Wurzelfunktion Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Bisher hast du gelernt, dass die Funktionsgraphen von Umkehrfunktionen <math>f^{-1}</math> und ihre Funktion <math>f</math> symmetrisch zur Geraden y = x (1. Mediane) sind.<br>
 
Bisher hast du gelernt, dass die Funktionsgraphen von Umkehrfunktionen <math>f^{-1}</math> und ihre Funktion <math>f</math> symmetrisch zur Geraden y = x (1. Mediane) sind.<br>
Dieser Zusammenhang wird durch das [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/7/7b/ArbeitsblattFaltbild.pdf Arbeitsblatt] verdeutlicht!
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Dieser Zusammenhang wird durch das [http://medienvielfalt.zum.de/images/7/7b/ArbeitsblattFaltbild.pdf Arbeitsblatt] verdeutlicht!
 
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Jetzt lernt du, die Umkehrfunktion rechnerisch zu ermitteln.<br>
 
Jetzt lernt du, die Umkehrfunktion rechnerisch zu ermitteln.<br>

Aktuelle Version vom 16. April 2017, 10:02 Uhr

Startseite --- Die Wurzelfunktion - Übungen - Anwendungen - Weitere Eigenschaften --- Die allgemeine Wurzelfunktion - Übungen und Anwendungen --- Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion


E Quadrat1.jpg

Nochmals zum Anfangsbeispiel:

Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt  A = a^2.

Wenn du von einem Quadrat den Flächeninhalt mit 9 FE kennst, wie lang ist dann die Seite a? Natürlich 3 LE.

Es gilt also:  a = \sqrt {A}

Ausgangspunkt war die Gleichung  A = a^2.
Diese wurde durch Anwenden der Umkehroperation nach a aufgelöst.


Nuvola apps kig.png   Merke

Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihr Quadrat x^2 zu, so erhält man die Quadratfunktion f: x \rightarrow  x^2 mit  x\in R^+_0.

Wird umgekehrt jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zugeordnet, so ist die Zuordnung  g: x \rightarrow \sqrt {x} mit  x \in R^+_0 die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion.

Die Funktion g wird Umkehrfunktion der Funktion f genannt.
Und anstelle von g wird auch  f^{-1} geschrieben.

Die Wurzelfunktion  f^{-1}: x \rightarrow \sqrt {x} mit  x \in R^+_0 ist die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion f: x \rightarrow  x^2 mit  x\in R^+_0.


  Aufgabe 26  Stift.gif

In diesem Bild sind die Graphen der Funktionen f: x \rightarrow  x^2 mit  x\in R^+_0 und  g: x \rightarrow \sqrt {x} mit  x \in R^+_0 dargestellt.

Umk funk 1.jpg

Was fällt dir auf?


Bisher hast du gelernt, dass die Funktionsgraphen von Umkehrfunktionen f^{-1} und ihre Funktion f symmetrisch zur Geraden y = x (1. Mediane) sind.
Dieser Zusammenhang wird durch das Arbeitsblatt verdeutlicht!

Jetzt lernt du, die Umkehrfunktion rechnerisch zu ermitteln.
Gehe zum Beispiel von der Funktiongleichung y = 2x + 4 aus.
Vertausche in dieser Gleichung x und y: x = 2y + 4

Das Umformen dieser Gleichung nach y ergibt die Umkehrfunktion: y = \frac{x-4}{2} also ist y = \frac{x}{2} - 2.

Dieses Verfahren zur Ermittlung der Umkehrfunktion kannst du auch auf Potenz- und Wurzelfunktionen anwenden.


  Aufgabe 27  Stift.gif

Ermittle

  1. graphisch
  2. rechnerisch

die Umkehrfunktionen zu f:x\rightarrow \sqrt{3x} und g: x\rightarrow x^2 + 3


Nuvola apps kig.png   Merke

Für jede natürliche Zahl  n ist die Potenzfunktion  f: x \rightarrow x^n mit  x \in R^+_0 umkehrbar.
Die Umkehrfunktion  f^{-1} lautet:  f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x} mit  x \in R^+_0. Sie heißt n-te Wurzelfunktion.

Die n-te Wurzelfunktion  f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x} mit  x \in R^+_0 kannst du auch als Potenzfunktion betrachten, deren Exponent ein Stammbruch ist.
Dann gilt:  f^{-1}: x \rightarrow x^{\frac{1}{n}} mit  x \in R^+_0 und  n \in N.


Aufgabe 26:

Die Graphen von f und g sind symmetrisch zur Gerade y = x (1. Mediane).

Aufgabe 27:

  1. Spiegeln an der Geraden  y = x
  2. f:x\rightarrow \sqrt{3x}:
In der Gleichung  y = \sqrt{3x} vertauscht man x und y und löst dann nach y aufl. Man erhält  x = \sqrt{3y} und dann y = \frac{x^2}{3}.
Die Umkehrfunktion lautet  f^{-1}: x \rightarrow \frac{x^2}{3}.
Die Defintionsmenge der Umkehrfunktion ist D = R^+_0.
g: x\rightarrow x^2 + 3:
Zuerst muss man die Definitionsmenge von g auf R^+_0 einschränken.
In der Gleichung  y = x^2 + 3 x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält  x = y^2 + 3 und dann y = \sqrt{x-3}.
Die Umkehrfunktion lautet  g^{-1}: x \rightarrow \sqrt{x-3}.
Die Defintionsmenge der Umkehrfunktion ist D = R^+_0.


Bemerkung:

Alle Potenzfunktionen sind für x \in R definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für x \in R^- umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seiten:

Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation
So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion