Wurzelfunktion Umkehrfunktion

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E Quadrat1.jpg

Nochmals zum Anfangsbeispiel:

Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt  A = a^2.

Wenn du von einem Quadrat den Flächeninhalt mit 9 FE kennst, wie lang ist dann die Seite a? Natürlich 3 LE.

Es gilt also:  a = sqrt A

Ausgangspunkt war die Gleichung  A = a^2.
Diese wurde durch Anwenden der Umkehroperation nach a aufgelöst.


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Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihr Quadrat x^2 zu, so erhält man die Quadratfunktion f: x \rightarrow  x^2 mit  x\in R^+_0.

Wird umgekehrt jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zugeordnet, so ist die Zuordnung  g: x \rightarrow \sqrt x mit  x \in R^+_0 die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion.

Die Funktion g wird Umkehrfunktion der Funktion f genannt.
Und anstelle von g wird auch  f^{-1} geschrieben.

Die Wurzelfunktion  f^{-1}: x \rightarrow \sqrt x mit  x \in R^+_0 ist die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion f: x \rightarrow  x^2 mit  x\in R^+_0.


  Aufgabe 22  Stift.gif

In diesem Bild sind die Graphen der Funktionen f: x \rightarrow  x^2 mit  x\in R^+_0 und  g: x \rightarrow \sqrt x mit  x \in R^+_0 dargestellt.

Umk funk 1.jpg

Was fällt dir auf?


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Bisher hast du gelernt, dass die Funktionsgraphen von Umkehrfunktionen f^{-1} und ihre Funktion f symmetrisch zur Geraden y = x (1. Mediane) sind.

Jetzt lernt du, die Umkehrfunktion rechnerisch zu ermitteln.
Gehe zum Beispiel von der Funktiongleichung y = 2x + 4 aus.
Vertausche in dieser Gleichung x und y: x = 2y + 4

Das Umformen dieser Gleichung nach y ergibt die Umkehrfunktion: y = \frac{x-4}{2} also ist y = \frac{x}{2} - 2.

Dieses Verfahren zur Ermittlung der Umkehrfunktion kannst du auch auf Potenzfunktionen anwenden.


  Aufgabe 23  Stift.gif

Bearbeite diese Seite und beantworte dann:
Wie erhält man für x \in R^+_0

  1. graphisch
  2. rechnerisch

von der Potenzfunktion  f: x \rightarrow x^n die Umkehrfunktion  f^{-1}?


  1. Spiegeln an der Geraden  y = x
  2. In der Gleichung  y = x^n x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält  y = \sqrt[n]{x}.
    Die Umkehrfunktion lautet  f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}.

Da x \in R^+_0 ist, muss man nicht auf die Definitionsmenge aufpassen und diese eventuell einschränken.


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Für jede natürliche Zahl  n ist die Potenzfunktion  f: x \rightarrow x^n mit  x \in R^+_0 umkehrbar.
Die Umkehrfunktion  f^{-1} lautet:  f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x} mit  x \in R^+_0. Sie heißt n-te Wurzelfunktion.

Die n-te Wurzelfunktion  f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x} mit  x \in R^+_0 kannst du auch als Potenzfunktion mit Stammbruchexponenten betrachten.
Dann gilt:  f^{-1}: x \rightarrow x^{\frac{1}{n}} mit  x \in R^+_0 und  n \in N.


Bemerkung:

Alle Potenzfunktionen sind für x \in R definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für x \in R^- umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seiten:

Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation
So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion