Trigonometrische Funktionen

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Inhaltsverzeichnis

Hellsehen

Wäre es nicht toll, wenn du hellsehen könntest? Wenn du den Graphen eines Funktionsterms auch ohne Wertetabelle direkt zeichnen könntest? Wenn du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen könntest?

Für die linearen und die quadratischen Funktionen beherrscht du diese Kunst wahrscheinlich schon. Dann wirst du vieles von Deinem Wissen auf die allgemeine Sinus- und Cosinusfunktion übertragen können.


Einfluss der Parameter bei der allgemeinen Sinus- und Kosinusfunktion

Wiederholung:

Hefteintrag: Am besten verwendest du hierfür dein Heft im Querformat. Formuliere eine Überschrift und übernehme alle mit gelb gekennzeichneten Texte. Natürlich darfst du dir aber auch noch zusätzlich Notizen machen.


Maehnrot.jpg
Merke:

Die allgemeine Sinusfunktion lautet

  x\rightarrow a\cdot\sin(b\cdot x+c)+d  .

Entsprechend lautet die allgemeine Kosinusfunktion

  x \rightarrow a\cdot \cos ( b\cdot x + c ) + d  .

Dabei sind \ a,b,c,d Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Im Folgenden seien \ a,b,c,d \in \R und a,b\neq 0.

 \rightarrow Hinweis: Bei den GeoGebra-Applets ist die \ x-Achse mit Vielfachen von  \pi beschriftet. Indem man die \ x-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit cm umstellen.


Arbeiten in Expertenteams

{{{1}}}


Einfluss von  \ a Einfluss von  \ b Einfluss von  \ c Einfluss von  \ d

Untersuche hier den Einfluss von

 \ a

auf den Graph der Funktion

 x \rightarrow a\cdot \sin x  .

Untersuche hier den Einfluss von

 \ b

auf den Graph der Funktion

 x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) .

Untersuche hier den Einfluss von

 \ c

auf den Graph der Funktion

 x \rightarrow \sin ( x + c ) .

Untersuche hier den Einfluss von

 \ d

auf den Graph der Funktion

 x \rightarrow \sin x + d .

Arbeiten in Expertenteams

{{{1}}}

Sinus und Kosinus

  Aufgabe   Stift.gif

Wie hängen die Sinus- und die Kosinusfunktion zusammen? Erstelle die Graphen der Funktionen \,\!\sin(x+\frac{\pi}{2}) und \,\!\cos(x) und betrachte sie! Was fällt dir auf?

Lösung:

Ja genau, die Graphen der beiden Funktionen sind identisch. Genauer gesagt:

Maehnrot.jpg
Merke:

Man erhält den Graphen der Kosinusfunktion indem man den Graphen der Sinusfunktion um \frac{\pi}{2} nach links verschiebt.

Deshalb verhält sich die allgemeine Kosinusfunktion bei Variation ihrer Parameter genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.


Jetzt noch was zum Knobeln!!!

Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen heraus gefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.


  Aufgabe   Stift.gif
  1. In diesem Arbeitsblatt kannst du die verschiedenen Parameter variieren und die Auswirkungen auf den Graphen beobachten. Bearbeite auch die darunter gestellten Aufgaben.
  2. Funktionen erkennen
  3. Graphen erkennen

Der Biorhythmus

Mit der Geburt beginnen beim Menschen aktive und passive Phasen, die den körperlichen, seelischen und geistigen Bereich betreffen. Sie treten zyklisch immer wiederkehrend auf. Diese Zyklen heißen Biorythmen.

Auf dieser Seite kannst du dir deinen persönlichen Biorythmus angeben lassen.

  • Du kennst nun a sin(bx+c)+d. Hier kann man a = 1 und d = 0 setzen. Was weißt du nun von b und c?
  • Bestimme für die deine drei Phasen jeweils b und c. Der blaue senkrechte "Heute"-Strich entspricht der y-Achse.

Vorgehen zur Bestimmung eines Funktionsterms aus dem Graphen (fehlt noch Bsp)

 x\rightarrow a\cdot\sin(b\cdot x+c)+d lässt sich umformen zu  x\rightarrow a\cdot\sin \left(b\cdot \left(x+\frac{c}{b}\right)\right)+d

1. Bestimmung von \ d

Zeichne die waagrechte Symmetrieachse des Graphen ein. Deren \ y-Wert liefert \ d.

2. Bestimmung von \ a

Lies die Amplitude des Graphen ab, also den größt möglichen Abstand des Graphen von der Symmetrieachse. \ a ist genauso groß, wie dieser Abstand.

3. Bestimmung von \ b

Bestimme die \ x-Koordinaten von zwei beliebigen, aber benachbarten Schnittpunkten des Graphen mit der Symmetrieachse. Berechne deren Abstand. Der doppelte Abstand ergibt die Periodenlänge. Du erhälst \ b, indem Du 2\pi durch die Periodenlänge teilst.

4. Bestimmung von \frac{c}{b}

Du erhälst \frac{c}{b} in dem du die \ x-Koordinate eines Schnittpunktes, in dem der Graph steigt, mal -1 nimmst.

5. Bestimmung der Funktionsgleichung

Nun musst Du nur noch ausmultiplizieren.

Anwendungen in der Physik

Wiederholung: Frequenz und Amplitude

Oszilloskop.jpg
  Aufgabe   Stift.gif

Auf einem Oszilloskop sieht man obiges Bild.

  • Was kann man dort ablesen?
  • Wie erhält man aus dem Bild die nötigen Informationen?
  • Wie liest man aus der angezeigten Kurve Nullstellen, maximale Amplitude, Abstände, ... ab?
  1. In dem Applet auf dieser Seite wird gezeigt, wie man eine Schwingung darstellen kann. Mit dem Schieberegler für t kannst du die Schwingung darstellen. Überlege dir die gestellten Aufgaben und finde dann mit den angegebenen Größen y_max und T einen Funktionsterm für die zugehörige Sinusschwingung.
  2. In dem Applet auf diesem Arbeitsblatt werden die Parameter einer Sinusschwingung aus der Physik behandelt. Welche Parameter a,b,c,d entsprechen welchen physikalischen Größen a, f, phi_0?
  3. In diesem Lernpfad zur harmonischen Schwingung findest du als Lernschritt 8 eine Aufgabe. Kannst du sie lösen? Fertige eine Zeichnung an! Finde die entsprechenden Größen a,b,c,d von a sin(b x - c)+d?

Zusatzaufgaben

(Diese Aufgabe wird evtl. entsprechend umformuliert)

  Aufgabe   Stift.gif

In dem unteren Bild sind der Graph der Sinusfunktion (rot) und ein weiterer Graph einer Sinusfunktion (schwarz) zu sehen.

  • Du kennst die Nullstellen der Sinusfunktion. Wo sind sie?
  • Stelle in der Zeichnung fest an welchen Stellen der Graph der schwarzen Funktion Nullstellen hat und notiere sie.
  • Wo hat der Graph der schwarzen Funktion Hochpunkte/Tiefpunkte?
  • Wo ist er streng monoton fallend/steigend?
Sin(2x-2).jpg


  1. Hier kannst beide Parameter c und d von sin(x+c)+d durch Verschieben des Graphen ändern und die Auswirkung auf den Funktionsterm betrachten. Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x+c)+d.
  2. In diesem Arbeitsblatt sollst du die zu den Graphen gehörenden Funktionsterme finden.
  3. Was fällt auf, wenn du hier für \ b > 1 den Parameter \ c änderst?
  4. In dem Applet auf dieser Seite werden die Parameter \ b und \ c anders verwendet. Finde den Unterschied zu den bisherigen Betrachtungen heraus.
  5. Übertrage deine Ergebnisse auf a cos(bx+c)+d beziehungsweise a cos[b(x+c)]+d



Super! Nun hast du es geschafft und das Ende des Lernpfades erreicht.

Hefteintrag: Lese dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alle gelb hinterlegten Texte übernommen hast.

Nun hast du es wirklich geschafft. Du kannst stolz sein - gut gemacht! Ich wünsche dir noch einen schönen Tag!


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