Einfluss der Parameter: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 19. Januar 2009, 17:51 Uhr

Einführung - Einfluss der Parameter - Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen - Anwendungen in der Physik - Zusatzaufgaben

Einfluss der Parameter

Wiederholung:

Steckbrief der Sinus- und Kosinusfunktion

Hefteintrag: Am besten verwendest du hierfür dein Heft im Querformat, damit du später eine Tabelle mit vier Spalten für den Einfluss von $\ a,b,c$ und $\ d$ anlegen kannst. Formuliere eine Überschrift und übernehme alle mit gelb gekennzeichneten Texte. Natürlich darfst du dir aber auch noch zusätzlich Notizen machen.

Merke:

Die allgemeine Sinusfunktion lautet

$x\rightarrow a\cdot\sin(b\cdot x+c)+d$ .

Entsprechend lautet die allgemeine Kosinusfunktion

$x \rightarrow a\cdot \cos ( b\cdot x + c ) + d$ .

Dabei sind $\ a,b,c,d$ Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Im Folgenden seien $\ a,b,c,d \in \R$ und $a,b\neq 0$ .

$\rightarrow$ Hinweis: Bei den GeoGebra-Applets ist die $\ x$ -Achse mit Vielfachen von $\pi$ beschriftet. Indem man die $\ x$ -Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit cm umstellen.

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{{{1}}}

Einfluss von $\ a$	Einfluss von $\ b$	Einfluss von $\ c$	Einfluss von $\ d$
Untersuche hier den Einfluss von $\ a$ auf die Graphen der Funktionen $x \rightarrow a\cdot \sin x$ und $x \rightarrow a\cdot \cos x$ .	Untersuche hier den Einfluss von $\ b$ auf die Graphen der Funktionen $x \rightarrow \sin ( b\cdot x )$ und $x \rightarrow \cos ( b\cdot x )$ .	Untersuche hier den Einfluss von $\ c$ auf die Graphen der Funktionen $x \rightarrow \sin ( x + c )$ und $x \rightarrow \cos ( x + c )$ .	Untersuche hier den Einfluss von $\ d$ auf die Graphen der Funktionen $x \rightarrow \sin x + d$ und $x \rightarrow \cos x + d$ .

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{{{1}}}

Aufgabe 1

Parameter gesucht! Je einer der Parameter und wurde variiert, die anderen blieben unverändert. Gib jeweils an, welcher dieser Parameter variiert wurde.
1. Die Nullstellen, Extrema und die Periode veränderten sich dabei nicht, die Wertemenge jedoch schon.
2. Die Nullstellen, Extrema wurden verändert, die Periode und die Wertemenge aber nicht.
3. Die Nullstellen und Extrema blieben an der selben Stelle, die Periode und die Wertemenge hingegen wurden verändert.
4. Nullstellen, Extrema und Periode änderten sich, die Wertemenge blieb aber gleich.
Wie hängen die Sinus- und die Kosinusfunktion zusammen? Zeichne dazu die Graphen der Funktionen $\,\!\sin(x+\frac{\pi}{2})$ und $\,\!\cos(x)$ in dein Heft und betrachte sie! Was fällt dir auf?

Tipp zum Zeichnen:

Überlege dir zunächst die Lage der Nullstellen und die Größe der Amplitude!

Jetzt noch was zum Knobeln!!!

Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen heraus gefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.

Aufgabe 2

Bringe den Smily zum Lachen! Variiere dazu die verschiedenen Parameter und beobachte die Auswirkungen auf den Graphen.
In diesem Arbeitsblatt kannst du ebenfalls die verschiedenen Parameter variieren. Bearbeite die darunter gestellten Aufgaben 1 bis 3.
In diesem Applet kannst zu zeigen, ob du zu gegeben Funktionstermen den zugehörigen Graphen findest.

Lösung zu Aufgabe1: [Anzeigen][Verstecken]

zu 1.:

Die gesuchten Parameter sind in dieser Reihenfolge $\ a, c, d, b$ .

zu 2.:

Ja genau, die Graphen der beiden Funktionen sind identisch. Genauer gesagt:

Merke:

Man erhält den Graphen der Kosinusfunktion indem man den Graphen der Sinusfunktion um $\frac{\pi}{2}$ nach links verschiebt.

Deshalb verhält sich die allgemeine Kosinusfunktion bei Variation ihrer Parameter genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.

Weiter geht es mit

Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen

@@ Zeile 127: / Zeile 127: @@
 ## Die Nullstellen und Extrema blieben an der selben Stelle, die Periode und die Wertemenge hingegen wurden verändert.
 ## Nullstellen, Extrema und Periode änderten sich, die Wertemenge blieb aber gleich.
-# Wie hängen die Sinus- und die Kosinusfunktion zusammen? Zeichne dazu die Graphen der Funktionen <math>\,\!\sin(x+\frac{\pi}{2})</math> und <math>\,\!\cos(x)</math> in dein Heft und betrachte sie! Was fällt dir auf?}}
+# Wie hängen die Sinus- und die Kosinusfunktion zusammen? Zeichne dazu die Graphen der Funktionen <math>\,\!\sin(x+\frac{\pi}{2})</math> und <math>\,\!\cos(x)</math> in dein Heft und betrachte sie! Was fällt dir auf?
+::''Tipp zum Zeichnen:'' {{versteckt|::Überlege dir zunächst die Lage der Nullstellen und die Größe der Amplitude!}}
+}}
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Einfluss der Parameter: Unterschied zwischen den Versionen

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