Einfluss der Parameter: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 25. Januar 2009, 18:24 Uhr

Einführung - Station 1: Einfluss der Parameter - Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr - Station 3: Anwendungen in der Physik - Station 4: Zusatzaufgaben


Zum Nachschlagen

  • Sinusfunktion
Die Funktion x \rightarrow \sin (x) mit x\in \R heißt Sinusfunktion.
  • Sinuskurve
Der Graph der Sinusfunktion wird Sinuskurve genannt.
  • Kosinusfunktion
Die Funktion x \rightarrow \cos (x) mit x\in \R heißt Kosinusfunktion.
  • Kosinuskurve
Der Graph der Kosinusfunktion wird Kosinuskurve genannt.
  • Periode
Der Abstand zweier Orte im gleichen Schwingungszustand wird als Periode bezeichnet. Die Periode der Sinus- und Kosinusfunktion beträgt jeweils 2\pi


Einfluss der Parameter

Hefteintrag: Am besten verwendest du hierfür dein Heft im Querformat, damit du später eine Tabelle mit vier Spalten für den Einfluss von \ a,b,c und \ d anlegen kannst. Formuliere eine Überschrift und übernehme alle mit gelb gekennzeichneten Texte. Natürlich darfst du dir aber auch noch zusätzlich Notizen machen.


Maehnrot.jpg
Merke:

Die allgemeine Sinusfunktion lautet

  x\rightarrow a\cdot\sin(b\cdot x+c)+d  .

Entsprechend lautet die allgemeine Kosinusfunktion

  x \rightarrow a\cdot \cos ( b\cdot x + c ) + d  .

Dabei sind \ a,b,c,d Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Im Folgenden seien  \ a,b,c,d \in \R   und  a,b\neq 0 .

\rightarrow Hinweis: Bei den GeoGebra-Applets ist die \ x-Achse mit Vielfachen von \pi beschriftet. Indem man die \ x-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit cm umstellen.

Arbeiten in Expertenteams

{{{1}}}


Einfluss von \ a Einfluss von \ b Einfluss von \ c Einfluss von \ d

Untersuche hier den Einfluss von

\ a

auf die Graphen der Funktionen

x \rightarrow a\cdot \sin x

und

x \rightarrow a\cdot \cos x .

Untersuche hier den Einfluss von

\ b

auf die Graphen der Funktionen

x \rightarrow \sin ( b\cdot x )

und

x \rightarrow \cos ( b\cdot x ) .

Untersuche hier den Einfluss von

\ c

auf die Graphen der Funktionen

x \rightarrow \sin ( x + c )

und

x \rightarrow \cos ( x + c ) .

Untersuche hier den Einfluss von

\ d

auf die Graphen der Funktionen

x \rightarrow \sin x + d

und

x \rightarrow \cos x + d .

Arbeiten in Expertenteams

{{{1}}}
  Aufgabe 1  Stift.gif
  1. Parameter gesucht! Je einer der Parameter \ a, b, c und \ d wird variiert, die anderen bleiben unverändert. Gib jeweils an, welcher dieser Parameter variiert wird.
    1. Die Nullstellen, Extrema und die Periode verändern sich nicht, die Wertemenge jedoch schon.
    2. Die Nullstellen, Extrema verändern sich, die Periode und die Wertemenge aber nicht.
    3. Die Nullstellen und die Wertemenge ändern sich, die Extrema und die Periode bleiben.
    4. Nullstellen, Extrema und Periode ändern sich, die Wertemenge bleib aber gleich.
  2. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion? Zeichne dazu die Graphen der Funktionen \,\!\sin(x+\frac{\pi}{2}) und \,\!\cos(x) in dein Heft und betrachte sie! Was fällt dir auf?
Tipp zum Zeichnen:
Überlege dir zunächst die Lage der Nullstellen und die Größe der Amplitude!


Jetzt noch was zum Knobeln!!!

Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen heraus gefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.

  Aufgabe 2  Stift.gif
  1. Bringe den Smily zum Lachen! Variiere dazu die verschiedenen Parameter und beobachte die Auswirkungen auf den Graphen.
  2. In diesem Arbeitsblatt kannst du ebenfalls die verschiedenen Parameter variieren. Bearbeite die darunter gestellten Aufgaben 1 bis 3.
  3. In diesem Applet kannst zu zeigen, ob du zu gegeben Funktionstermen den zugehörigen Graphen findest.



Lösung zu Aufgabe1:

zu 1.:

Die gesuchten Parameter sind in dieser Reihenfolge \ a, c, d, b.


zu 2.:

Ja genau, die Graphen der beiden angegebenen Funktionen sind identisch. Genauer gesagt:

Maehnrot.jpg
Merke:

Man erhält den Graphen der Kosinusfunktion indem man den Graphen der Sinusfunktion um \frac{\pi}{2} nach links verschiebt.

Deshalb verhält sich die allgemeine Kosinusfunktion bei Variation ihrer Parameter genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.

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Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr

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