Wurzelfunktion Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt <math> A = a^2</math>.<br>
 
Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt <math> A = a^2</math>.<br>
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Es ist <math> a = sqrt A</math>
 
Es ist <math> a = sqrt A</math>
 
   
 
   
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Wie du in diesem Beispeil gesehen hast, erhält man aus dem Flächeninhalt A eines Quadrats die zugehörige Seitenlänge a des Quadrats.
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Ausgangspunkt war die Gleichung <math> A = a^2</math>. Indem man die Gleichung nach <math>a</math> auflöst erhält man sozusagen die Umkehrung.
  
 
{{Merksatz|MERK=
 
{{Merksatz|MERK=
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Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zu, so ist die Zuordnung <math> f: x \rightarrow \sqrt x</math> mit <math> x \in R^+_0</math> die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion.
 
  
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Sie entsteht durch Umkehrung der Fragestellung:<br>
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Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl <math>x</math> ihr Quadrat <math>x^2</math> zu, so erhält man die Quadratfunktion <math>f:\rightarrow x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math>.
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Welchen Flächeninhalt A hat ein Quadrat mit Seitenlänge a?<br>
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Diese Fragestellung wird durch die Funktion <math>g:\rightarrow x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math> beschrieben.
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Macht man die Umkehrung umgekehrt und ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zu, so ist die Zuordnung <math> g: x \rightarrow \sqrt x</math> mit <math> x \in R^+_0</math> die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion. Man erhält diese Funktion durch Umkehrung der Fragestellung:<br>
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Welche Seitenlänge a hat ein Quadrat mit Flächeninhalt A?<br>
  
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Man nennt f die '''Umkehrfunktion''' zur Funktion g.
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Man nennt <math>g</math> die '''Umkehrfunktion''' zur Funktion <math>f</math> und schreibt statt <math>g</math> auch <math> f^{-1}</math>.<br>
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Die Wurzelfunktion <math> f^{-1}: x \rightarrow \sqrt x</math> mit <math> x \in R^+_0</math> ist die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion  <math>f:\rightarrow x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math>.
 
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In diesem Bild sind die Graphen zu den Funktionen <math> f: x \rightarrow \sqrt x</math> mit <math> x \in R^+_0</math> und <math>g:\rightarrow x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math> dargestellt.
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In diesem Bild sind die Graphen zu den Funktionen <math>f:\rightarrow x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math> und <math> g: x \rightarrow \sqrt x</math> mit <math> x \in R^+_0</math> dargestellt.
  
 
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von der Potenzfunktion <math> f: x \rightarrow x^n</math> die Umkehrfunktion <math> f^{-1}</math> lautet: <math> f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math>?
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von der Potenzfunktion <math> f: x \rightarrow x^n</math> die Umkehrfunktion <math> f^{-1}</math>?
 
   
 
   
 
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# Spiegeln an der Geraden <math> y = x</math>
 
# Spiegeln an der Geraden <math> y = x</math>
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# In der Gleichung <math> y = x^n</math> x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält <math> y = \sqrt[n]{x}</math>.<br>
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# In der Gleichung <math> y = x^n</math> x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält <math> y = \sqrt[n]{x}</math>.<br> Die Umkehrfunktion lautet <math> f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math>.
 
Da <math>x \in R^+_0</math> ist, muss man nicht auf die Definitionsmenge aufpassen und diese eventuell einschränken.
 
Da <math>x \in R^+_0</math> ist, muss man nicht auf die Definitionsmenge aufpassen und diese eventuell einschränken.
 
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Version vom 9. Februar 2012, 08:29 Uhr

Startseite --- Die Wurzelfunktion - Übungen - Anwendungen --- Die allgemeine Wurzelfunktion - Übungen - Anwendungen --- Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion

Quadrat.jpg

Nochmals zum Anfangsbeispiel:

Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt A = a^2.
Man weiß von einem Quadrat, dass es den Flächeninhalt 9 FE hat. Wie lang ist dann die Seite? Natürlich 3 LE.
Es ist a = sqrt A

Ausgangspunkt war die Gleichung A = a^2. Indem man die Gleichung nach a auflöst erhält man sozusagen die Umkehrung.

Maehnrot.jpg
Merke:

Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihr Quadrat x^2 zu, so erhält man die Quadratfunktion f:\rightarrow x^2 mit x\in R^+_0.

Macht man die Umkehrung umgekehrt und ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zu, so ist die Zuordnung g: x \rightarrow \sqrt x mit x \in R^+_0 die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion. Man erhält diese Funktion durch Umkehrung der Fragestellung:
Welche Seitenlänge a hat ein Quadrat mit Flächeninhalt A?

Man nennt g die Umkehrfunktion zur Funktion f und schreibt statt g auch f^{-1}.
Die Wurzelfunktion f^{-1}: x \rightarrow \sqrt x mit x \in R^+_0 ist die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion f:\rightarrow x^2 mit x\in R^+_0.


  Aufgabe 1  Stift.gif

In diesem Bild sind die Graphen zu den Funktionen f:\rightarrow x^2 mit x\in R^+_0 und g: x \rightarrow \sqrt x mit x \in R^+_0 dargestellt.

Umk funk 1.jpg

Was fällt dir auf?


Die Graphen sind zueinander achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden des I. Quadranten


  Aufgabe 2  Stift.gif

Bearbeite diese Seite und beantworte dann:
Wie erhält man für x \in R^+_0

  1. graphisch
  2. rechnerisch

von der Potenzfunktion f: x \rightarrow x^n die Umkehrfunktion f^{-1}?


  1. Spiegeln an der Geraden y = x
  2. In der Gleichung y = x^n x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält y = \sqrt[n]{x}.
    Die Umkehrfunktion lautet f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}.

Da x \in R^+_0 ist, muss man nicht auf die Definitionsmenge aufpassen und diese eventuell einschränken.


Maehnrot.jpg
Merke:

Für jede natürliche Zahl n ist die Potenzfunktion f: x \rightarrow x^n mit x \in R^+_0 umkehrbar.
Die Umkehrfunktion f^{-1} lautet: f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x} mit x \in R^+_0.


Bemerkung:

Alle Potenzfunktionen sind für x \in R definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für x \in R umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seite:
Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation
So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion

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