Wurzelfunktion allgemeine Wurzelfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Wurzelfunktion_Startseite|Startseite]] --- [[Wurzelfunktion_Einführung|Die Wurzelfunktion]] - [[Wurzelfunktion_Übungen_1|Übungen]] - [[Wurzelfunktion_Anwendungen|Anwendungen]] - [[Wurzelfunktionen_Eigenschaften|Weitere Eigenschaften]] --- [[Wurzelfunktion_allgemeine_Wurzelfunktion|Die allgemeine Wurzelfunktion]] - [[Wurzelfunktion_Übungen_2|Übungen und Anwendungen]] --- [[Wurzelfunktion_Umkehrfunktion|Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion]]
 
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__NOCACHE__
 
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[[Datei:Wuerfel.jpg|200px|right]]
 
[[Datei:Wuerfel.jpg|200px|right]]
  
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Bei den folgenden Aufgaben bearbeitest du den Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Würfels und seiner Seitenlänge.
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<br><br>
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Ein Würfel mit der Seitenlänge <math>a</math> hat das Volumen <math> V = a^3</math>.
  
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Ist die Seitenlänge <math>a = 3 cm</math>, dann ist also das Volumen <math> V = 27 cm^3</math>.
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<br>Umgekehrt ist dann für einen Würfel mit Volumen <math> V= 27 cm^3</math> die zugehörige Seitenlänge <math>a= 3 cm</math>.<br>
  
  
  
Ein Würfel mit der Seitenlänge <math>a</math> hat das Volumen <math> V = a^3</math>.
 
  
Ist die Seitenlänge <math>a= 3 cm</math>, dann ist das Volumen <math> V = 27 cm^3</math>.
 
  
Umgekehrt ist dann für einen Würfel mit Volumen <math> V= 27 cm^3</math> die zugehörige Seitenlänge <math>a= 3 cm</math>.<br>
+
{{Arbeiten|NUMMER=18| ARBEIT=
 +
Im folgenden Applet wird der Seitenlänge <math>a</math> eines Würfels das Volumen <math>V</math> zugeordnet. <br>Der Punkt P hat die Koordinaten (<math>a| V</math>). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für <math>a</math> einstellen.
 +
<br>
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<center>
 +
<ggb_applet width="522" height="647"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /></center><br>
  
 +
a) Welches Volumen <math>V</math> ergibt sich für <math>a</math> = 1; 1,5; 2; 2,5? Halte deine Ergebnisse in Form einer Tabelle fest!<br>
 +
b) Gib eine Funktionsgleichung an, die der Seitenlänge <math>a</math> das Volumen <math>V</math> eines Würfels zuordnet! <br>
 +
c) Welchen Wert nimmt <math>V</math> für <math>a</math> = 3; 5; 10; 15 an? Verwende dazu deine Funktionsgleichung!<br>
 +
d) Stelle mit dem Schieberegler für das Volumen <math>V</math> die Werte ein 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576. Lies die dazugehörigen Seitenlängen <math>a</math> im Applet ab und ergänze deine Tabelle!
  
 +
}}
  
  
 +
Wie kannst du die Seitenlänge <math>a</math> bei gegebenem Volumen <math>V</math> berechnen?
 +
<br>
 +
{{Lösung versteckt|
 +
<math> a = V^{\frac{1}{3}}</math>
  
{{Aufgabe|1=
+
<math> a = \sqrt[3]{V}</math><br>
Im folgenden Applet ist über der Seitenlänge <math>a</math> eines Würfels das Volumen <math>V</math> aufgetragen. Der Punkt V hat die Koordinaten (<math>a, V</math>). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für <math>a</math> einstellen.
+
}}
  
<ggb_applet width="522" height="647"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br>
 
  
a) Welches Volumen <math>V</math> ergibt sich für <math>a</math> = 1; 1,5; 2; 2,5?<br>
+
{{Merke|
b) Welchen Wert nimmt <math>V</math> für <math>a</math> = 3; 5; 10; 15 an?<br>
+
Die Gleichung <math> a = x^n</math> hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl a als Lösung<br>
c) Lies durch Variation des Schiebereglers ab für welche Werte <math>a</math> das Volumen <math>V</math> = 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576 ist.
+
<center> <math> x = a^{\frac{1}{n}}</math> oder <math> x = \sqrt[n]{a}</math></center>
  
 +
<math> \sqrt[n]{a}</math> heißt die''' n-te Wurzel aus a'''.
 
}}
 
}}
  
{{Lösung versteckt|
 
a) a, 3,375; 8; 15,625<br>
 
b) 27; 125; 1000; 3375<br>
 
c) 1,2; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 2,1; 2,5; 2,6
 
}}
 
  
  
 +
{{Arbeiten|NUMMER=19| ARBEIT=
 +
a) Setze in deine Formel verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein und berechne welche Werte
 +
sich für die Seitenlänge a ergeben! Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein!
 +
<br>b) Stelle deine Wertepaare im Koordinatensystem dar (<math>V</math> entspricht der x-Achse, <math>a</math> entspricht der y-Achse)!}}
  
Es ist
 
  
<center><math> a = V^{\frac{1}{3}}</math></center>
+
{{Merke|
 +
Allgemein ist für jede natürliche Zahl <math>n</math> die allgemeine Wurzelfunktion <math>n</math>-ten Grades oder <math>n</math>-te Wurzelfunktion definiert mit
 +
<br>
 +
<math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math> mit <math> x \in R^+_0</math> und <math>n \in N</math>.
 +
}}
  
Man schreibt auch dafür
 
 
<center><math> a = \sqrt[3]{V}\</math></center>
 
  
 +
{{Arbeiten|NUMMER=20|
 +
ARBEIT= Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion mit Definitionsmenge an!}}
  
  
{{Merksatz|MERK=  
+
{{Arbeiten|NUMMER=21|
Die Gleichung <math> a = x^n</math> hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl x als Lösung<br>
+
ARBEIT=  
<center> <math> x = a^{\frac{1}{n}}</math> oder <math> x = \sqrt[n]{a}\</math></center>
+
# Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion <math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math>
 
+
# Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?
<math> \sqrt[n]{a}\</math> heißt die''' n-te Wurzel aus a'''.
+
 
}}
 
}}
  
  
  
{{Aufgabe|a) Setze verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein, und berechne welche Werte
+
Aufgabe 18: {{Lösung versteckt|
sich für die Seitenlänge a ergeben. Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein.
+
a) 1, 3,375; 8; 15,625<br>
 +
b) <math>V = a^3</math><br>
 +
c) 27; 125; 1000; 3375<br>
 +
c) 1,2; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 2,1; 2,5; 2,6
 +
}}
  
b) Erstelle ein V-a-Diagramm (V nach rechts, a nach oben antragen!)}}
+
Aufgabe 19: {{Lösung versteckt|
 
+
{{Lösung versteckt|
+
 
Dein Ergebnis kann so aussehen.<br>
 
Dein Ergebnis kann so aussehen.<br>
 
a) [[Datei:Wuerfel_V-a-Tabelle.jpg]]<br>
 
a) [[Datei:Wuerfel_V-a-Tabelle.jpg]]<br>
Zeile 69: Zeile 87:
 
[[Datei:Wuerfel_V-a-graph_2.jpg]] }}
 
[[Datei:Wuerfel_V-a-graph_2.jpg]] }}
  
 +
Aufgabe 20: {{Lösung versteckt|
 +
<math>f:V \rightarrow \sqrt[3]{V}</math> mit <math>D = R^+_0</math>}}
  
 
+
Aufgabe 21: {{Lösung versteckt|
{{Merksatz|MERK=
+
Man definiert für jede natürliche Zahl n die allgemeine Wurzelfunktion n-ten Grades oder n-te Wurzelfunktion
+
 
+
<math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\</math> mit <math> x \in R^+_0</math> und <math>n \in N</math>.
+
}}
+
 
+
 
+
{{Arbeiten|NUMMER=1|
+
ARBEIT= Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion an.}}
+
 
+
{{Lösung versteckt|
+
<math>f:V \rightarrow \sqrt[3]{V}</math> mit <math>V \in R^+_0</math>
+
}}
+
 
+
 
+
 
+
{{Arbeiten|NUMMER=2|
+
ARBEIT=
+
# Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion <math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\</math>
+
# Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?
+
}}
+
 
+
{{Lösung versteckt|
+
 
1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.
 
1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.
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2. (0;0 und (1;1)
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}}
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+
<br>2. (0;0 und (1;1)
{{Arbeiten|NUMMER=3|
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ARBEIT=
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Betrachte nun die Wurzelfunktionen im folgenden Applet:<br>
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Variiere mit dem Schieberegler n.
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+
# Was ist der Unterschied zu Aufgabe 2?
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# Wieso ist dies möglich?
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}}
 
}}
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{{Lösung versteckt|
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Du hast nun die allgemeine Wurzelfunktion kennengelernt. Es geht weiter mit [[Wurzelfunktion_Übungen_2|Übungen und Anwendungen]].
# Für ungerade n ist der Funktionsgraph auch für negative x gezeichnet.
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# Es ist <math>(-3)^3=(-3)(-3)(-3)=-27</math> und damit <math>\sqrt[3]{-27}\ = -3</math> oder allgemein <math> (-a)^3=-a^3</math> und damit <math>\sqrt[3]{-a^3}\ = -a </math>, also ist bei ungeraden Exponenten n auch die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl erklärt.  
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}}
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Aktuelle Version vom 16. April 2017, 09:31 Uhr

Startseite --- Die Wurzelfunktion - Übungen - Anwendungen - Weitere Eigenschaften --- Die allgemeine Wurzelfunktion - Übungen und Anwendungen --- Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion


Wuerfel.jpg

Bei den folgenden Aufgaben bearbeitest du den Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Würfels und seiner Seitenlänge.

Ein Würfel mit der Seitenlänge a hat das Volumen  V = a^3.

Ist die Seitenlänge a = 3 cm, dann ist also das Volumen  V = 27 cm^3.
Umgekehrt ist dann für einen Würfel mit Volumen  V= 27 cm^3 die zugehörige Seitenlänge a= 3 cm.



  Aufgabe 18  Stift.gif

Im folgenden Applet wird der Seitenlänge a eines Würfels das Volumen V zugeordnet.
Der Punkt P hat die Koordinaten (a| V). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für a einstellen.


a) Welches Volumen V ergibt sich für a = 1; 1,5; 2; 2,5? Halte deine Ergebnisse in Form einer Tabelle fest!
b) Gib eine Funktionsgleichung an, die der Seitenlänge a das Volumen V eines Würfels zuordnet!
c) Welchen Wert nimmt V für a = 3; 5; 10; 15 an? Verwende dazu deine Funktionsgleichung!
d) Stelle mit dem Schieberegler für das Volumen V die Werte ein 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576. Lies die dazugehörigen Seitenlängen a im Applet ab und ergänze deine Tabelle!


Wie kannst du die Seitenlänge a bei gegebenem Volumen V berechnen?

 a = V^{\frac{1}{3}}

 a = \sqrt[3]{V}


Nuvola apps kig.png   Merke

Die Gleichung  a = x^n hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl a als Lösung

 x = a^{\frac{1}{n}} oder  x = \sqrt[n]{a}

 \sqrt[n]{a} heißt die n-te Wurzel aus a.


  Aufgabe 19  Stift.gif

a) Setze in deine Formel verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein und berechne welche Werte sich für die Seitenlänge a ergeben! Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein!
b) Stelle deine Wertepaare im Koordinatensystem dar (V entspricht der x-Achse, a entspricht der y-Achse)!


Nuvola apps kig.png   Merke

Allgemein ist für jede natürliche Zahl n die allgemeine Wurzelfunktion n-ten Grades oder n-te Wurzelfunktion definiert mit
 f: x \rightarrow \sqrt[n]{x} mit  x \in R^+_0 und n \in N.


  Aufgabe 20  Stift.gif

Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion mit Definitionsmenge an!


  Aufgabe 21  Stift.gif
  1. Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion  f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}
  2. Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?



Aufgabe 18:

a) 1, 3,375; 8; 15,625
b) V = a^3
c) 27; 125; 1000; 3375
c) 1,2; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 2,1; 2,5; 2,6

Aufgabe 19:

Dein Ergebnis kann so aussehen.
a) Wuerfel V-a-Tabelle.jpg
b) Wuerfel V-a-graph.jpg
Verbindet man die Punkte, dann erhält man diesen Graphen:

Wuerfel V-a-graph 2.jpg

Aufgabe 20:

f:V \rightarrow \sqrt[3]{V} mit D = R^+_0

Aufgabe 21:

1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.



2. (0;0 und (1;1)


Du hast nun die allgemeine Wurzelfunktion kennengelernt. Es geht weiter mit Übungen und Anwendungen.