Lösung zu Aufgabe 4: Unterschied zwischen den Versionen

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1. Die Schwingungsdauer kann sehr genau bestimmt werden, indem man zunächst zwei Nullstellen wählt, die sehr genau abgelesen werden können.
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:Nullstellen: <math>x_{N_1} = 0 s</math> und <math>x_{N_2} = 1,1 s</math>
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:Da in 1,1 Sekunden 3,5 Schwingungen stattfinden, erhält man als Schwingungsdauer: <math>\ T = 1,1 s : 3,5 = 0,314s</math>
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:Frequenz: <math>f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,314s} \approx 3,18 Hz</math>
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2. <math>\ A = 3 cm</math> und <math>\omega = 2\pi \cdot f = 2\pi \cdot 3,18 Hz \approx 20 \frac{1}{s}</math> oder <math>\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,314s} \approx 20 \frac{1}{s} </math>
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:<math>\Rightarrow s(t) = A \cdot \sin(\omega t) = 3 \cdot \sin(20t)</math>
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Nullstellen der Sinusfunktion: <math>x = k\cdot \pi </math> mit <math>\ k \in \Z</math> oder <math>x \in \{ ...;0 ;\ \pi;\ 2\pi;\ 3\pi; \ ...\}</math>
 
Nullstellen der Sinusfunktion: <math>x = k\cdot \pi </math> mit <math>\ k \in \Z</math> oder <math>x \in \{ ...;0 ;\ \pi;\ 2\pi;\ 3\pi; \ ...\}</math>

Version vom 6. Juli 2009, 12:23 Uhr

Lösung zu Aufgabe 4

1. Die Schwingungsdauer kann sehr genau bestimmt werden, indem man zunächst zwei Nullstellen wählt, die sehr genau abgelesen werden können.

Nullstellen: x_{N_1} = 0 s und x_{N_2} = 1,1 s
Da in 1,1 Sekunden 3,5 Schwingungen stattfinden, erhält man als Schwingungsdauer: \ T = 1,1 s : 3,5 = 0,314s
Frequenz: f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,314s} \approx 3,18 Hz

2. \ A = 3 cm und \omega = 2\pi \cdot f = 2\pi \cdot 3,18 Hz \approx 20 \frac{1}{s} oder \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,314s} \approx 20 \frac{1}{s}

\Rightarrow s(t) = A \cdot \sin(\omega t) = 3 \cdot \sin(20t)



Nullstellen der Sinusfunktion: x = k\cdot \pi mit \ k \in \Z oder x \in \{ ...;0 ;\ \pi;\ 2\pi;\ 3\pi; \ ...\}

Nullstellen: x_N = 1+k\cdot \frac{\pi}{2} mit \ k \in \Z oder x_N \in \{ ...; 1+\frac{1}{2}\pi;\ 1+\pi;\ 1+\frac{3}{2}\pi;\ ...\}

Hochpunkte: x_H = 1+\frac{1}{4}\pi + k \cdot \pi mit \ k \in \Z oder x_H \in \{ ...; 1+\frac{1}{4}\pi;\ 1+\frac{5}{4}\pi;\ ...\}

Tiefpunkte: x_T = 1-\frac{1}{4}\pi + k \cdot \pi mit \ k \in \Z oder x_T \in \{ ...; 1-\frac{1}{4}\pi;\ 1+\frac{3}{4}\pi;\ 1+\frac{7}{4}\pi;\ ...\}

streng monoton fallend: ...;\ [1+\frac{1}{4}\pi;\ 1+\frac{3}{4}\pi];\ [1+\frac{5}{4}\pi;\ 1+\frac{7}{4}\pi];\ ...

streng monoton steigend: ...;\ [1-\frac{1}{4}\pi;\ 1+\frac{1}{4}\pi];\ [1+\frac{3}{4}\pi;\ 1+\frac{5}{4}\pi];\ ...

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