Wurzelfunktion Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Nochmals zum Anfangsbeispiel:
 
Nochmals zum Anfangsbeispiel:
  
Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt <math> A = a^2</math>.<br>
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Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt <math> A = a^2</math>.<br><br>
Man weiß von einem Quadrat, dass es den Flächeninhalt 9 FE hat. Wie lang ist dann die Seite? Natürlich 3 LE.<br>
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Wenn du von einem Quadrat den Flächeninhalt mit 9 FE kennst, wie lang ist dann die Seite <math>a</math>? Natürlich 3 LE.<br><br>
Es ist <math> a = sqrt A</math>
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Es gilt also: <math> a = \sqrt {A}</math>
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Ausgangspunkt war die Gleichung <math> A = a^2</math>. Indem man die Gleichung nach <math>a</math> auflöst erhält man sozusagen die Umkehrung.
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Ausgangspunkt war die Gleichung <math> A = a^2</math>. <br>
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Diese wurde durch Anwenden der Umkehroperation nach <math>a</math> aufgelöst.
  
{{Merksatz|MERK=
 
  
Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl <math>x</math> ihr Quadrat <math>x^2</math> zu, so erhält man die Quadratfunktion <math>f:\rightarrow x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math>.
 
  
Macht man die Zuordnung umgekehrt und ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zu, so ist die Zuordnung <math> g: x \rightarrow \sqrt x</math> mit <math> x \in R^+_0</math> die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion. Man erhält diese Funktion durch Umkehrung der Fragestellung:<br>
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{{Merke|
Welche Seitenlänge a hat ein Quadrat mit Flächeninhalt A?<br>
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Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl <math>x</math> ihr Quadrat <math>x^2</math> zu, so erhält man die Quadratfunktion <math>f: x \rightarrow x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math>.  
  
Man nennt <math>g</math> die '''Umkehrfunktion''' zur Funktion <math>f</math> und schreibt statt <math>g</math> auch <math> f^{-1}</math>.<br>
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Wird umgekehrt jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zugeordnet, so ist die Zuordnung <math> g: x \rightarrow \sqrt {x}</math> mit <math> x \in R^+_0</math> die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion.
Die Wurzelfunktion <math> f^{-1}: x \rightarrow \sqrt x</math> mit <math> x \in R^+_0</math> ist die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion  <math>f:\rightarrow x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math>.
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Die Funktion <math>g</math> wird '''Umkehrfunktion''' der Funktion <math>f</math> genannt.<br>
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Und anstelle von <math>g</math> wird auch <math> f^{-1}</math> geschrieben.<br>
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<br>Die Wurzelfunktion <math> f^{-1}: x \rightarrow \sqrt {x}</math>   mit <math> x \in R^+_0</math>   ist die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion  <math>f: x \rightarrow x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math>.
 
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{{Arbeiten|NUMMER=1| ARBEIT=  
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{{Arbeiten|NUMMER=26| ARBEIT=  
In diesem Bild sind die Graphen zu den Funktionen <math>f:\rightarrow x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math> und <math> g: x \rightarrow \sqrt x</math> mit <math> x \in R^+_0</math> dargestellt.
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In diesem Bild sind die Graphen der Funktionen <math>f: x \rightarrow x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math> und <math> g: x \rightarrow \sqrt {x}</math> mit <math> x \in R^+_0</math> dargestellt.
  
 
<center>[[Datei:Umk_funk_1.jpg]]</center>
 
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{{Lösung versteckt|
 
Die Graphen sind zueinander achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden des I. Quadranten
 
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Bisher hast du gelernt, dass die Funktionsgraphen von Umkehrfunktionen <math>f^{-1}</math> und ihre Funktion <math>f</math> symmetrisch zur Geraden y = x (1. Mediane) sind.<br>
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Dieser Zusammenhang wird durch das [http://medienvielfalt.zum.de/images/7/7b/ArbeitsblattFaltbild.pdf Arbeitsblatt] verdeutlicht!
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Jetzt lernt du, die Umkehrfunktion rechnerisch zu ermitteln.<br>
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Gehe zum Beispiel von der Funktiongleichung <math>y = 2x + 4</math> aus.<br>
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Vertausche in dieser Gleichung <math>x</math> und <math>y</math>: <math>x = 2y + 4</math><br><br>
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Das Umformen dieser Gleichung nach <math>y</math> ergibt die Umkehrfunktion: <math>y = \frac{x-4}{2}</math> also ist <math>y = \frac{x}{2} - 2</math>.
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<br><br>Dieses Verfahren zur Ermittlung der Umkehrfunktion kannst du auch auf Potenz- und Wurzelfunktionen anwenden.
  
  
{{Arbeiten|NUMMER=2| ARBEIT=
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{{Arbeiten|NUMMER=27| ARBEIT=
Bearbeite diese [http://www.mathe1.de/mathematikbuch/funktionen_umkehrfunktionen_59.htm Seite] und beantworte dann:<br>
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Ermittle
Wie erhält man für <math>x \in R^+_0</math><br>
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# graphisch
 
# graphisch
 
# rechnerisch<br>
 
# rechnerisch<br>
von der Potenzfunktion <math> f: x \rightarrow x^n</math> die Umkehrfunktion <math> f^{-1}</math>?
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die Umkehrfunktionen zu <math>f:x\rightarrow \sqrt{3x}</math> und <math>g: x\rightarrow x^2 + 3</math>
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{{Lösung versteckt|
 
# Spiegeln an der Geraden <math> y = x</math>
 
# In der Gleichung <math> y = x^n</math> x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält <math> y = \sqrt[n]{x}</math>.<br> Die Umkehrfunktion lautet <math> f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math>.
 
Da <math>x \in R^+_0</math> ist, muss man nicht auf die Definitionsmenge aufpassen und diese eventuell einschränken.
 
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{{Merksatz|MERK=
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{{Merke|  
 
Für jede natürliche Zahl <math> n </math> ist die Potenzfunktion <math> f: x \rightarrow x^n</math> mit <math> x \in R^+_0</math> umkehrbar.<br>
 
Für jede natürliche Zahl <math> n </math> ist die Potenzfunktion <math> f: x \rightarrow x^n</math> mit <math> x \in R^+_0</math> umkehrbar.<br>
 
Die Umkehrfunktion <math> f^{-1}</math> lautet: <math> f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math> mit <math> x \in R^+_0</math>. Sie heißt n-te Wurzelfunktion.
 
Die Umkehrfunktion <math> f^{-1}</math> lautet: <math> f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math> mit <math> x \in R^+_0</math>. Sie heißt n-te Wurzelfunktion.
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Die n-te Wurzelfunktion <math> f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math> mit <math> x \in R^+_0</math> kannst du auch als Potenzfunktion betrachten, deren Exponent ein Stammbruch ist.
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<br>Dann gilt: <math> f^{-1}: x \rightarrow x^{\frac{1}{n}}</math> mit <math> x \in R^+_0</math> und <math> n \in N</math>.
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Die n-te Wurzelfunktion <math> f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math> mit <math> x \in R^+_0</math> kann man auch als Potenzfunktion mit Stammbruchexponenten betrachten. Es ist dann <math> f^{-1}: x \rightarrow x^{\frac{1}{n}}</math> mit <math> x \in R^+_0</math> und <math> n \in N</math>.
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Aufgabe 26: {{Lösung versteckt|1=
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Die Graphen von f und g sind symmetrisch zur Gerade y = x (1. Mediane).
 
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Aufgabe 27: {{Lösung versteckt|
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# Spiegeln an der Geraden <math> y = x</math>
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# <math>f:x\rightarrow \sqrt{3x}</math>:<br>
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:In der Gleichung <math> y = \sqrt{3x}</math> vertauscht man x und y  und löst dann nach y aufl. Man erhält <math> x = \sqrt{3y}</math> und dann <math>y = \frac{x^2}{3}</math>.<br> Die Umkehrfunktion lautet <math> f^{-1}: x \rightarrow \frac{x^2}{3}</math>. <br>
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:Die Defintionsmenge der Umkehrfunktion ist <math>D = R^+_0</math>.
  
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:<math>g: x\rightarrow x^2 + 3</math>:<br>
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:Zuerst muss man die Definitionsmenge von <math>g</math> auf <math>R^+_0</math> einschränken.<br>
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:In der Gleichung <math> y = x^2 + 3</math> x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält <math> x = y^2 + 3</math> und dann <math>y = \sqrt{x-3}</math>.<br> Die Umkehrfunktion lautet <math> g^{-1}: x \rightarrow \sqrt{x-3}</math>. <br>
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:Die Defintionsmenge der Umkehrfunktion ist <math>D = R^+_0</math>.
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'''Bemerkung: '''
 
'''Bemerkung: '''

Aktuelle Version vom 16. April 2017, 10:02 Uhr

Startseite --- Die Wurzelfunktion - Übungen - Anwendungen - Weitere Eigenschaften --- Die allgemeine Wurzelfunktion - Übungen und Anwendungen --- Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion


E Quadrat1.jpg

Nochmals zum Anfangsbeispiel:

Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt  A = a^2.

Wenn du von einem Quadrat den Flächeninhalt mit 9 FE kennst, wie lang ist dann die Seite a? Natürlich 3 LE.

Es gilt also:  a = \sqrt {A}

Ausgangspunkt war die Gleichung  A = a^2.
Diese wurde durch Anwenden der Umkehroperation nach a aufgelöst.


Nuvola apps kig.png   Merke

Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihr Quadrat x^2 zu, so erhält man die Quadratfunktion f: x \rightarrow  x^2 mit  x\in R^+_0.

Wird umgekehrt jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zugeordnet, so ist die Zuordnung  g: x \rightarrow \sqrt {x} mit  x \in R^+_0 die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion.

Die Funktion g wird Umkehrfunktion der Funktion f genannt.
Und anstelle von g wird auch  f^{-1} geschrieben.

Die Wurzelfunktion  f^{-1}: x \rightarrow \sqrt {x} mit  x \in R^+_0 ist die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion f: x \rightarrow  x^2 mit  x\in R^+_0.


  Aufgabe 26  Stift.gif

In diesem Bild sind die Graphen der Funktionen f: x \rightarrow  x^2 mit  x\in R^+_0 und  g: x \rightarrow \sqrt {x} mit  x \in R^+_0 dargestellt.

Umk funk 1.jpg

Was fällt dir auf?


Bisher hast du gelernt, dass die Funktionsgraphen von Umkehrfunktionen f^{-1} und ihre Funktion f symmetrisch zur Geraden y = x (1. Mediane) sind.
Dieser Zusammenhang wird durch das Arbeitsblatt verdeutlicht!

Jetzt lernt du, die Umkehrfunktion rechnerisch zu ermitteln.
Gehe zum Beispiel von der Funktiongleichung y = 2x + 4 aus.
Vertausche in dieser Gleichung x und y: x = 2y + 4

Das Umformen dieser Gleichung nach y ergibt die Umkehrfunktion: y = \frac{x-4}{2} also ist y = \frac{x}{2} - 2.

Dieses Verfahren zur Ermittlung der Umkehrfunktion kannst du auch auf Potenz- und Wurzelfunktionen anwenden.


  Aufgabe 27  Stift.gif

Ermittle

  1. graphisch
  2. rechnerisch

die Umkehrfunktionen zu f:x\rightarrow \sqrt{3x} und g: x\rightarrow x^2 + 3


Nuvola apps kig.png   Merke

Für jede natürliche Zahl  n ist die Potenzfunktion  f: x \rightarrow x^n mit  x \in R^+_0 umkehrbar.
Die Umkehrfunktion  f^{-1} lautet:  f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x} mit  x \in R^+_0. Sie heißt n-te Wurzelfunktion.

Die n-te Wurzelfunktion  f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x} mit  x \in R^+_0 kannst du auch als Potenzfunktion betrachten, deren Exponent ein Stammbruch ist.
Dann gilt:  f^{-1}: x \rightarrow x^{\frac{1}{n}} mit  x \in R^+_0 und  n \in N.


Aufgabe 26:

Die Graphen von f und g sind symmetrisch zur Gerade y = x (1. Mediane).

Aufgabe 27:

  1. Spiegeln an der Geraden  y = x
  2. f:x\rightarrow \sqrt{3x}:
In der Gleichung  y = \sqrt{3x} vertauscht man x und y und löst dann nach y aufl. Man erhält  x = \sqrt{3y} und dann y = \frac{x^2}{3}.
Die Umkehrfunktion lautet  f^{-1}: x \rightarrow \frac{x^2}{3}.
Die Defintionsmenge der Umkehrfunktion ist D = R^+_0.
g: x\rightarrow x^2 + 3:
Zuerst muss man die Definitionsmenge von g auf R^+_0 einschränken.
In der Gleichung  y = x^2 + 3 x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält  x = y^2 + 3 und dann y = \sqrt{x-3}.
Die Umkehrfunktion lautet  g^{-1}: x \rightarrow \sqrt{x-3}.
Die Defintionsmenge der Umkehrfunktion ist D = R^+_0.


Bemerkung:

Alle Potenzfunktionen sind für x \in R definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für x \in R^- umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seiten:

Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation
So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion