deinem Wissen auf die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion übertragen können.
  
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{{#ev:youtube|nw2Oksmik2A|150}}
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Mit der Geburt beginnen beim Menschen aktive und passive Phasen, die den körperlichen, seelischen und geistigen Bereich betreffen. Sie treten zyklisch immer wiederkehrend auf. Diese Zyklen heißen [http://www.tay-tec.de/biorhythm/biorhythm-applet.de.html Biorythmen]. Wir wollen nur untersuchen, wie man solch unterschiedliche Graphen mathematisch mit Hilfe von Parametern darstellen kann.
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'''Hinweise:'''
  
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*Denke bitte daran die Hefteinträge in dein Heft zu übernehmen!
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*Bei den GeoGebra-Applets ist die <math>\ x</math>-Achse mit Vielfachen von <math> \pi </math> beschriftet. Indem man die <math>\ x</math>-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit'' cm ''umstellen.
  
=== Einfluss der Parameter bei der Sinusfunktion ===
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*Zu den meisten Aufgaben gibt es Lösungen, diese befinden sich am Ende der jeweiligen Seite. Bearbeite zuerst die Aufgaben, mache dir Notizen und vergleiche diese erst zum Schluss mit den Lösungen!
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{{#ev:youtube|j3cCtx-bao0|150}}
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|}
  
In der Funktion <math> f(x) = a\cdot \sin ( b\cdot x + c ) + d </math> sind <math>\ a,b,c,d </math> Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Im Folgenden seien <math>\ a,b,c,d \in \R </math> und <math>a,b\neq 0</math>.
 
  
''Hinweis: Bei den GeoGebra-Applets ist die x-Achse in Einheiten von <math> \pi </math> beschriftet. Indem man die x-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit'' 1 ''umstellen.''
 
 
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==== Einfluss von a ====
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Dieser Lernpfad enthält zwei Stationen, die du am besten nacheinander bearbeitest. Klicke dazu einfach auf die gewünschte Station!
  
'''Einfluss von a''': f: x---> a sin(x)<br>
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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
 
+
*'''[[Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter|Station 1: Erforsche hier den Einfluss der Parameter auf das Aussehen des Graphen!]]'''
Öffne dieses Applet:
+
</div>
 
+
<graphviz>
<ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="sin_a.ggb" /> <br>
+
digraph G {
 
+
rankdir=RL;
Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von a ändern. <br>
+
"Term" -> "Graph"[label="                                                       "];
 
+
edge [color = white]; "Term" -> "Hellsehen";
1. Was beobachtest du?<br>
+
"Hellsehen" -> "Graph";
 
+
edge [color = black]; rankdir=LR;
2. Verschiebe den Schieberegler auf a = 2. <br>
+
"Graph" -> "Term"; 
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Graphen von fest?<br>
+
}
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Funktionsterms f(x) fest?<br>
+
</graphviz>
 
+
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
3. Bevor du den Wert a = 3 (a = -1, a = 0,5) einstellst, überlege dir, was du mit den Graph der Sinusfunktion machen musst, damit du den Graph von f erhältst? Was ändert sich am Funktionsterm von f?<br>
+
*'''[[Trigonometrische Funktionen/Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen|Station 2: Erfahre hier, wie du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen kannst - und mehr!]]'''</div>
 
+
4. Überlege dir eine Funktionsgleichung, z.B. f(x)= 1,5 sin(x) und sage zunächst ohne Applet vorher, wie sie aussehen wird. Überprüfe dann durch das Verändern des Parameters a im Applet, ob deine Vorhersage richtig ist.<br>
+
 
+
5. Formuliere dein Ergebnis über den Einfluss von a in f: x---> a sin(x)<br><br>
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''Hefteintrag'' {{versteckt|
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Man erhält den Graph der Funktion f: x---> a sin(x) aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch
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[[Bild:sin_a+.jpg|center]]
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a > 0: Multiplikation aller Werte mit dem Faktor a, also für
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0 < a < 1: Stauchung um den Faktor a
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1 < a: Streckung um den Faktor a
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Für negative a (a < 0) muss man den Graph noch an der x-Achse spiegeln.
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[[Bild:sin_a-.jpg|center]]
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}}
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Übertrage deine Ergebnisse auf  a cos(x)
+
  
 
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'''Einfluss von b''': f: x---> sin(bx)<br>
+
===Physik-Ecke===
  
Öffne dieses Applet:  
+
{| border=0
 +
|{{#ev:youtube|jlZ3fCw5m1U|150}}
 +
|rowspan=2 |
 +
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
 +
*'''[[Trigonometrische Funktionen/Anwendungen in der Physik|Lerne hier einige Anwendungen in der Physik kennen!]]'''</div>
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|}
  
<ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="sin_b.ggb" /><br>
+
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:{{#ev:youtube|eAKO-C8Duac|150}}
Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von b ändern. <br>
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|}
 
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1. Was beobachtest du?<br>
+
 
+
2. Verschiebe den Schieberegler auf b = 2. <br>
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Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Graphen von fest?<br>
+
Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Funktionsterms f(x) fest?<br>
+
 
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3. Bevor du den Wert b = 3 (b = -1, b = 0,5) einstellst, überlege dir, was du mit den Graph der Sinusfunktion machen musst, damit du den Graph von f erhältst? Was ändert sich am Funktionsterm von f?<br>
+
 
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4. Überlege dir eine Funktionsgleichung, z.B. f(x)= sin(1,5 x) und sage zunächst ohne Applet vorher, wie sie aussehen wird. Überprüfe dann durch das Verändern des Parameters b im Applet, ob deine Vorhersage richtig ist.<br>
+
 
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5. Formuliere dein Ergebnis über den Einfluss von b in f: x---> sin(bx)<br><br>
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''Hefteintrag'' {{versteckt|
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    [[Bild:sin_b.jpg|center]]
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Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(bx) aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch
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b > 1: Stauchung in x-Richtung
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0 < b < 1 Streckung in x-Richtung
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}}
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Bei negativem b (b < 0) ist wegen sin(-x) = - sin(x) der Einfluss von a als Spiegeln an der x-Achse zu berücksichtigen!
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Übertrage deine Ergebnisse auf cos(bx)
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'''Einfluss von c''': f: x---> sin(x+c)<br>
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===Experimentier-Ecke===
  
Öffne dieses Applet:
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<ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="sin_c.ggb" /> <br>
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{{Arbeit|ARBEIT=
 
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Du hast doch bestimmt einen Zirkel, oder? Genauer gesagt benötigst du nicht den Zirkel, sondern nur die Bleistiftmine für dieses Experiment. Die Mine sollte schräg angefeilt sein. Nimm die Mine aus dem Zirkel und lege sie auf ein Blatt Papier. Wenn du die Mine nun mit einem leichten Druck über das Papier rollst, kannst du den Graphen einer Sinusfunktion erkennen. Diesen kannst du dann gerne noch mit einem Stift nachfahren.
Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von c ändern. <br>
+
 
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1. Was beobachtest du?<br>
+
 
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2. Verschiebe den Schieberegler auf c = 1. <br>
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Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Graphen von fest?<br>
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Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Funktionsterms f(x) fest?<br>
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3. Bevor du den Wert c = 2 (c = -1, c = 0,5, c = PI/2) einstellst, überlege dir, was du mit den Graph der Sinusfunktion machen musst, damit du den Graph von f erhältst? Was ändert sich am Funktionsterm von f?<br>
+
 
+
4. Überlege dir eine Funktionsgleichung, z.B. f(x)= sin(x-1,5) und sage zunächst ohne Applet vorher, wie sie aussehen wird. Überprüfe dann durch das Verändern des Parameters c im Applet, ob deine Vorhersage richtig ist.<br>
+
 
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5. Formuliere dein Ergebnis über den Einfluss von c in f: x---> sin(x+c)<br><br>
+
 
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''Hefteintrag'' {{versteckt|
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    [[Bild:sin_c.jpg|center]]
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Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(x-c) aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch Verschiebung um -c in Richtung der x-Achse.
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Beachte dabei:
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Ist c > 0, so verschiebe um den Betrag von c nach links entlang der x-Achse;
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ist c < 0, so verschiebe um den Betrag von c nach rechts entlang der x-Achse.
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}}
 
}}
 +
|{{#ev:youtube|UfDOp2oE7-k|150}}||
  
 
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|}
Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x+c)
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* '''Einfluss von d''': f: x---> sin(x)+d<br>
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Nun hast du es wirklich geschafft und den ganzen Lernpfad bearbeitet. Du kannst stolz sein - gut gemacht!
  
Öffne dieses Applet:  
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<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alles Wichtige notiert hast!
  
<ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="sin_d.ggb" /> <br>
+
Ich wünsche dir noch einen schönen Tag!
 
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||{{#ev:youtube|nbT16tnv2V4|150}}
 
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|}
 
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Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von d ändern. <br>
+
 
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1. Was beobachtest du?<br>
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2. Verschiebe den Schieberegler auf d = 1. <br>
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Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Graphen von fest?<br>
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Welchen Unterschied stellst du beim Aussehen des Funktionsterms f(x) fest?<br>
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3. Bevor du den Wert d = 2 (d = -1, d = 0,5) einstellst, überlege dir, was du mit den Graph der Sinusfunktion machen musst, damit du den Graph von f erhältst? Was ändert sich am Funktionsterm von f?<br>
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4. Überlege dir eine Funktionsgleichung, z.B. f(x)= sin(x) + 1,5 und sage zunächst ohne Applet vorher, wie sie aussehen wird. Überprüfe dann durch das Verändern des Parameters d im Applet, ob deine Vorhersage richtig ist.<br>
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+
5. Formuliere dein Ergebnis über den Einfluss von d in f: x---> sin(x)+d<br><br>
+
 
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''Hefteintrag'' {{versteckt|
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    [[Bild:sin_d.jpg|center]]
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Man erhält den Graph der Funktion f: x---> sin(x)+d aus dem Graph der Sinusfunktion sin durch Verschiebung um d in Richtung der y-Achse.
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}}
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* Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x)+d
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[http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr5.html Hier] kannst beide Parameter c und d von sin(x+c)+d durch Verschieben des Graphen ändern und die Auswirkung auf den Funktionsterm betrachten.
 
  
Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x+c)+d
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{{Autoren|[[Benutzer:Silvia Joachim|<b>Silvia Joachim</b>]], [[Benutzer:Karlo Haberl|<b>Karl Haberl</b>]] und [[Benutzer:Franz Embacher|<b>Franz Embacher</b>]]}}
  
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=== Zusammenfassung ===
 
 
In diesem [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr10.html Arbeitsblatt] variierst du durch Schieberegler die verschiedenen Parameter. Beobachte die Auswirkung auf den Graphen. Bearbeite auch die darunter gestellten Aufgaben.
 
 
Finde zu den Graphen auf diesem [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr11.html Arbeitsblatt] die zugehörigen Funktionsterme.
 
 
Was fällt auf, wenn du [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr10.html hier] für b > 1 den Parameter c änderst?<br>
 
In dem Applet auf [http://www.gymnasium-walldorf.de/mathematik/trigo_otto/trigo.html dieser Seite] werden die Parameter b und c anders verwendet. Finde den Unterschied zu den bisherigen Betrachtungen heraus.
 
 
Übertrage deine Ergebnisse auf a cos(bx+c)+d beziehungsweise a cos[b(x+c)]+d
 
  
 
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=== Zum Schluss noch was zum Knobeln!!! ===
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[[Kategorie:Trigonometrische Funktionen|!]]
 
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'''Anwendungen:'''
+
 
+
* In dem Applet auf dieser [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/wellen/welle1.html Seite] wird gezeigt, wie man eine Schwingung darstellen kann. Mit dem Schieberegler für t kannst du die Schwingung darstellen. Überlege dir die gestellten Aufgaben und finde dann mit den angegebenen Größen y_max und T einen Funktionsterm für die zugehörige Sinusschwingung.
+
 
+
* In dem Applet auf diesem [http://www.geogebra.org/de/examples/fourier/Arbeitsblaetter/1_sinusschwingung-allg.html Arbeitsblatt] werden die Parameter einer Sinusschwingung aus der Physik behandelt. Welche Parameter a,b,c,d entsprechen welchen physikalischen Größen a, f, phi_0?
+
 
+
* In diesem [http://www.mathe-online.at/lernpfade/harmonischeSchwingung/ Lernpfad] zur harmonischen Schwingung findest du als Lernschritt 8 eine Aufgabe. Kannst du sie lösen? Fertige eine Zeichnung an! Finde die entsprechenden Größen a,b,c,d von a sin(b x - c)+d?
+
 
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=== Teste Dich! ===
+
 
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..............
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<quiz display="simple">
+
{Vergrößert <math>\uparrow</math> oder verkleinert <math>\downarrow</math> man den Wert einer Variablen der Funktion <math> f(x) = a\cdot \sin ( b\cdot x + c ) + d</math> mit <math>\ a,b,c,d \in \R </math> und <math>a,b\neq 0</math>, so bewirkt dies eine Änderung des Graphen.
+
 
+
Klicke auf die richtigen Zuordnungen!}
+
| <math>\uparrow</math> | <math>\downarrow</math> | <math> \ a<0 </math> | <math>\ 0<a<1</math> | <math>\ 1<a</math> | <math>\ b<0</math> | <math>\ 0<b<1</math> | <math>\ 1<b</math>
+
| <math>\ c<0</math> | <math>\ 0<c<1</math> | <math>\ 1<c</math>
+
| <math>\ d<0</math> | <math>\ 0<d<1</math> | <math>\ 1<d</math>
+
--------- Verschiebung nach oben
+
---------Verschiebung nach unten
+
--------- Verschiebung nach rechts
+
--------- Verschiebung nach links
+
--------- Streckung in x-Richtung / Verkleinerung der Frequenz
+
--------- Stauchung in x-Richtung / Vergrößerung der Frequenz
+
--------- Streckung in y-Richtung / Vergrößerung der Amplitude
+
--------- Stauchung in y-Richtung / Verkleinerung der Amplitude
+
--------- Spiegelung an x-Achse
+
--------- Spiegelung an y-Achse
+
</quiz>
+
 
+
 
+
Super! Nun hast Du es geschafft und das Ende des Lernpfades erreicht.
+
 
+
=== Aufgaben ===
+
 
+
* Auf einem Oszilloskop sieht man folgendes Bild:
+
[[bild:oszilloskop.jpg|center|500px]]
+
Was kann man dort ablesen? Wie erhält man aus dem Bild die nötigen Informationen?<br>
+
Wie liest man aus der angezeigten Kurve Nullstellen, maximale Amplitude, Abstände, ... ab?
+
  
* In diesem Bild [[bild:sin(2x-2).jpg|center]] sind der Graph der Sinusfunktion (rot) und ein weiterer Graph einer Sinusfunktion (schwarz) zu sehen.<br>
+
[[zum-wiki:Trigonometrische Funktionen]]
Du kennst die Nullstellen der Sinusfunktion. Wo sind sie?<br>
+
Stelle in der Zeichnung fest an welchen Stellen der Graph der schwarzen Funktion Nullstellen hat und notiere sie.<br>
+
Wo hat der Graph der schwarzen Funktion Hochpunkte/Tiefpunkte?<br>
+
Wo ist er streng monoton fallend/steigend?
+

Aktuelle Version vom 3. Juli 2016, 12:35 Uhr

Silvia Joachim, Karl Haberl und Franz Embacher

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Über diesen Lernpfad

Hier sollen sich die SchülerInnen mit der Variation von Parametern in Sinus- und Kosinusfunktionen beschäftigen und ihre Auswirkung erarbeiten und beschreiben können.

Kompetenzen

Das kannst du schon

  • Darstellungsformen von Funktionen
  • Kenntnis der Auswirkung von Variationen in den Darstellungsformen von linearen und quadratischen Funktionen
  • Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen


Wenn du die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen und ihrer Graphen wiederholen möchtest, rufe diese Seite auf.

Das kannst du lernen

  • Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion und umgekehrt.
  Pfeil.gif Für LehrerInnen:

Didaktischer Kommentar

Einführung - Einfluss der Parameter - Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr - Anwendungen in der Physik

Hellsehen.jpg

Hallo! Wäre es nicht toll, wenn du hellsehen könntest? Wenn du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest? Wenn du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen könntest?

Für die linearen und die quadratischen Funktionen beherrschst du diese Kunst wahrscheinlich schon. Dann wirst du vieles von deinem Wissen auf die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion übertragen können.

Hinweise:

  • Denke bitte daran die Hefteinträge in dein Heft zu übernehmen!
  • Bei den GeoGebra-Applets ist die \ x-Achse mit Vielfachen von  \pi beschriftet. Indem man die \ x-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit cm umstellen.
  • Zu den meisten Aufgaben gibt es Lösungen, diese befinden sich am Ende der jeweiligen Seite. Bearbeite zuerst die Aufgaben, mache dir Notizen und vergleiche diese erst zum Schluss mit den Lösungen!



Dieser Lernpfad enthält zwei Stationen, die du am besten nacheinander bearbeitest. Klicke dazu einfach auf die gewünschte Station!

<graphviz> digraph G { rankdir=RL; "Term" -> "Graph"[label=" "]; edge [color = white]; "Term" -> "Hellsehen"; "Hellsehen" -> "Graph"; edge [color = black]; rankdir=LR; "Graph" -> "Term"; } </graphviz>


Physik-Ecke


Experimentier-Ecke

  Aufgabe   Stift.gif

Du hast doch bestimmt einen Zirkel, oder? Genauer gesagt benötigst du nicht den Zirkel, sondern nur die Bleistiftmine für dieses Experiment. Die Mine sollte schräg angefeilt sein. Nimm die Mine aus dem Zirkel und lege sie auf ein Blatt Papier. Wenn du die Mine nun mit einem leichten Druck über das Papier rollst, kannst du den Graphen einer Sinusfunktion erkennen. Diesen kannst du dann gerne noch mit einem Stift nachfahren.


Nun hast du es wirklich geschafft und den ganzen Lernpfad bearbeitet. Du kannst stolz sein - gut gemacht!

Hefteintrag: Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alles Wichtige notiert hast!

Ich wünsche dir noch einen schönen Tag!



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Dieser Lernpfad wurde erstellt von:

Silvia Joachim, Karl Haberl und Franz Embacher